본문 바로가기
Topos Uranos
한국어

극형식의 복소수: 종합과 도전 과제

요약

이 수업은 극형식의 복소수를 다루는 단원을 마무리한다. 단원의 정의와 정리를 하나의 연역적 사슬로 모은다. 이 사슬은 극형식에서의 곱의 정리에서 출발하여 드무아브르 공식, nn제곱근, 복소지수함수, 평면의 기하를 거쳐 다항식의 인수분해와 카르다노 공식 및 페라리의 공식에 이른다. 각 고리가 강좌 대수학과 기하학 I과 이 강좌의 앞의 두 단원에 빚진 것을 짚고, 행렬과 대수 구조를 다루는 뒤이은 단원이 같은 사실을 어떻게 다시 읽는지 보인다. 끝으로 단원의 연습 문제보다 어렵고 단원의 여러 수업을 결합하는 열 개의 도전 과제를 제시한다.

학습 목표

  1. 단원의 연역적 사슬을 극형식에서의 곱의 정리부터 카르다노 공식과 페라리의 공식까지 재구성하고, 각 정리가 어떤 결과에 의존하는지 밝힌다.
  2. 단원의 결과를 강좌 I의 결과(귀납법, 이항정리, 최대공약수, 다항식) 및 앞 단원들의 결과(극좌표와 삼각함수 공식)와 관련짓고, 뒤이은 단원에서의 행렬을 통한 해석과 구조를 통한 해석을 내다본다.
  3. 극형식, 1의 거듭제곱근, 복소지수함수, 복소수를 이용한 기하, 근과 계수의 관계를 결합해야 하는 문제를 푼다.

단원에서 이룬 것

단원은 하나의 결핍에서 출발했다. 강좌 I의 복소수에 관한 수업에서 두 복소수의 곱은 계산할 수는 있었지만 이해되지는 않았다. 극형식에 관한 수업은 영이 아닌 각 복소수를 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right) 꼴로 쓰고, 이 표기가 온전한 회전 수의 차이를 제외하면 유일함을 증명했으며, 덧셈정리를 이용하여 나머지 모든 것을 떠받치는 정리를 증명했다. 곧, 곱에서는 절댓값끼리 곱해지고 편각끼리 더해진다. 이로부터 복소수를 곱하는 것은 회전과 확대라는 것, 켤레복소수와 역수는 반대 편각을 가진다는 것, 곱의 편각의 주값은 주값들의 합과 한 바퀴의 차이를 제외하고만 일치한다는 것이 따라 나왔다.

곱이 편각을 더한다면 거듭제곱은 편각을 곱한다. 드무아브르 공식에 관한 수업은 이것을 모든 정수 지수에 대하여 귀납법으로 증명했고, 공식을 이항정리와 비교하여 여러 배각의 공식을 얻었다. 보조정리 zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)을 이용하여 사인과 코사인의 거듭제곱을 선형화했고, 공비가 복소수인 등비수열의 합을 이용하여 사인의 합과 코사인의 합을 구했으며, 거듭제곱 (1+i)n(1 + i)^n을 이용하여 첨자가 짝수인 이항계수의 합과 부호를 번갈아 붙인 첨자가 홀수인 이항계수의 합을 구했다. 그런데 nn제곱이 각을 nn배 한다면 거듭제곱근을 구하는 것은 각을 나눈다. nn제곱근에 관한 수업은 영이 아닌 모든 복소수가 정확히 nn개의 nn제곱근을 가지며 그것들이 정다각형의 꼭짓점이라는 것, 그리고 1의 거듭제곱근은 단 하나의 거듭제곱근의 거듭제곱이고, 합이 영이며, zn−1z^n - 1 식을 인수분해하고, 그 첨자가 nn과 서로소일 때 정확히 원시근이라는 것을 증명했다.

