極形式の複素数：まとめと挑戦課題

要約

この課は、極形式の複素数に充てられた単元を締めくくる。単元の定義と定理を一本の演繹の鎖にまとめる。この鎖は極形式における積の定理から出発し、ド・モアブルの公式、 $n$ 乗根、複素指数関数、平面の幾何を経て、多項式の因数分解と、カルダノの公式およびフェラーリの公式に至る。各環がコース代数と幾何 I と本コースのこれまでの二つの単元に負うものを示し、行列と代数的構造を扱うこの後の単元が同じ事実をどのように読み直すかを示す。最後に、単元の演習問題より難度が高く、単元の複数の課を組み合わせる十題の挑戦課題を置く。

学習目標

単元の演繹の鎖を、極形式における積の定理からカルダノの公式とフェラーリの公式まで再構成し、各定理がどの結果に依存するかを示す。
単元の結果を、コース I の結果（帰納法、二項定理、最大公約数、多項式）およびこれまでの単元の結果（極座標と三角関数の公式）と関係づけ、この後の単元における行列による読み方と構造による読み方を予見する。
極形式、1 の累乗根、複素指数関数、複素数による幾何、解と係数の関係を組み合わせる必要のある問題を解く。

単元で達成したこと

単元は一つの欠落から出発した。コース I の複素数の課では、二つの複素数の積は計算できても、理解されてはいなかった。極形式の課は、零でない各複素数を $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ と書き、この書き方が一周の違いを除いて一意であることを証明し、加法定理を用いて、ほかのすべてを支える定理を証明した。すなわち、積では絶対値が掛け合わされ、偏角が足し合わされる。そこから、複素数を掛けることは回転と拡大であること、共役複素数と逆数は反対の偏角をもつこと、積の偏角の主値は主値の和と一周の違いを除いてしか一致しないことが導かれた。

積が偏角を足すなら、累乗は偏角を掛ける。ド・モアブルの公式の課は、これをすべての整数の指数について帰納法で証明し、公式を二項定理と比べて多倍角の公式を得た。補題 $z^n + z^{-n} = 2\cos(n\theta)$ を用いて正弦と余弦の累乗を線形化し、公比が複素数の等比数列の和を用いて正弦の和と余弦の和を求め、累乗 $(1 + i)^n$ を用いて、添字が偶数の二項係数の和と、符号を交互に付けた添字が奇数の二項係数の和を求めた。さて、 $n$ 乗が角を $n$ 倍するなら、累乗根をとることは角を割る。 $n$ 乗根の課は、零でないすべての複素数がちょうど $n$ 個の $n$ 乗根をもち、それらが正多角形の頂点であること、そして 1 の累乗根はただ一つの累乗根の累乗であり、和がゼロで、 $z^n - 1$ を因数分解し、その添字が $n$ と互いに素であるときにちょうど原始的であることを証明した。

複素指数関数の課は、これらの規則がすべて指数法則であることに注目し、 $e^x$ 、余弦、正弦の級数（微分法を必要とするため証明なしに認めた）を用いて、指数関数の級数の $i\theta$ における和が $\cos \theta + i \sin \theta$ であることを示した。そこで $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ と $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ を定義し、指数関数が和を積に変え、周期 $2\pi i$ の周期関数であることを証明し、余弦と正弦を指数関数で表し、複素数に拡張したときにどの三角関数の恒等式が保たれるかを判定し、そこに双曲線関数を見いだし、指数関数を逆にたどって、無限に多くの値をもつ対数と複素数乗を得た。この記法により、複素数による幾何の課は、回転を $c + e^{i\varphi}(z - c)$ 、対称移動を $e^{2i\alpha}\conj{z}$ と書き、共線と垂直を一つの商から読み取り、その商の虚部の符号によって三角形の向きを定義し、向きがどの頂点から始めるかによらないこと、平行移動と回転が向きを保ち、対称移動が向きを逆にすることを証明し、正三角形を 1 の立方根で特徴づけ、アポロニウスの円の定理とナポレオンの定理を証明した。

