コンテンツへスキップ
Topos Uranos
日本語

三角関数とそのグラフ

要約

この課では、正弦、余弦、正接を、ラジアンで測られる実数の変数の関数として調べる。それらの定義域、値域、零点、最大値と最小値、偶奇性を求め、2π2\pi が正弦と余弦の最小の正の周期であり、π\pi が正接の最小の正の周期であることを証明する。単位円を展開して正弦のグラフを作り、平行移動によって余弦のグラフを得て、正接の鉛直漸近線を符号表によって記述する。そこから正割、余割、余接のグラフを導く。面積を比べることにより不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x（ただし 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}）を証明し、正弦曲線 y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d を調べる。これらによって、日の長さ、潮の満ち引き、観覧車の運動のような周期的な現象がモデル化される。

学習目標

  1. 正弦、余弦、正接を実数の変数の関数として定義し、それらの値域、零点、最大値と最小値、偶奇性、最小周期を証明する。
  2. 単位円から六つの三角関数のグラフを作り、鉛直漸近線を符号表によって記述する。
  3. 不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x（ただし 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}）と上界の式 ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x} を証明し、それらを関数と方程式の研究に用いる。
  4. 正弦曲線の振幅、周期、位相のずれ、縦方向の平行移動を正弦のグラフの変換として解釈し、周期的な現象に正弦曲線を当てはめる。

関数としての正弦と余弦

三角比の課では、任意の角の正弦と余弦を、標準の位置にある角の動径が単位円と交わる点 P(θ)P(\theta) の座標として定義した。ところで、角とその大きさの課によれば、すべての実数はある有向角の弧度法による大きさであり、二つの角の動径が一致するのは、それらの大きさの差が 2π2\pi の整数倍であるとき、かつそのときに限る。そうであれば、正弦と余弦は R\mathbb{R} 全体で定義された関数とみなすことができる：各実数 xx に、点 P(x)P(x) の座標の一つを対応させるのである。

各実数 xx に対して、P(x)P(x) を、標準の位置にある xx ラジアンの角に対応する単位円上の点とする。正弦関数は xx に P(x)P(x) の縦座標を対応させ、余弦関数はその横座標を対応させる。どちらも定義域はすべての実数の集合である。
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

変数はつねに度ではなくラジアンで測る。この選択はどうでもよい約束ではない：第二節の結果、たとえば sin⁡x<x\sin x < x（xx が正のとき）は、正弦を変数そのものと比べるが、この比較が意味をもつのは、xx が単位円上をたどった弧の長さであるとき、すなわち 1 ラジアンが測るものであるときに限る。

定理正弦と余弦の性質

正弦の値域と余弦の値域はともに区間 [−1,1]\icc{-1}{1} である。すべての実数 xx に対して sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x と cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x が成り立つ。正弦は奇関数であり、余弦は偶関数である。正弦の値が零になるのはちょうど π\pi の整数倍においてであり、値 11 をとるのはちょうど数 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi においてであり、値 −1-1 をとるのはちょうど数 −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi においてである（kk は整数）。余弦の値が零になるのはちょうど数 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi においてであり、値 11 をとるのはちょうど数 2kπ2k\pi において、値 −1-1 をとるのはちょうど数 π+2kπ\pi + 2k\pi においてである。

すべては単位円の上で、ピタゴラスの恒等式と、三角比の課で証明した対称性によって読み取れる。

証明

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    ピタゴラスの恒等式により、正弦の平方は高々 11 であり、正弦は −1-1 と 11 の間にある。余弦についても同様である。

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→ran⁡(sin⁡)=ran⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{ran}(\sin) = \operatorname{ran}(\cos) = \icc{-1}{1}

    逆に、cc（ただし −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1）が与えられたとき、下の点 QQ は単位円上にある。角とその大きさの課で認めた弧長に沿った移動の公理の被覆の性質により、それは点 P(x)P(x) である（xx はある角）。したがって sin⁡x=c\sin x = c である。同様に、点 (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) は余弦が値 cc をとることを示す。

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    xx ラジアンの角と x+2πx + 2\pi ラジアンの角は動径が一致するので、P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x) である。さらに、三角比の課で証明したように、P(−x)P(-x) は P(x)P(x) を横軸に関して対称移動した点である：正弦は奇関数、余弦は偶関数である。

