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Topos Uranos
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공간의 거리, 각, 부피

요약

이 수업은 앞의 세 수업의 도구, 즉 내적, 외적, 스칼라 삼중곱을 직선과 평면의 방정식과 결합하여 공간에서 측정을 한다. 점과 집합 사이의 거리를 정의하고, 법선 위로의 사영을 통해 점과 평면 사이의 거리 공식을, 외적을 이용해 점과 직선 사이의 거리 공식을 증명하며, 두 경우 모두 수선의 발이 유일한 가장 가까운 점이다. 이로부터 평행한 평면 사이의 거리와 평행한 직선 사이의 거리를 이끌어 내고, 꼬인 위치에 있는 두 직선은 유일한 공통수선을 가지며, 그것은 두 방정식으로 이루어진 연립방정식을 풀어 구하고 그 길이는 스칼라 삼중곱을 크기로 나눈 것임을 증명한다. 두 직선이 이루는 각, 직선과 평면이 이루는 각, 두 평면이 이루는 각을 정의하고 계산하며, 이들이 초등기하학의 각과 일치함을 증명한다. 선분의 수직이등분면과, 평면에 대한 점의 대칭점 및 직선에 대한 점의 대칭점을 작도한다. 평면 다각형의 정사영의 넓이가 그 넓이에 이면각의 코사인을 곱한 것임을 증명하고, 구면과 그 방정식, 평면과의 교집합, 접평면을 다룬다. 응용은 결정의 격자면과 그 밀러 지수, 그리고 위성 측위이며, 문제는 정사면체, 세 점에서 같은 거리에 있는 점, 태양광 패널의 그림자, 한 직선을 포함하는 구면의 접평면, 항로가 꼬인 위치에 있는 두 비행기를 다룬다.

학습 목표

  1. 점과 평면 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리, 평행한 평면 사이의 거리, 평행한 직선 사이의 거리, 꼬인 위치에 있는 직선 사이의 거리를 계산하고, 각 공식을 증명하며, 그 거리를 주는 점을 구한다.
  2. 꼬인 위치에 있는 두 직선의 공통수선을 구하고 그것이 유일함을 증명한다.
  3. 직선끼리 이루는 각, 직선과 평면이 이루는 각, 두 평면이 이루는 각을 계산하고, 이들이 나타내는 기하학적 각과 일치함을 증명한다.
  4. 선분의 수직이등분면과, 평면에 대한 점의 대칭점 및 직선에 대한 점의 대칭점을 작도한다.
  5. 외적과 스칼라 삼중곱으로 넓이와 부피를 계산하고, 평면 다각형의 넓이와 그 정사영의 넓이 사이의 관계를 증명하고 응용한다.
  6. 구면의 방정식에서 중심과 반지름을 구하고, 평면에 대한 위치 관계를 판정하며, 단면의 원과 접평면을 구하고, 이 도구들로 결정학, 태양 에너지, 항공 항법, 위성 측위의 문제를 모형화한다.

점과 평면 사이의 거리, 점과 직선 사이의 거리

평면벡터에 관한 수업은 법선벡터 위로 사영하여 평면에서 점과 직선 사이의 거리를 얻었다. 공간에서는 공간의 직선과 평면에 관한 수업이, 점 P0P_0을 지나고 법선벡터가 n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right)(영벡터가 아님)인 평면을 점 XX의 집합(단, n⃗⋅P0X⃗=0\vec{n} \cdot \vec{P_0 X} = 0)으로, 즉 방정식 ax+by+cz=dax + by + cz = d로 나타냈고, AA를 지나고 방향벡터가 u⃗\vec{u}인 직선을 점 A+tu⃗A + t \vec{u}의 집합(tt는 실수)으로 나타냈다. 그렇다면 평면 기하에서의 생각은 공간의 평면에 그대로 통한다. 반면 직선의 경우 법선은 더 이상 하나의 방향이 아니며, 외적과 스칼라 삼중곱에 관한 수업의 외적이 그 자리를 대신한다. 사용하는 공간의 유클리드 기하학의 사실은 공간벡터와 내적에 관한 수업에서 받아들인 것들이다.

FF를 공간의 점들로 이루어진 공집합이 아닌 집합이라 하고 PP를 점이라 하자. PP에서 FF의 점들까지의 거리 가운데 다른 모든 거리보다 작거나 같은 것이 하나 있으면, 그 수를 PP와 FF 사이의 거리라 하고 d⁡(P,F)\operatorname{d}(P, F)로 쓴다. 마찬가지로, 집합 FF의 점들에서 다른 집합 GG의 점들까지의 거리 가운데 모든 거리보다 작거나 같은 것이 하나 있으면, 그 수를 FF와 GG 사이의 거리라 하고 d⁡(F,G)\operatorname{d}(F, G)로 쓴다.