복소지수함수에 관한 수업은 이 규칙들이 모두 지수법칙임에 주목했고, exe^x, 코사인, 사인의 급수(미분법이 필요하므로 증명 없이 받아들였다)를 이용하여 지수함수의 급수의 iθi\theta에서의 합이 cos⁡θ+isin⁡θ\cos \theta + i \sin \theta임을 보였다. 그래서 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta와 ea+bi=eaeibe^{a + bi} = e^a e^{ib}를 정의했고, 지수함수가 합을 곱으로 바꾸며 주기가 2πi2\pi i인 주기함수임을 증명했으며, 코사인과 사인을 지수함수로 나타냈고, 복소수로 확장할 때 어떤 삼각항등식이 유지되는지 판정했고, 그 안에서 쌍곡선함수를 발견했으며, 지수함수를 거꾸로 풀어 무한히 많은 값을 가지는 로그와 복소수 거듭제곱을 얻었다. 이 표기로 복소수를 이용한 기하에 관한 수업은 회전을 c+eiφ(z−c)c + e^{i\varphi}(z - c) 꼴로, 대칭이동을 e2iαz‾e^{2i\alpha}\conj{z} 꼴로 썼고, 공선과 수직을 하나의 몫에서 읽어 냈으며, 그 몫의 허수부분의 부호로 삼각형의 향을 정의하고, 향이 어느 꼭짓점에서 시작하는지에 의존하지 않는다는 것, 평행이동과 회전은 향을 보존하고 대칭이동은 향을 뒤집는다는 것을 증명했으며, 정삼각형을 1의 세제곱근으로 특징지었고, 아폴로니오스의 원 정리와 나폴레옹 정리를 증명했다.

끝으로 복소수에서의 다항방정식에 관한 수업은 복소수가 태어난 영역에서 모든 것을 모았다. 증명 없이 받아들이는 대수학의 기본 정리로부터 모든 nn차 다항식이 nn개의 일차인수의 곱이라는 것을 이끌어 냈고, 근과 계수의 관계를 증명했으며, 이항방정식, 삼항방정식, 상반방정식을 풀었다. 카르다노 공식에는 nn제곱근에 관한 수업의 세제곱근이 필요했고, 판별식은 실계수 삼차방정식의 근을 분류했으며, 환원 불능의 경우는 삼배각 공식으로 풀렸고, 페라리의 방법은 사차방정식을 삼차방정식으로 귀착시켰다. 증명 없이 받아들이는 횔더 정리와 아벨-루피니 정리는 환원 불능의 경우에 복소수를 거치는 우회가 피할 수 없는 이유와 오차 이상에서는 비슷한 공식이 없는 이유를 설명했다. 따라서 사슬 전체는 아래와 같다. 곱의 정리, 드무아브르 공식, nn제곱근, 복소지수함수, 평면의 기하, 다항방정식이며, 각 고리는 본질적으로 첫 고리를 새롭게 읽은 것이다.

단원이 증명 없이 받아들이는 것을 정확히 열거해 두는 것이 좋다. 그것은 적고 위치도 분명하기 때문이다. 유클리드 기하에서는 강좌 I의 직선의 방정식에 관한 수업에 모아 둔 사실들이며, 단원은 그중에서 곱의 닮은 삼각형 정리에서 닮음의 개념과 각이 같으면 변이 비례한다는 것만 필요로 한다. 미분법에서는 exe^x, 코사인, 사인의 급수이며, 복소지수함수에 관한 수업은 이것을 오일러 공식의 동기 부여에 쓰고, 이 급수들은 강좌 미적분학 I에서 증명된다. 대수학에서는 다항방정식에 관한 수업에서 밝혀 둔 세 결과이다. 완전한 인수분해가 의존하는 대수학의 기본 정리, 그리고 횔더 정리와 아벨-루피니 정리인데, 뒤의 두 정리는 어떤 고리도 떠받치지 않고, 환원 불능의 경우에 복소수를 거치는 우회가 필요한 이유와 오차 이상에서는 거듭제곱근을 이용한 공식이 없는 이유를 설명할 뿐이다. 끝으로 드무아브르 공식에 관한 수업의 거듭제곱의 나선 예는 원점을 지나는 모든 직선과 같은 각으로 만난다는 로그 나선의 성질을 쓰지 않고 언급하는데, 이것도 미분법으로 증명된다. 그 밖의 모든 것은 이 단원, 앞의 두 단원 또는 강좌 I에서 증명된다. 사슬에서 유클리드 기하의 사실과 기본 정리는 받아들인 받침으로 나타나지만, 급수는 나타나지 않는다. 허수 지수함수를 정의로 채택하므로 급수는 어떤 고리도 떠받치지 않기 때문이다.

