본문 바로가기
Topos Uranos
한국어

로피탈의 정리

요약

이 수업은 로피탈의 정리를 증명한다. ff와 gg가 00에 수렴하거나 gg가 무한대로 발산하고, 그 도함수의 비가 극한을 가지면, 몫 fg\frac{f}{g}도 같은 극한을 갖는다. 증명은 앞 수업의 코시의 평균값 정리를 한 끝점은 고정되고 다른 끝점은 움직이는 구간에 적용한다. 분모가 무한대로 발산하는 경우에는 더 정밀한 논증이 필요하지만, 그 논증은 분자에 아무것도 요구하지 않는다. 이 정리는 한 점의 한쪽에서, 그 점에서, 그리고 무한대에서 성립하며, 여러 번 연달아 적용할 수 있다. 그렇게 하여 f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}의 극한을 계산한다(단, ff의 처음 몇 개의 도함수가 aa에서 영이 될 때). 부정형 0⋅∞0 \cdot \infty, ∞−∞\infty - \infty, 1∞1^\infty, 000^0, ∞0\infty^0은 몫으로 환원된다. 이 수업은 또한 정리를 쓸 수 없거나 정리로는 판정할 수 없는 경우, 도함수를 계산할 때 쓴 극한에 이 정리가 쓸모없는 이유, 그리고 동치인 무한소와 결합하는 방법을 보여 준다.

학습 목표

  1. 코시의 평균값 정리로부터, 00\frac{0}{0} 꼴과 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 꼴에 대한 로피탈의 정리를 한 점의 한쪽, 그 점, 무한대에서 증명한다.
  2. 부정형을 몫으로 환원하여 극한을 계산하고, 정리를 여러 번 적용하되 적용할 때마다 그 가정을 확인한다.
  3. 정리를 쓸 수 없거나 정리로는 판정할 수 없는 경우를 알아본다. 부정형이 아닌 극한, 극한이 없는 도함수의 비, 점 근처에서 영이 되는 분모의 도함수, 그리고 도함수의 계산이 전제하는 극한이다.
  4. 이 정리를 동치인 무한소 및 극한의 연산 법칙과 결합하고, 각 경우에 가장 짧은 길을 고른다.

영 분의 영 꼴

극한의 연산 법칙에 관한 수업의 몫의 극한 따름정리는 분모의 극한이 영이 아닐 것을 요구한다. 분자와 분모가 모두 00에 수렴하면, 몫은 어떤 수로든, 무한대로든 갈 수 있고, 극한이 없을 수도 있다. 3xx\frac{3x}{x}는 33에 수렴하고, x2x\frac{x^2}{x}는 00에 수렴하며, xsin⁡1xx\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}는 00에서 극한을 갖지 않는다. 그래서 00\frac{0}{0}을 부정형이라 한다. 각 항의 극한이 몫의 극한을 결정하지 않는 것이다. 동치인 무한소에 관한 수업은 각 인수를 표에 있는 동치인 것으로 치환하여 이러한 극한의 다수를 구했다. 그러나 x−sin⁡xx - \sin x 같은 차는 표의 인수들의 곱이 아니며, 그 항들은 치환할 수 없다.

도함수는 다른 길을 보여 준다. f(a)=g(a)=0f(a) = g(a) = 0이고, ff와 gg가 aa에서 미분가능하며, g′(a)≠0g'(a) \neq 0이면, 분자와 분모를 x−ax - a로 나눌 때 몫은 평균변화율들의 몫이 되고, 몫의 극한 따름정리로부터 아래를 얻는다:

f(x)g(x)=f(x)−f(a)x−ag(x)−g(a)x−a→f′(a)g′(a)\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\frac{g(x) - g(a)}{x - a}} \to \frac{f'(a)}{g'(a)}

