複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式

証明

1. 1
   $$\resaltar{a_1 z + a_0} = \resaltar{a_1 \left( z + \frac{a_0}{a_1} \right)}$$

   初段：次数 $1$ の多項式は、その最高次の係数とただ一つの 1 次因数の積であり、その因数の根は $-\frac{a_0}{a_1}$ である。

2. 2
   $$P(z_1) = 0 \rightarrow P(z) = \resaltar{(z - z_1)} \dato{c}{\resaltar{C(z)}}, \qquad P(z) = (z - 1)\left( z^4 + 3z^3 + 5z^2 + z - 10 \right)$$

   次数 $n$ の多項式について定理が正しいと仮定し、$P$ を次数 $n + 1$ の多項式とする。代数学の基本定理により、$P$ は根 $z_1$ をもつ。因数定理により、$P$ は $z - z_1$ と商 $C$（次数 $n$）の積であり、その最高次の係数は $P$ のものと同じである。これは最高次の項を比べればわかる。例では $z_1 = 1$ であり、組立除法で式の商が得られる。

3. 3
   $$P(z) = (z - z_1) \resaltar{a_{n + 1} (z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})} = \dato{f}{\resaltar{a_{n + 1} (z - z_1)(z - z_2) \cdots (z - z_{n + 1})}}$$

   帰納法の仮定により、$C$ はその最高次の係数 $a_{n + 1}$ と $n$ 個の 1 次因数の積である。代入すると、$P$ は求める形に書ける。数学的帰納法の原理により、すべての次数 $n \geq 1$ について因数分解が存在する。

4. 4
   $$P(w) = a_n (w - z_1) \cdots (w - z_n) = 0 \leftrightarrow \resaltar{w = z_1 \vee \cdots \vee w = z_n}$$

   複素数の積は、いずれかの因数が 0 のときにしか 0 にならず、$a_n \neq 0$ である。したがって、数 $w$ が $P$ の根であるのは、それがいずれかの $z_k$ と一致するとき、かつそのときに限る。リストにある根のほかに根はない。

5. 5
   $$P(z) = a_n \resaltar{(z - r_1)^{k_1}} \cdots (z - r_s)^{k_s}, \qquad \resaltar{k_1 + k_2 + \cdots + k_s = n}$$

   等しい因数をまとめる。$r_1, \ldots, r_s$ を相異なる根とし、$r_j$ が $k_j$ 回現れるとすると、$P$ を $(z - r_1)^{k_1}$ で割った商は $r_1$ で 0 にならない。0 でない因数の積だからである。よって $k_1$ は $r_1$ の重複度であり、ほかの根についても同様である。重複度の和は $n$ であり、例では $2 + 1 + 1 + 1 = 5$ である。