最後に、複素数の範囲の多項式方程式の課は、複素数が生まれた領域ですべてをまとめた。証明なしに認める代数学の基本定理から、 $n$ 次のすべての多項式が $n$ 個の 1 次因数の積であることを導き、解と係数の関係を証明し、二項方程式、三項方程式、相反方程式を解いた。カルダノの公式には $n$ 乗根の課の立方根が必要であり、判別式は実係数の 3 次方程式の根を分類し、還元不能の場合は三倍角の公式で解かれ、フェラーリの方法は 4 次方程式を 3 次方程式に帰着させた。証明なしに認めるヘルダーの定理とアーベル・ルフィニの定理は、還元不能の場合に複素数を経由する回り道が避けられない理由と、5 次以上では同様の公式が存在しない理由を説明した。したがって、鎖の全体は以下のとおりである。積の定理、ド・モアブルの公式、 $n$ 乗根、複素指数関数、平面の幾何、多項式方程式であり、各環は本質的に最初の環の新しい読み方である。

単元が証明なしに認めるものを正確に列挙しておくのがよい。それはわずかで、場所も限られているからである。ユークリッド幾何からは、コース I の直線の方程式の課に集めた事実であり、単元はそのうち、積の相似な三角形の定理において、相似の概念と、角が等しければ辺が比例するということだけを必要とする。微分法からは、 $e^x$ 、余弦、正弦の級数であり、複素指数関数の課はこれをオイラーの公式の動機づけに用い、これらはコース微分積分学 I で証明される。代数学からは、多項式方程式の課で述べた三つの結果である。完全な因数分解が依存する代数学の基本定理と、ヘルダーの定理およびアーベル・ルフィニの定理であり、後の二つはどの環も支えず、還元不能の場合に複素数を経由する回り道が必要な理由と、5 次以上では累乗根による公式が存在しない理由を説明するだけである。最後に、ド・モアブルの公式の課にある累乗の螺旋の例は、原点を通るすべての直線と同じ角で交わるという対数螺旋の性質に、用いることなく言及しているが、これも微分法で証明される。そのほかはすべて、この単元、先立つ二つの単元、またはコース I で証明される。鎖のなかでは、ユークリッド幾何の事実と基本定理は認める支えとして現れるが、級数は現れない。虚数の指数関数は定義として採用されるので、級数はどの環も支えないからである。

以下の図は、単元の四つの区間を一本の鎖にまとめたものである。列の各節点は定義か定理で、論理的な順序で番号が付き、その証明が用いるそれより前の環と弧で結ばれている。そのまわりに浮かぶのが支え、すなわち鎖が何度も立ち返る原理と道具であり、最初の環で確立される極形式における相等の定理と、これまでの単元やコース I の結果がそれにあたり、後者は輪として描かれる。支えを押すと、それを使うすべての環が強調され、各環はそれが証明される課へのリンクになっている。