아래 그림은 단원의 네 구간을 하나의 사슬로 모은 것이다. 가운데 열의 각 마디는 정의나 정리이며, 논리적 순서에 따라 번호가 붙고, 그 증명이 쓰는 앞의 고리들과 호로 이어진다. 그 둘레에 떠 있는 것이 받침, 곧 사슬이 거듭 의지하는 원리와 도구이며, 첫 고리에서 세워지는 극형식에서의 상등 정리와 앞 단원들이나 강좌 I의 결과가 이에 해당하고, 뒤의 것들은 둥근 테로 그려진다. 받침을 누르면 그것을 쓰는 고리가 모두 강조되고, 각 고리는 그것이 증명되는 수업으로 이어진다.

사슬의 받침

  • A극형식에서의 상등. 두 복소수 r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)과 r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)(단, r1r_1과 r2r_2는 양수)가 같을 필요충분조건은 r1=r2r_1 = r_2이고 θ1−θ2\theta_1 - \theta_2가 2π2\pi의 정수배인 것이다. 확립되는 곳: 1. 극형식에서의 상등.
  • B삼각함수 공식. 피타고라스 항등식, 합과 차의 코사인과 사인, 배각, 반각, 삼배각, 사인과 코사인의 우기성과 주기성, 그 영점, 동경이 같은 각의 특징짓기, [0,π]\icc{0}{\pi}에서의 코사인의 단조성, 코사인 법칙. 삼각함수를 다루는 단원 1과 해석 삼각법을 다루는 단원 2에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • C유클리드 기하. 강좌 I의 평면 해석기하 단원에서는 유클리드 기하의 사실을 받아들인다. 피타고라스 정리와 그 역, 평행선, 탈레스 정리와 삼각형의 닮음, 삼각형의 내각의 합, 이등변삼각형이다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • D귀납법의 원리. 어떤 성질이 첫 자연수에 대하여 성립하고 각 자연수에서 그 바로 뒤의 자연수로 넘어가면, 모든 자연수에 대하여 성립한다. 강좌 I의 자연수 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • E이항정리와 등비수열의 합. 모든 자연수 nn에 대하여 (x+y)n=∑k=0n(nk)xn−kyk(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k가 성립하고, q≠1q \neq 1이면 1+q+⋯+qn−1=qn−1q−11 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}이다. 강좌 I의 자연수 단원에서 증명했으며, 두 계산 모두 합과 곱의 성질만 쓰므로 복소수에서도 성립한다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • F나머지가 있는 나눗셈과 베주 항등식. 모든 정수는 qn+rqn + r(단, 0≤r≤n−10 \leq r \leq n - 1) 꼴로 쓸 수 있고, gcd⁡(k,n)=1\operatorname{gcd}(k, n) = 1이면 정수 xx와 yy가 존재하여 kx+ny=1kx + ny = 1이다. 강좌 I의 자연수 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • G실수 지수함수. 실수 지수함수는 양수이고 단사이며 양의 실수 전체로의 전단사이고, eaec=ea+ce^a e^c = e^{a + c}을 만족하며, 쌍곡코사인과 쌍곡사인을 정의한다. 강좌 I의 지수함수와 로그함수 단원에서 증명했다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.
  • H인수정리와 기본 정리. z0z_0이 다항식 PP의 근이면 z−z0z - z_0은 PP를 나누어떨어지게 한다. 이것은 강좌 I의 대수함수 단원에서 증명했고 복소수에서도 성립한다. 또 차수가 n≥1n \geq 1인 모든 복소계수 다항식은 복소수 근을 가진다. 이것은 증명 없이 받아들인다. 이 단원에서는 증명 없이 받아들인다.