정의는 거리가 존재함을 보장하지 않는다. 무한히 많은 거리 가운데 가장 작은 것이 없을 수도 있다. 그래서 아래의 정리들은 공식을 주는 데 그치지 않고, 가장 가까운 점이 존재하며 그것이 유일함을 증명한다.

정리점과 평면 사이의 거리

π\pi를 평면 ax+by+cz=dax + by + cz = d라 하고(단, n⃗=(a,b,c)\vec{n} = \left( a, b, c \right)은 영벡터가 아니다), P=(x0,y0,z0)P = (x_0, y_0, z_0)라 하자. 점 H=P−λn⃗H = P - \lambda \vec{n}는(단, λ=ax0+by0+cz0−d∥n⃗∥2\lambda = \frac{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}{{\norma{\vec{n}}}^2}) π\pi 위에 있고, HP⃗\vec{HP}는 π\pi에 수직이며, HH는 π\pi의 점 가운데 PP에 가장 가까운 유일한 점이다. 따라서:

d⁡(P,π)=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

평면 기하에서와 같이, 평면 위의 임의의 점에서 PP로 가는 벡터를 법선 위로 사영한다. 최소성은 피타고라스 정리이다. 그림에서는 평면 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4와 점 P=(2,3,3)P = (2, 3, 3)을 사용한다.

증명

  1. p⃗=QP⃗⋅n⃗∥n⃗∥2n⃗\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}

    점 Q=(q1,q2,q3)Q = (q_1, q_2, q_3)을 하나 택하고(π\pi 위의 점), 공간벡터에 관한 수업의 정사영 정리로 QP⃗\vec{QP}를 n⃗\vec{n} 위로 사영한다. 그림에서 Q=(2,0,0)Q = (2, 0, 0)이다.

  2. QP⃗⋅n⃗=ax0+by0+cz0−(aq1+bq2+cq3)=ax0+by0+cz0−d\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}

    QQ가 π\pi 위에 있으므로 aq1+bq2+cq3=da q_1 + b q_2 + c q_3 = d이고, 분자의 내적은 방정식의 좌변에 PP를 대입한 값에서 dd를 뺀 것이다.

  3. QH⃗=QP⃗−λn⃗,n⃗⋅QH⃗=0→H∈π\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}

    따라서 p⃗=λn⃗\vec{p} = \lambda \vec{n}이고 H=P−p⃗H = P - \vec{p}이다. 벡터 QH⃗=QP⃗−p⃗\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p}은 사영의 직교성분이며 n⃗\vec{n}에 수직이다. 평면의 법선벡터에 의한 방정식에 의해 HH는 π\pi 위에 있다.

  4. ∥PX⃗∥2=∥PH⃗∥2+∥HX⃗∥2≥∥PH⃗∥2{\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2

    XX를 π\pi의 임의의 점이라 하자. 샬의 관계에 의해 PX⃗=PH⃗+HX⃗\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}이다. 첫째 항은 n⃗\vec{n}의 배수이고 둘째 항은 π\pi의 두 점을 이으므로, 둘은 직교하고 피타고라스 등식이 성립한다.

  5. d⁡(P,π)=∥p⃗∥=∣QP⃗⋅n⃗∣∥n⃗∥=∣ax0+by0+cz0−d∣a2+b2+c2\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}

    등호는 HX⃗=0⃗\vec{HX} = \vec{0}일 때, 즉 X=HX = H일 때만 성립한다. 수선의 발이 유일한 가장 가까운 점이고, 거리는 사영의 크기이다.

  6. d⁡(P,π)=∣2⋅2+3+2⋅3−4∣4+1+4=93=3\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    그림에서 QP⃗=(0,3,3)\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right), QP⃗⋅n⃗=9\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9, ∥n⃗∥=3\norma{\vec{n}} = 3이므로 λ=1\lambda = 1이고, 발은 H=(0,2,1)H = (0, 2, 1), 거리는 33이다.