鎖の支え

A極形式における相等. 二つの複素数 $r_1\left( \cos \theta_1 + i \sin \theta_1 \right)$ と $r_2\left( \cos \theta_2 + i \sin \theta_2 \right)$ （ $r_1$ と $r_2$ は正）が等しいのは、 $r_1 = r_2$ かつ $\theta_1 - \theta_2$ が $2\pi$ の整数倍であるとき、かつそのときに限る。確立される環: 1. 極形式における相等.
B三角関数の公式. ピタゴラスの恒等式、和と差の余弦と正弦、二倍角、半角、三倍角、正弦と余弦の偶奇性と周期性、それらの零点、動径が一致する角の特徴づけ、 $\icc{0}{\pi}$ における余弦の単調性、余弦定理。三角関数を扱う単元 1 と解析的三角法を扱う単元 2 で証明した。この単元では証明なしに認める。
Cユークリッド幾何. コース I の平面の解析幾何の単元では、ユークリッド幾何の事実を認める。ピタゴラスの定理とその逆、平行線、タレスの定理と三角形の相似、三角形の内角の和、二等辺三角形である。この単元では証明なしに認める。
D帰納法の原理. ある性質が最初の自然数について成り立ち、各自然数からその直後の自然数へ受け継がれるなら、すべての自然数について成り立つ。コース I の自然数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
E二項定理と等比数列の和. すべての自然数 $n$ について $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$ が成り立ち、 $q \neq 1$ ならば $1 + q + \cdots + q^{n - 1} = \frac{q^n - 1}{q - 1}$ である。コース I の自然数の単元で証明した。どちらの計算も和と積の性質しか使わないので、複素数でも成り立つ。この単元では証明なしに認める。
F余りのある割り算とベズーの等式. すべての整数は $qn + r$ （ $0 \leq r \leq n - 1$ ）と書け、 $\operatorname{gcd}(k, n) = 1$ ならば整数 $x$ と $y$ が存在して $kx + ny = 1$ となる。コース I の自然数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
G実数の指数関数. 実数の指数関数は正で、単射であり、正の実数全体への全単射であって、 $e^a e^c = e^{a + c}$ を満たし、双曲線余弦と双曲線正弦を定める。コース I の指数関数と対数関数の単元で証明した。この単元では証明なしに認める。
H因数定理と基本定理. $z_0$ が多項式 $P$ の根ならば $z - z_0$ は $P$ を割り切る。これはコース I の代数関数の単元で証明し、複素数でも成り立つ。また、次数 $n \geq 1$ の複素係数多項式はどれも複素数の根をもつ。これは証明なしに認める。この単元では証明なしに認める。