  1. 제1구간 극형식과 곱

    • 영이 아닌 모든 복소수를 극형식으로 쓰고, 그 표기가 온전한 회전 수의 차이를 제외하면 유일함을 증명한다.
    • 덧셈정리를 이용하여, 곱에서는 절댓값끼리 곱해지고 편각끼리 더해짐을 증명한다.
    • 이로부터 극형식에서의 켤레복소수와 역수, 그리고 곱의 편각의 주값의 성질을 이끌어 낸다.
    • 복소수를 곱하는 것을 회전과 확대의 합성으로 해석한다.

    1. 극형식에서의 상등. z=a+bi≠0z = a + bi \neq 0의 편각이란 실수 θ\theta 가운데 a=∣z∣cos⁡θa = \abs{z} \cos \theta이고 b=∣z∣sin⁡θb = \abs{z} \sin \theta인 것 전부이다. 복소수 r(cos⁡θ+isin⁡θ)r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)(단, r>0r > 0)는 절댓값 rr과 편각 θ\theta를 가지며, 이런 두 식이 같을 필요충분조건은 절댓값이 같고 편각의 차가 2π2\pi의 정수배인 것이다.

      받침: B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소수의 극형식.

    2. 극형식에서의 곱과 몫. zz가 절댓값 rr과 편각 θ\theta를 가지고 ww가 절댓값 ss와 편각 φ\varphi를 가지면, 곱 zwzw는 절댓값 rsrs와 편각 θ+φ\theta + \varphi를 가지고, 몫 zw\frac{z}{w}는 절댓값 rs\frac{r}{s}와 편각 θ−φ\theta - \varphi를 가진다.

      받침: A (극형식에서의 상등), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소수의 극형식.

    3. 켤레복소수와 역수. z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)(단, r>0r > 0)이면 zz의 켤레복소수는 절댓값 rr과 편각 −θ-\theta를 가지고, 역수 1z\frac{1}{z}는 절댓값 1r\frac{1}{r}과 편각 −θ-\theta를 가진다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫. 받침: A (극형식에서의 상등), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소수의 극형식.

    4. 곱의 편각의 주값. zwzw의 편각의 주값은 Arg⁡z+Arg⁡w+2kπ\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi이고, kk는 −1-1, 00, 11 중 하나와 같으며, k=0k = 0인 것은 정확히 그 합이 (−π,π]\ioc{-\pi}{\pi}에 속할 때이다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫. 받침: A (극형식에서의 상등). 증명된 수업: 복소수의 극형식.

    5. 곱의 닮은 삼각형. z≠0z \neq 0이고 ww가 실수가 아니면, 꼭짓점이 00, zz, zwzw인 삼각형은 꼭짓점이 00, 11, ww인 삼각형과 닮음이며, 닮음비는 ∣z∣\abs{z}이다. zz를 곱하는 것은 회전과 확대이다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫. 받침: C (유클리드 기하), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소수의 극형식.

  2. 제2구간 거듭제곱과 거듭제곱근

    • 모든 정수 지수에 대하여 드무아브르 공식을 귀납법으로 증명한다.
    • 그것과 이항정리로부터 여러 배각의 공식을 얻고, 코사인의 거듭제곱을 선형화하며, 등비수열의 합으로 사인의 합과 코사인의 합을 구한다.
    • 영이 아닌 모든 복소수가 정확히 nn개의 nn제곱근을 가지며 그것들이 정다각형의 꼭짓점임을 증명한다.
    • 1의 거듭제곱근을 연구한다. 그 거듭제곱, 그 합, zn−1z^n - 1 식의 인수분해, 원시근이다.

    1. 드무아브르 공식. 모든 실수 θ\theta와 모든 정수 nn에 대하여 (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)이 성립한다. 따라서 z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)이면 거듭제곱 znz^n은 절댓값 rnr^n과 편각 nθn\theta를 가진다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 3. 켤레복소수와 역수. 받침: A (극형식에서의 상등), D (귀납법의 원리), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 드무아브르 공식과 복소수의 거듭제곱.