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    正弦が零になるのは、P(x)P(x) が横軸上にあるとき、すなわちそれが (1,0)(1, 0) または (−1,0)(-1, 0) であるときである。これらは角 00 と π\pi、およびそれらと動径が一致する角の点である。余弦が零になるのは、P(x)P(x) が (0,1)(0, 1) または (0,−1)(0, -1) であるときである。

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    sin⁡x=1\sin x = 1 ならば、ピタゴラスの恒等式により余弦は零でなければならず、点 P(x)P(x) は (0,1)(0, 1) であって、これは角 π2\frac{\pi}{2} に対応する。sin⁡x=−1\sin x = -1 ならば、点は (0,−1)(0, -1) であり、これは −π2-\frac{\pi}{2} に対応する。

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    同じ推論により、余弦が値 11 をとるのは P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0) のとき、値 −1-1 をとるのは P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0) のときである。まとめると、正弦と余弦の最大値と最小値は次の数でとられる（kk は整数）。

正弦のグラフ

y=sin⁡xy = \sin x のグラフは、単位円を横軸の上に展開して得られる：点 P(x)P(x) が円をたどる間、たどった弧（長さ xx）を横軸に移し、各横座標の上に点の高さを立てる。三角比の課の対称性により、グラフ全体をその最初の四分の一から作ることができる。

例展開した円としての正弦のグラフ

図は単位円を横軸の上に、両者に同じ長さの単位をとって展開する：点 P(x)P(x) の高さは横座標 xx に移され、グラフ全体は最初の四分の一をくり返し、対称移動することで得られる。

証明

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    xx が 00 から π2\frac{\pi}{2} まで進む間、点 P(x)P(x) は (1,0)(1, 0) から (0,1)(0, 1) まで第一象限をたどる。弧長に沿った移動の公理の半回転の性質により、その横座標 cos⁡x\cos x は 11 から 00 まで狭義単調減少する。その高さは非負の平方根 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x} であるから、00 から 11 まで狭義単調増加する。逆三角関数の課では、同じ議論を区間 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} 全体に広げる。

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    三角比の課で計算した主な角の値は、最初の弧の三つの中間の点を与える。

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    π2\frac{\pi}{2} と π\pi の間では、補角の対称性により、π−x\pi - x における高さは xx における高さと同じである：最初の弧は鉛直な直線 x=π2x = \frac{\pi}{2} に関して対称であり、下がって高さ 00 に達し、そのときの横座標は π\pi である。

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    π\pi と 2π2\pi の間では、点 P(x+π)P(x + \pi) は P(x)P(x) と原点に関して対称な点である：高さの符号が変わり、グラフは軸の下に、すでに描いた弧を π\pi だけ平行移動して対称移動したものをくり返す。

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    周期性により、00 と 2π2\pi の間の部分は1 サイクルと呼ばれ、右と左にくり返される。また正弦は奇関数であるから、グラフは原点に関して対称である。

正弦のグラフは、直線 y=−1y = -1 と y=1y = 1 の間を振動する波であり、π\pi の倍数で横軸と交わり、数 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi で最大値を、数 −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi で最小値をとる。これは上の定理のとおりである。

さらに、図は二つの性質を前提としている。それらは展開した円が示唆するものの、この単元の道具では証明できない：グラフが切れ目のない曲線であること、そして軸の上にある各弧がつねに下に向かって曲がっていることである。どちらも極限によって定義され、微分積分学 Iのコースで証明される。ここでは認める。この単元のどの定理もそれらに依存しない：それらはいくつかの問題でのみ用いられ、その問題ではそのことを明記する。

証明なしに認める事実（三角関数とその逆関数の連続性）。正弦と余弦は数直線全体で連続である。正接、正割、余割、余接は、その定義域に含まれる各区間で連続である。逆正弦、逆余弦、逆正接は、逆三角関数の課で定義されるが、それぞれの定義域で連続である。連続関数の和、積、分母が零でない商、合成は連続である。したがって、コース I で証明なしに認め、有理関数の課で述べた中間値の定理に関する事実は、定義域に含まれる各閉区間において、sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}、tan⁡x−x\tan x - x または arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x のような関数に適用される：両端で符号が変われば、ある内部の点で零になる。
証明なしに認める事実（正弦が上に凸であること）。正弦は各区間 [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}（kk は整数）で狭義に上に凸である：u<x<vu < x < v がこの区間の点ならば、横座標 xx のグラフ上の点は、横座標 uu と vv のグラフ上の点を結ぶ線分より真に上にある。
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

