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Topos Uranos
日本語

高階導関数と微分

要約

この課では導関数をさらに微分する。関数の導関数はまた一つの関数であり、それ自身をさらに微分できる。こうして 2 階導関数、3 階導関数、一般に nn 階導関数が得られ、累乗、指数関数、正弦、余弦についてはそれを表す閉じた式があり、帰納法で証明される。積の nn 階導関数は二項式の累乗と同じ法則に従う。これがライプニッツの公式である。この課の後半では、ライプニッツの記法の記号 dy\mathrm{d}y と dx\mathrm{d}x に、それぞれ単独で意味を与える。微分 dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x は関数の増分の線形部分であり、増分との差が変数の増分に比べて無視できるただ一つのものである。微分を用いて値を近似し、測定の誤差がどのように伝わるかを見積もるが、近似の誤差を上から押さえることはまだ目指さない。

学習目標

  1. 高階導関数をその定義域とともに定義し、累乗、指数関数、正弦、余弦、多項式の nn 階導関数を帰納法で求める。
  2. 積の nn 階導関数についてのライプニッツの公式を証明し、因子の一方が多項式であるときに適用する。
  3. 微分を定義し、それが増分の主要部であることを証明して、Δy\Delta y と dy\mathrm{d}y を区別する。
  4. 微分を用いて値を近似し、相対誤差を見積もる。その際、近似が何を主張し、何を主張しないかを理解する。

高階導関数

関数の導関数はまた一つの関数であり、それをもう一度微分することを妨げるものは何もない。x3x^3 の導関数は 3x23x^2 であり、3x23x^2 の導関数は 6x6x である。6x6x の導関数は 66 であり、66 の導関数は 00 である。s(t)s(t) が動点の時刻 tt における位置ならば、その導関数 s′(t)s'(t) は速度であり、速度の導関数は、速度そのものがどれだけ速く変化するかを測るもので、加速度である。この読み方は変化率の課で扱う。極限としての導関数の課と同様に、各導関数がどこで定義されるかを正確に定めておくのがよい。

定義高階導関数

ff を AA で定義された関数とする。ff の高階導関数は再帰的に定義される。00 階導関数は関数そのものであり、n+1n + 1 階導関数は nn 階導関数の導関数である：

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

導関数の定義により、n+1n + 1 階導関数の定義域は、f(n)f^{(n)} の定義域の点のうち f(n)f^{(n)} が微分可能である点全体の集合である。ff がnn 回微分可能であるとは、点 aa においては、aa が f(n)f^{(n)} の定義域に属することをいい、集合 SS においては、SS の各点でそうであることをいう。また、SS において何回でも微分可能であるとは、すべての nn についてそうであることをいう。最初のいくつかはプライムで書き、f′′=f(2)f'' = f^{(2)}（2 階導関数）、f′′′=f(3)f''' = f^{(3)} とする。4 階からは、累乗と混同しないように、f(4)f^{(4)} のように階数を括弧に入れて書く。y=f(x)y = f(x) のとき、ライプニッツの記法では d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}、dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n} と書き、nn 回微分する操作を dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} と書く。

ライプニッツの記法では、分子の指数は操作 ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} を何回施すかを表し、分母の指数は記号 dx\mathrm{d}x 全体にかかるのであって、変数 xx にかかるのではない。記号全体 d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} はひとまとまりとして読む。ff がある点で nn 回微分可能ならば、階数が nn より小さい各導関数はその点で微分可能であり、極限としての導関数の課の定理（微分可能ならば連続）により、その点で連続である。1 階導関数が存在しても 2 階導関数が存在しないことがある。微分法の公式の課では、x∣x∣x \abs{x} が R\mathbb{R} 全体で微分可能で、導関数が 2∣x∣2\abs{x} であることを示した。また、微分可能でない連続関数の命題により、絶対値は 00 で微分可能でない。したがって x∣x∣x \abs{x} は R\mathbb{R} で一回微分可能であり、二回微分可能なのは R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} においてだけで、そこでの 2 階導関数の値は 22（00 の右側）と −2-2（左側）である。

定義域についての仮定を繰り返さないために、一般的な主張の関数は開区間 II で定義されているものとする。その点はすべて II の集積点である。これで何も失われない。微分法の公式の課の微分係数の局所性の補題の第二の主張により、定義域に含まれる開区間の点では、関数の微分係数はその区間への制限の微分係数に等しく、帰納法により高階導関数についても同じことが成り立つ。こうして、1x\frac{1}{x} は (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} と (0,∞)\ioo{0}{\infty} で調べる。

補題高階導関数の線形性

ff と gg を、開区間 II で定義され、nn 回微分可能（II において）な関数とし、α\alpha を実数とする。このとき h=αf+gh = \alpha f + g は nn 回微分可能（II において）であり、h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}（II において）が成り立つ。 微分法の公式の課の一次結合の微分法の定理を nn 回適用する。

証明

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    n=1n = 1 のときは一次結合の微分法の定理そのものであり、II の各点で適用する。

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    等式が nn について成り立ち、ff と gg が n+1n + 1 回微分可能（II において）ならば、関数 h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} は II で微分可能な二つの関数の一次結合である。同じ定理により、それは II で微分可能である。数学的帰納法の原理により、等式はすべての nn について成り立つ。