그러나 g′(a)g'(a)도 영인 경우가 많고, 또는 ff와 gg가 aa에서 정의되지 않기도 한다. 로피탈의 정리는 aa에서의 도함수의 값을 aa 근처에서의 그 비의 극한으로 바꾼다. 도구는 페르마, 롤, 라그랑주, 코시의 정리에 관한 수업의 코시의 평균값 정리이다. ff와 gg가 [a,b]\icc{a}{b}에서 연속이고(a<ba < b), (a,b)\ioo{a}{b}의 각 점에서 미분가능하며, g′(x)≠0g'(x) \neq 0가 모든 xx((a,b)\ioo{a}{b}의 원소)에 대해 성립하면, g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a)이고 어떤 cc((a,b)\ioo{a}{b}의 원소)가 존재하여 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}이다. 라그랑주의 평균값 정리를 두 번 적용하면 서로 다른 두 점이 나오지만, 코시의 정리는 분자와 분모에 같은 한 점을 준다.

정리영 분의 영 꼴에 대한 로피탈의 정리

a<ba < b이라 하고, ff와 gg를 (a,b)\ioo{a}{b}의 각 점에서 미분가능한 함수라 하며, g′(x)≠0g'(x) \neq 0가 모든 xx((a,b)\ioo{a}{b}의 원소)에 대해 성립한다고 하자. f(x)f(x)와 g(x)g(x)가 00에 수렴하고(x→a+x \to a^+일 때), 또

lim⁡x→a+f′(x)g′(x)=L\lim_{x \to a^+} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L

여기서 LL은 실수, ∞\infty 또는 −∞-\infty이다. 그러면 g(x)≠0g(x) \neq 0가 모든 xx((a,b)\ioo{a}{b}의 원소)에 대해 성립하고,

lim⁡x→a+f(x)g(x)=L\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = L

ff와 gg를 값 00으로 보충하고(aa에서), 코시의 정리를 [a,x]\icc{a}{x}에서 적용한다. 몫 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}는 증분의 비이며, aa와 xx 사이의 한 점에서의 도함수의 비와 같다. 그림은 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x, g(x)=ex−1g(x) = e^x - 1, a=0a = 0으로 놓고 점 (g(t),f(t))\left(g(t), f(t)\right)를 보여 준다. 몫 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)}는 원점과 xx에 대응하는 점을 잇는 현의 기울기이고, cc에서의 도함수의 비는 평행한 접선의 기울기이다.

증명

  1. F(a)=G(a)=0,F′(t)=f′(t),G′(t)=g′(t)≠0,a<t<xF(a) = G(a) = 0, \qquad F'(t) = f'(t), \quad G'(t) = g'(t) \neq 0, \qquad a < t < x

    FF와 GG를 각각 ff와 gg와 같고((a,b)\ioo{a}{b}에서) 00과 같은(aa에서) 함수라 하자. xx를 (a,b)\ioo{a}{b}의 원소라 하자. 둘 다 [a,x]\icc{a}{x}에서 연속이다. aa에서는 우극한이 00이기 때문이고, 나머지 점에서는 극한으로서의 도함수에 관한 수업의 미분가능하면 연속이라는 정리에 의한다. (a,x)\ioo{a}{x}의 각 점에서 둘은 미분가능하며 도함수는 ff와 gg의 도함수이다. 이는 미분법의 공식에 관한 수업의 미분계수의 국소성 보조정리에 의한다.

  2. f(x)g(x)=F(x)−F(a)G(x)−G(a)=f′(c)g′(c),a<c<x\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F(x) - F(a)}{G(x) - G(a)} = \dato{c}{\frac{f'(c)}{g'(c)}}, \qquad a < c < x

    코시의 평균값 정리([a,x]\icc{a}{x}에서)에 의해 G(x)≠G(a)G(x) \neq G(a), 즉 g(x)≠0g(x) \neq 0이고, 어떤 cc(aa와 xx 사이)가 존재하여 증분의 비는 cc에서의 도함수의 비와 같다.