    2. 여러 배각. nθn\theta의 코사인은 항 (nk)cos⁡n−kθsin⁡kθ\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta(첨자 kk가 짝수인 것)의 교대합이고, nθn\theta의 사인은 첨자가 홀수인 항의 교대합이다.

      사용: 6. 드무아브르 공식. 받침: E (이항정리와 등비수열의 합). 증명된 수업: 드무아브르 공식과 복소수의 거듭제곱.

    3. 선형화. z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta이면 zn+z−n=2cos⁡(nθ)z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)와 zn−z−n=2isin⁡(nθ)z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)이 성립한다. 이로부터 예를 들어 cos⁡3θ=cos⁡3θ+3cos⁡θ4\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}와 cos⁡4θ=cos⁡4θ+4cos⁡2θ+38\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}가 따라 나온다.

      사용: 6. 드무아브르 공식. 받침: E (이항정리와 등비수열의 합), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 드무아브르 공식과 복소수의 거듭제곱.

    4. 사인의 합과 코사인의 합. θ\theta가 2π2\pi의 정수배가 아니면, 복소수 cos⁡(kθ)+isin⁡(kθ)\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)(kk는 00부터 n−1n - 1까지)의 합은 실수 sin⁡nθ2sin⁡θ2\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}와 절댓값이 11이고 편각이 (n−1)θ2\frac{(n - 1)\theta}{2}인 복소수의 곱이며, 이로부터 코사인의 합과 사인의 합이 얻어진다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 6. 드무아브르 공식. 받침: A (극형식에서의 상등), E (이항정리와 등비수열의 합), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 드무아브르 공식과 복소수의 거듭제곱.

    5. n제곱근. w=R(cos⁡φ+isin⁡φ)≠0w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0이면 방정식 zn=wz^n = w는 정확히 nn개의 해를 가지고, 그 해들은 절댓값 Rn\sqrt[n]{R}과 편각 φ+2kπn\frac{\varphi + 2k\pi}{n}(단, 0≤k≤n−10 \leq k \leq n - 1)를 가지며, n≥3n \geq 3일 때는 반지름이 Rn\sqrt[n]{R}인 원에 내접하는 정다각형의 꼭짓점이다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 6. 드무아브르 공식. 받침: A (극형식에서의 상등), F (나머지가 있는 나눗셈과 베주 항등식), B (삼각함수 공식), D (귀납법의 원리). 증명된 수업: 복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근.

    6. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근. 1의 nn제곱근은 거듭제곱 ωk=ωk\omega_k = \omega^k(ω=cos⁡2πn+isin⁡2πn\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}의)이다. 그것들은 첨자를 nn을 법으로 더하여 곱해지고, 각각의 역수는 그 켤레복소수이며, 그중 하나를 곱하면 그것들이 치환된다.

      사용: 3. 켤레복소수와 역수, 6. 드무아브르 공식, 10. n제곱근. 받침: F (나머지가 있는 나눗셈과 베주 항등식). 증명된 수업: 복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근.

    7. 거듭제곱근의 거듭제곱의 합. n≥2n \geq 2이면 mm제곱의 합(1의 nn개의 nn제곱근 전체에 걸친)은 nn과 같고(nn이 mm을 나누어떨어지게 할 때), 그렇지 않을 때는 00과 같다. 특히 거듭제곱근의 합은 영이다.

      사용: 11. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근. 받침: A (극형식에서의 상등), E (이항정리와 등비수열의 합). 증명된 수업: 복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근.

    8. z의 n제곱 빼기 1의 인수분해. 모든 자연수 nn에 대하여 다항식 zn−1z^n - 1은 nn개의 인수 z−ωkz - \omega_k(단, 0≤k≤n−10 \leq k \leq n - 1)의 곱이다.

      사용: 10. n제곱근. 받침: H (인수정리와 기본 정리). 증명된 수업: 복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근.