周期関数

関数 ff が周期的であるとは、ある数 p>0p > 0 が存在して、定義域のすべての xx に対して x+px + p と x−px - p が定義域に属し、f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) が成り立つことをいう。このような数を ff の周期という。pp が周期ならば、2p2p、3p3p、さらに帰納法によりその自然数倍すべてが周期である：f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x)。したがって周期関数には無限に多くの周期があり、最も興味深いのはそれらのうち最小のもの（存在すれば）であって、それを最小周期という。そのグラフは、周期に等しい長さの区間に対応する部分を何度もくり返して得られる。

補題周期は最小周期の倍数である

qq が関数 ff の最小周期ならば、ff の周期はちょうど数 kqkq（kk は自然数）である。

任意の周期を qq で割り、余りのある割り算のようにして、余りが正にはなりえないことを示す。図は最小周期 qq の関数を用いる。

証明

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    qq の各自然数倍は周期である。これはいま帰納法で見たとおりである。

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    逆に、pp を周期とする。qq の最小性により p≥qp \geq q である。コース I の有理数の小数表示の課で証明した実数のアルキメデスの性質と整列原理により、角とその大きさの課の 1 周目への帰着の定理と同様に、自然数 k≥1k \geq 1 で kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q となるものが存在し、余り r=p−kqr = p - kq は 00 と qq の間にある（後者は除く）。

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    もし rr が正ならば、それは周期である：rr 進んでから kqkq 進むと pp 進むことになり、kqkq と pp はどちらも周期だからである。

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    しかし qq より小さい正の周期は qq の最小性に反する。よって余りは零であり、pp は qq の自然数倍である。

定理正弦と余弦の最小周期

数 2π2\pi は正弦と余弦の最小周期である。

性質の定理により、2π2\pi は両方の関数の周期である。00 と 2π2\pi の間のどの数も周期でないことを示せばよく、そのためには最大値がどこでとられるかを見れば十分である。

証明

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    pp（ただし 0<p<2π0 < p < 2\pi）が正弦の周期であると仮定する。等式 sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x に x=π2x = \frac{\pi}{2} を代入すると、数 π2+p\frac{\pi}{2} + p もまた最大値をとる点になる。

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    性質の定理により、正弦が値 11 をとるのは数 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi においてだけである：すると pp は 2π2\pi の整数倍となるが、これは 00 と 2π2\pi の間ではありえない。言いかえれば、正弦の隣り合う二つの最大値をとる点の距離はちょうど 2π2\pi である。

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    余弦については x=0x = 0 で同様に考える：周期 pp は cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1 を与えるが、余弦が値 11 をとるのは 2π2\pi の整数倍においてだけである。

上の補題により、正弦と余弦の周期はちょうど数 2kπ2k\pi（kk は自然数）である。

平行移動した正弦としての余弦

余弦のグラフに新しい作図は要らない。それは正弦のグラフを平行移動したものだからである。

定理余弦は平行移動した正弦である

すべての実数 xx に対して cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) が成り立つ。したがって、y=cos⁡xy = \cos x のグラフは正弦のグラフを左へ π2\frac{\pi}{2} だけ平行移動したものである。

余角と補角の対称性を組み合わせ、そのうえでコース I の関数の演算の課の変換の定理を用いる。

証明

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    余角の対称性により、xx の余弦は π2−x\frac{\pi}{2} - x の正弦である。

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    補角の対称性により sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u である。u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x とおくと、角 π−u\pi - u は π2+x\frac{\pi}{2} + x である。

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    変換の定理により、y=f(x−h)y = f(x - h) のグラフは ff のグラフを横方向に hh だけ平行移動したものである。ここで ff は正弦であり、h=−π2h = -\frac{\pi}{2} である：正弦のグラフの各点は左へ π2\frac{\pi}{2} だけ移る。最大値の点 (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) は (0,1)(0, 1) に移る。

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    平行移動したグラフから余弦の性質が読み取れる：余弦は偶関数であるから、グラフは縦軸に関して対称であり、数 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi で横軸と交わり、最大値 11 をとるのは π\pi の偶数倍において、最小値 −1-1 をとるのは奇数倍においてである。