  3. a<x<a+δ→∣f(x)g(x)−L∣=∣f′(c)g′(c)−L∣<εa < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} = \abs{\frac{f'(c)}{g'(c)} - L} < \resaltar{\varepsilon}

    LL을 실수라 하고 ε>0\varepsilon > 0라 하자. 좌극한과 우극한에 관한 수업의 우극한의 정의에 의해, 어떤 δ>0\delta > 0(b−ab - a 이하로 잡을 수 있다)가 존재하여 ∣f′(t)g′(t)−L∣<ε\abs{\frac{f'(t)}{g'(t)} - L} < \varepsilon이다(단, a<t<a+δa < t < a + \delta). a<x<a+δa < x < a + \delta이면, 위에서 얻은 점 cc는 a<c<x<a+δa < c < x < a + \delta를 만족한다. L=∞L = \infty이면, 도전 NN에 대한 같은 논증으로 f(x)g(x)>N\frac{f(x)}{g(x)} > N를 얻고, L=−∞L = -\infty이면 f(x)g(x)<N\frac{f(x)}{g(x)} < N를 얻는다.

cc가 xx에 어떻게 의존하는지도, 유일한지도 알 필요가 없다. aa와 xx 사이에 있으면 충분하다. 가정 g′≠0g' \neq 0는 구간 (a,b)\ioo{a}{b} 전체에서 요구된다. 코시의 정리가 각 [a,x]\icc{a}{x}에서 그것을 쓰기 때문이다. 극한은 가까운 값들에만 의존하므로, 그것이 성립하는 구간 (a,b)\ioo{a}{b}를 아무리 작더라도 하나 찾으면 충분하다. 반면, 분모의 도함수가 그 점에 집적하는 고립점들에서만 영이 되거나, 변수가 무한대로 발산할 때 유계가 아닌 고립점들에서만 영이 되는 것으로는 충분하지 않으며, 예제 5가 이를 보여 준다. ff와 gg가 더 큰 집합에서 정의되어 있으면, (a,b)\ioo{a}{b}로의 제한에 정리를 적용하면 되고, 이 제한들은 aa에서 같은 우극한을 갖는다.

왼쪽에서도 마찬가지이며, 구간 (b,a)\ioo{b}{a}(b<ab < a)와 x→a−x \to a^-를 쓴다. 좌극한과 우극한에 관한 수업의 평행이동과 대칭이동 명제에 의해, f(−t)f(-t)와 g(−t)g(-t)에 −a-a의 오른쪽 근처에서 정리를 적용하면 된다. 연쇄 법칙은 두 도함수의 부호를 바꾸지만 그 비는 바꾸지 않는다. 가정이 aa의 양쪽, 즉 (a−r,a)\ioo{a - r}{a}와 (a,a+r)\ioo{a}{a + r}에서 성립하면, 같은 수업의 극한과 한쪽 극한 정리에 의해 x→ax \to a일 때의 극한을 얻는다(LL이 무한대이면, 두 반지름 중 작은 것으로 같은 논증을 한다). 함수는 aa에서 정의되어 있을 수도 있고 아닐 수도 있으며, 그곳에서의 값은 관여하지 않는다.

예시세 번 연속 적용

lim⁡x→0x−sin⁡xx3\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}을 생각하자. 분자와 분모는 00에 수렴하고, 분모의 도함수 3x23x^2은 00 밖에서 영이 되지 않는다. 도함수의 비는 1−cos⁡x3x2\frac{1 - \cos x}{3x^2}로, 다시 00\frac{0}{0} 꼴이며, 그 분모의 도함수 6x6x도 00 밖에서 영이 되지 않는다. 새 몫 sin⁡x6x\frac{\sin x}{6x}는 삼각함수의 기본 극한에 의해 16\frac{1}{6}에 수렴한다:

lim⁡x→0x−sin⁡xx3=lim⁡x→01−cos⁡x3x2=lim⁡x→0sin⁡x6x=16\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \frac{1}{6}

이 등식의 열은 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다. 마지막 극한이 존재하고, 정리를 두 번 적용하여 그 값이 뒤로 전해진다. 두 번째 극한이 존재함을 알기 전에 첫 번째 등호를 쓰는 것은 계산을 적어 두는 한 방식일 뿐이며, 계산을 마쳤을 때 정당화된다. 두 번째 극한은 동치 무한소 표로도, 1−cos⁡x∼x221 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}을 써서 얻을 수 있다. 첫 번째 극한은 그렇지 않다.