    9. 원시근. 거듭제곱근 ωk\omega_k(단, 1≤k≤n1 \leq k \leq n)이 원시근, 곧 그 거듭제곱이 1의 모든 nn제곱근을 주는 근일 필요충분조건은 gcd⁡(k,n)=1\operatorname{gcd}(k, n) = 1이다.

      사용: 11. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근, 12. 거듭제곱근의 거듭제곱의 합. 받침: F (나머지가 있는 나눗셈과 베주 항등식). 증명된 수업: 복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근.

    10. x의 n제곱 빼기 1의 실수 범위에서의 인수분해. 실수가 아닌 켤레인 거듭제곱근의 각 쌍 ωk\omega_k, ωn−k\omega_{n - k}는 기약인수 x2−2xcos⁡2kπn+1x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1을 준다. 따라서 xn−1x^n - 1은 x−1x - 1, x+1x + 1(nn이 짝수일 때), 그리고 그 이차인수들의 곱이다.

      사용: 3. 켤레복소수와 역수, 11. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근, 13. z의 n제곱 빼기 1의 인수분해. 받침: A (극형식에서의 상등), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소수의 n제곱근과 1의 거듭제곱근.

  3. 제3구간 복소지수함수와 기하

    • 오일러 공식으로 eiθe^{i\theta}을 정의하고 ea+bi=eaeibe^{a + bi} = e^a e^{ib}를 정의하며, 위의 규칙들에서 지수법칙을 알아본다.
    • 지수함수가 합을 곱으로 바꾸며 주기가 2πi2\pi i인 주기함수임을 증명한다.
    • 코사인과 사인을 지수함수로 나타내고, 쌍곡선함수와 연결하며, 복소수의 로그를 구한다.
    • 평면의 회전과 대칭이동을 복소수로 쓰고, 공선과 수직을 하나의 몫에서 읽어 내며, 삼각형의 향을 정의하여 그 불변성을 증명하고, 정삼각형을 특징짓는다.

    1. 허수 지수함수. 복소수 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta은 절댓값 11을 가지고, eiαeiβ=ei(α+β)e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}, (eiθ)n=einθ\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}, 그리고 (eiθ)−1=e−iθ\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}가 성립하며, 마지막 것은 그 켤레복소수이다. 또 eiα=eiβe^{i\alpha} = e^{i\beta}일 필요충분조건은 α−β\alpha - \beta가 2π2\pi의 정수배인 것이다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 3. 켤레복소수와 역수, 6. 드무아브르 공식. 받침: A (극형식에서의 상등), B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소지수함수와 오일러 공식.

    2. 합의 지수함수. z=a+biz = a + bi이고 ez=eaeibe^z = e^a e^{ib}이면 eze^z의 절댓값은 eae^a이고, bb는 그 편각 중 하나이며, eze^z은 결코 영이 되지 않는다. 또 모든 복소수 zz와 ww에 대하여 ez+w=ezewe^{z + w} = e^z e^w가 성립한다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 16. 허수 지수함수. 받침: A (극형식에서의 상등), G (실수 지수함수). 증명된 수업: 복소지수함수와 오일러 공식.

    3. 지수함수의 주기성. ez=1e^z = 1이 성립할 필요충분조건은 z=2kπiz = 2k\pi i(단, kk는 어떤 정수)인 것이다. 따라서 ez=ewe^z = e^w일 필요충분조건은 z−wz - w가 2πi2\pi i의 정수배인 것이다.

      사용: 17. 합의 지수함수. 받침: A (극형식에서의 상등), G (실수 지수함수). 증명된 수업: 복소지수함수와 오일러 공식.

    4. 코사인과 사인의 오일러 표현. cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}과 sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}가 성립한다. 이것들로 복소수의 코사인과 사인을 정의하며, 그것들은 덧셈정리, 배각 공식, 차수를 낮추는 공식을 보존하지만 복부호가 붙은 반각 공식은 보존하지 않는다. 또 cos⁡(ix)=cosh⁡x\cos(ix) = \cosh x과 sin⁡(ix)=isinh⁡x\sin(ix) = i \sinh x가 얻어진다.