수 ax0+by0+cz0−da x_0 + b y_0 + c z_0 - d의 부호는, 공식이 절댓값으로 감추고 있지만, 역시 의미를 가진다. P=H+λn⃗P = H + \lambda \vec{n}이므로, PP에 평면에서 n⃗\vec{n}의 향으로 이동하여 도달할 때 양이고, 반대 향으로 이동하여 도달할 때 음이다. ax+by+cz>dax + by + cz > d인 점들은 평면이 정하는 두 반공간 가운데 하나를 이루고, ax+by+cz<dax + by + cz < d인 점들은 다른 하나를 이룬다. 두 점이 평면의 같은 쪽에 있을 필요충분조건은 이 식이 두 점에서 같은 부호를 갖는 것이다. 따라서 원점과 점 (2,3,3)(2, 3, 3)은 평면 2x+y+2z=42x + y + 2z = 4의 서로 반대쪽에 있다. 0−4<0<90 - 4 < 0 < 9이기 때문이다.

정리점과 직선 사이의 거리

rr을 직선 A+tu⃗A + t \vec{u}라 하고(단, u⃗\vec{u}는 영벡터가 아니다), PP를 점이라 하자. 점 H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}는(단, t0=AP⃗⋅u⃗∥u⃗∥2t_0 = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{u}}{{\norma{\vec{u}}}^2}) rr의 점 가운데 PP에 가장 가까운 유일한 점이고, HP⃗\vec{HP}는 u⃗\vec{u}에 수직이며, 또한:

d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥\operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

AP⃗\vec{AP}를 u⃗\vec{u} 위로의 사영과 직교성분으로 분해한다. 후자의 크기는 라그랑주 항등식으로 나타낸다. 그림에서는 A=(0,0,1)A = (0, 0, 1)을 지나고 방향벡터가 u⃗=(1,2,2)\vec{u} = \left( 1, 2, 2 \right)인 직선과 점 P=(3,3,1)P = (3, 3, 1)를 사용한다.

증명

  1. AP⃗=t0u⃗+w⃗,w⃗⋅u⃗=0\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0

    정사영 정리에 의해, AP⃗\vec{AP}는 그 사영 t0u⃗t_0 \vec{u}에(u⃗\vec{u} 위로의 사영) 벡터 w⃗\vec{w}를(u⃗\vec{u}에 직교하는 벡터) 더한 것이다. 점 H=A+t0u⃗H = A + t_0 \vec{u}은 rr 위에 있고 HP⃗=w⃗\vec{HP} = \vec{w}이다.

  2. XP⃗=w⃗+(t0−t)u⃗,∥XP⃗∥2=∥w⃗∥2+(t0−t)2∥u⃗∥2≥∥w⃗∥2\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2

    임의의 점 X=A+tu⃗X = A + t \vec{u}에 대하여(rr 위의 점), 벡터 XP⃗\vec{XP}는 w⃗\vec{w}에 u⃗\vec{u}의 배수를 더한 것이다. 두 항은 직교하고 피타고라스 등식이 성립한다.

  3. d⁡(P,r)2=∥w⃗∥2=∥AP⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2=∥AP⃗∥2∥u⃗∥2−(AP⃗⋅u⃗)2∥u⃗∥2{\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}

    등호는 t=t0t = t_0일 때만 성립한다. HH가 유일한 가장 가까운 점이고, 거리는 w⃗\vec{w}의 크기이며, 그 제곱은 사영의 피타고라스 등식이 준다.

  4. d⁡(P,r)2=∥AP⃗×u⃗∥2∥u⃗∥2→d⁡(P,r)=∥AP⃗×u⃗∥∥u⃗∥{\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}

    외적에 관한 수업의 라그랑주 항등식에 의해 분자는 AP⃗×u⃗\vec{AP} \times \vec{u}의 크기의 제곱이다. 제곱근을 취하면 된다.

  5. AP⃗×u⃗=(6,−6,3),d⁡(P,r)=93=3\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3

    그림에서 AP⃗=(3,3,0)\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right), AP⃗⋅u⃗=9\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9이므로 t0=1t_0 = 1, H=(1,2,3)H = (1, 2, 3), w⃗=(2,1,−2)\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right)이고, 그 크기는 33이다. 외적도 같은 결과를 준다.

이 공식에는 직접적인 기하학적 의미가 있다. ∥AP⃗×u⃗∥\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}는 AP⃗\vec{AP}와 u⃗\vec{u}를 변으로 하는 평행사변형의 넓이이고, ∥u⃗∥\norma{\vec{u}}는 직선 위에 놓인 그 밑변의 길이이다. 몫은 높이이며, 그것이 구하는 거리이다. 거리만 필요할 때는 외적을 쓰면 수선의 발을 계산하지 않아도 된다.