      사용: 16. 허수 지수함수, 17. 합의 지수함수. 받침: B (삼각함수 공식), G (실수 지수함수). 증명된 수업: 복소지수함수와 오일러 공식.

    5. 복소수의 로그. z≠0z \neq 0이면 ew=ze^w = z의 해는 w=ln⁡∣z∣+i(Arg⁡z+2kπ)w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)(단, kk는 정수)이고, 그것들로 정의되는 z1nz^{\frac{1}{n}}의 값은 정확히 nn개의 nn제곱근(zz의)이다.

      사용: 10. n제곱근, 11. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근, 17. 합의 지수함수, 18. 지수함수의 주기성. 받침: A (극형식에서의 상등), G (실수 지수함수). 증명된 수업: 복소지수함수와 오일러 공식.

    6. 한 점을 중심으로 하는 회전. 변환 R(z)=c+eiφ(z−c)R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)은 cc를 고정하고, 거리를 보존하며, 각 φ\varphi만큼 회전시킨다. 곧, 각 점과 cc를 잇는 선분을 이 각만큼 돌린다. 이것은 중심이 cc이고 각이 φ\varphi인 회전이다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 16. 허수 지수함수. 증명된 수업: 복소수를 이용한 기하.

    7. 대칭이동과 그 합성. 원점을 지나고 기울기의 각이 α\alpha인 직선에 대한 대칭이동은 합동변환 S(z)=e2iαz‾S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}이고, 각이 α\alpha와 β\beta인 두 대칭이동의 합성은 원점을 중심으로 하는 각 2(β−α)2(\beta - \alpha)의 회전이다.

      사용: 3. 켤레복소수와 역수, 16. 허수 지수함수, 21. 한 점을 중심으로 하는 회전. 증명된 수업: 복소수를 이용한 기하.

    8. 공선과 향. q=z3−z1z2−z1q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}이면 z1z_1에서 z2z_2로의 선분으로부터 z1z_1에서 z3z_3으로의 선분으로의 유향각은 qq의 편각 중 하나이다. 점들이 공선일 필요충분조건은 qq가 실수인 것이고, 선분들이 수직일 필요충분조건은 qq가 순허수인 것이다. 공선이 아닐 때 삼각형 z1z2z3z_1 z_2 z_3은 Im⁡q>0\operatorname{Im} q > 0일 때 양의 향이다. 향은 처음 꼭짓점에 의존하지 않고, 두 꼭짓점을 바꿀 때와 대칭이동을 적용할 때 뒤집히며, 회전으로는 보존된다.

      사용: 2. 극형식에서의 곱과 몫, 16. 허수 지수함수, 21. 한 점을 중심으로 하는 회전, 22. 대칭이동과 그 합성. 증명된 수업: 복소수를 이용한 기하.

    9. 정삼각형. z1≠z2z_1 \neq z_2이면 점 z1z_1, z2z_2, z3z_3이 이 순서로 양의 향인 정삼각형의 꼭짓점일 필요충분조건은 z1+ωz2+ω2z3=0z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0(단, ω=e2πi3\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}})이다. 증명은 조건을 ∣q∣=∣q−1∣=1\abs{q} = \abs{q - 1} = 1(단, Im⁡q>0\operatorname{Im} q > 0)로, 곧 q=eiπ3q = e^{\frac{i\pi}{3}}로 귀착시킨다.

      사용: 16. 허수 지수함수, 12. 거듭제곱근의 거듭제곱의 합, 23. 공선과 향. 증명된 수업: 복소수를 이용한 기하.

  4. 제4구간 다항방정식

    • 대수학의 기본 정리로부터 모든 nn차 복소계수 다항식이 nn개의 일차인수의 곱임을 이끌어 낸다.
    • 근과 계수 사이에 성립하는 근과 계수의 관계를 증명한다.
    • 카르다노 공식으로 삼차방정식을 풀고, 판별식으로 그 실근을 분류하며, 환원 불능의 경우를 삼배각으로 푼다.
    • 페라리의 방법으로 사차방정식을 삼차방정식으로 귀착시킨다.

    1. 복소수 범위에서의 인수분해. 차수가 n≥1n \geq 1이고 최고차항의 계수가 ana_n인 모든 복소계수 다항식은 an(z−z1)⋯(z−zn)a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)이고, 중복도를 포함하여 세면 정확히 nn개의 근을 가진다.

      받침: D (귀납법의 원리), H (인수정리와 기본 정리). 증명된 수업: 복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식.

    2. 근과 계수의 관계. 근의 기본대칭식은 σk=(−1)kan−kan\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}을 만족한다. 특히 근의 합은 −an−1an-\frac{a_{n - 1}}{a_n}이고 곱은 (−1)na0an(-1)^n \frac{a_0}{a_n}이다.

      사용: 25. 복소수 범위에서의 인수분해. 받침: D (귀납법의 원리). 증명된 수업: 복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식.

    3. 카르다노 공식. 치환 x=t−b3ax = t - \frac{b}{3a}은 삼차방정식을 t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0로 귀착시킨다. uu가 세제곱근 중 하나이고 그 근호 안의 수 UU가 분해방정식 s2+qs−p327=0s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0의 근이며 v=−p3uv = -\frac{p}{3u}이면, 근은 u+vu + v, ωu+ω2v\omega u + \omega^2 v, ω2u+ωv\omega^2 u + \omega v이다.

      사용: 10. n제곱근, 11. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근, 12. 거듭제곱근의 거듭제곱의 합, 26. 근과 계수의 관계. 받침: E (이항정리와 등비수열의 합). 증명된 수업: 복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식.

    4. 삼차방정식의 판별식. pp와 qq가 실수이고 Δ=−(4p3+27q2)\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)이면, 삼차방정식 t3+pt+q=0t^3 + pt + q = 0는 Δ<0\Delta < 0일 때 실근 하나와 실수가 아닌 켤레근 둘을 가지고, Δ=0\Delta = 0일 때 중근을 포함하는 실근을 가지며, Δ>0\Delta > 0일 때 서로 다른 세 실근을 가진다.

      사용: 3. 켤레복소수와 역수, 11. 거듭제곱으로서의 1의 거듭제곱근, 27. 카르다노 공식. 증명된 수업: 복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식.

    5. 삼각함수를 이용한 해법. Δ>0\Delta > 0이면, m=2−p3m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}로 놓고 c=3qpmc = \frac{3q}{pm}을 (−1,1)\ioo{-1}{1} 안에서 잡을 때 세 실근은 mcos⁡arccos⁡c+2kπ3m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}(단, k=0,1,2k = 0, 1, 2)이다.

      사용: 25. 복소수 범위에서의 인수분해, 28. 삼차방정식의 판별식. 받침: B (삼각함수 공식). 증명된 수업: 복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식.

    6. 페라리의 방법. 치환 x=y−b4ax = y - \frac{b}{4a}은 사차방정식을 y4+py2+qy+r=0y^4 + py^2 + qy + r = 0로 귀착시킨다. q≠0q \neq 0이고 mm이 그 삼차 분해방정식의 근이며 s2=2ms^2 = 2m이면, 이 사차식은 두 이차인수의 곱이고, 그 근들이 사차방정식의 근이다.

      사용: 10. n제곱근, 25. 복소수 범위에서의 인수분해, 27. 카르다노 공식. 받침: E (이항정리와 등비수열의 합). 증명된 수업: 복소수에서의 다항방정식: 카르다노와 페라리의 공식.

행렬과 대수 구조를 향하여. 사슬은 복소수가 구조가 되는 곳에서 끝난다. eiφe^{i\varphi}을 곱하는 것은 회전행렬이 되고, 절댓값의 제곱은 행렬식이 되며, 1의 거듭제곱근은 nn으로 나눈 나머지가 더해지는 것과 같은 방식으로 곱해져서 순환군의 첫 예가 된다.