第 1 区間極形式と積
- 零でないすべての複素数を極形式で書き、その書き方が一周の違いを除いて一意であることを証明する。
- 加法定理を用いて、積では絶対値が掛け合わされ偏角が足し合わされることを証明する。
- そこから極形式での共役複素数と逆数、および積の偏角の主値のふるまいを導く。
- 複素数を掛けることを、回転と拡大の合成として解釈する。
1. 極形式における相等. $z = a + bi \neq 0$ の偏角とは、実数 $\theta$ のうち $a = \abs{z} \cos \theta$ かつ $b = \abs{z} \sin \theta$ を満たすもののすべてである。複素数 $r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ （ $r > 0$ ）は絶対値 $r$ 、偏角 $\theta$ をもち、この形の二つの式が等しいのは、絶対値が同じで偏角の差が $2\pi$ の整数倍であるとき、かつそのときに限る。
  支え: B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素数の極形式.
2. 極形式における積と商. $z$ が絶対値 $r$ 、偏角 $\theta$ をもち、 $w$ が絶対値 $s$ 、偏角 $\varphi$ をもつならば、積 $zw$ は絶対値 $rs$ 、偏角 $\theta + \varphi$ をもち、商 $\frac{z}{w}$ は絶対値 $\frac{r}{s}$ 、偏角 $\theta - \varphi$ をもつ。
  支え: A (極形式における相等), B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素数の極形式.
3. 共役複素数と逆数. $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ （ $r > 0$ ）ならば、 $z$ の共役複素数は絶対値 $r$ 、偏角 $-\theta$ をもち、逆数 $\frac{1}{z}$ は絶対値 $\frac{1}{r}$ 、偏角 $-\theta$ をもつ。
  使う結果: 2. 極形式における積と商. 支え: A (極形式における相等), B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素数の極形式.
4. 積の偏角の主値. $zw$ の偏角の主値は $\operatorname{Arg} z + \operatorname{Arg} w + 2k\pi$ であり、 $k$ は $-1$ 、 $0$ 、 $1$ のいずれかに等しく、 $k = 0$ となるのはちょうどその和が $\ioc{-\pi}{\pi}$ に属するときである。
  使う結果: 2. 極形式における積と商. 支え: A (極形式における相等). 証明される授業: 複素数の極形式.
5. 積の相似な三角形. $z \neq 0$ かつ $w$ が実数でないならば、頂点 $0$ 、 $z$ 、 $zw$ の三角形は頂点 $0$ 、 $1$ 、 $w$ の三角形と相似で、相似比は $\abs{z}$ である。 $z$ を掛けることは回転と拡大である。
  使う結果: 2. 極形式における積と商. 支え: C (ユークリッド幾何), B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素数の極形式.
第 2 区間累乗と累乗根
- すべての整数の指数についてド・モアブルの公式を帰納法で証明する。
- それと二項定理から多倍角の公式を得て、余弦の累乗を線形化し、等比数列の和で正弦の和と余弦の和を求める。
- 零でないすべての複素数がちょうど $n$ 個の $n$ 乗根をもち、それらが正多角形の頂点であることを証明する。
- 1 の累乗根を調べる。その累乗、その和、 $z^n - 1$ の因数分解、原始的な累乗根である。
1. ド・モアブルの公式. すべての実数 $\theta$ とすべての整数 $n$ について $\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta)$ が成り立つ。したがって、 $z = r\left( \cos \theta + i \sin \theta \right)$ ならば、累乗 $z^n$ は絶対値 $r^n$ 、偏角 $n\theta$ をもつ。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 3. 共役複素数と逆数. 支え: A (極形式における相等), D (帰納法の原理), B (三角関数の公式). 証明される授業: ド・モアブルの公式と複素数の累乗.
2. 多倍角. $n\theta$ の余弦は項 $\binom{n}{k} \cos^{n - k} \theta \sin^k \theta$ （添字 $k$ が偶数のもの）の交代和であり、 $n\theta$ の正弦は添字が奇数の項の交代和である。
  使う結果: 6. ド・モアブルの公式. 支え: E (二項定理と等比数列の和). 証明される授業: ド・モアブルの公式と複素数の累乗.
3. 線形化. $z = \cos \theta + i \sin \theta$ ならば $z^n + z^{-n} = 2 \cos(n\theta)$ と $z^n - z^{-n} = 2i \sin(n\theta)$ が成り立つ。そこから、例えば $\cos^3 \theta = \frac{\cos 3\theta + 3 \cos \theta}{4}$ と $\cos^4 \theta = \frac{\cos 4\theta + 4 \cos 2\theta + 3}{8}$ が導かれる。
  使う結果: 6. ド・モアブルの公式. 支え: E (二項定理と等比数列の和), B (三角関数の公式). 証明される授業: ド・モアブルの公式と複素数の累乗.
4. 正弦の和と余弦の和. $\theta$ が $2\pi$ の整数倍でないならば、複素数 $\cos(k\theta) + i \sin(k\theta)$ （ $k$ は $0$ から $n - 1$ まで）の和は、実数 $\frac{\sin \frac{n\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}}$ と、絶対値 $1$ 、偏角 $\frac{(n - 1)\theta}{2}$ の複素数との積であり、これから余弦の和と正弦の和が得られる。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 6. ド・モアブルの公式. 支え: A (極形式における相等), E (二項定理と等比数列の和), B (三角関数の公式). 証明される授業: ド・モアブルの公式と複素数の累乗.
5. n 乗根. $w = R\left( \cos \varphi + i \sin \varphi \right) \neq 0$ ならば、方程式 $z^n = w$ はちょうど $n$ 個の解をもち、それらは絶対値 $\sqrt[n]{R}$ 、偏角 $\frac{\varphi + 2k\pi}{n}$ （ $0 \leq k \leq n - 1$ ）をもち、 $n \geq 3$ のときは半径 $\sqrt[n]{R}$ の円に内接する正多角形の頂点である。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 6. ド・モアブルの公式. 支え: A (極形式における相等), F (余りのある割り算とベズーの等式), B (三角関数の公式), D (帰納法の原理). 証明される授業: 複素数の n 乗根と 1 の累乗根.
6. 累乗としての 1 の累乗根. 1 の $n$ 乗根は累乗 $\omega_k = \omega^k$ （ $\omega = \cos \frac{2\pi}{n} + i \sin \frac{2\pi}{n}$ の）である。それらは添字を $n$ を法として足すことで掛け合わされ、それぞれの逆数はその共役複素数であり、そのうちの一つを掛けるとそれらが並べ替えられる。
  使う結果: 3. 共役複素数と逆数, 6. ド・モアブルの公式, 10. n 乗根. 支え: F (余りのある割り算とベズーの等式). 証明される授業: 複素数の n 乗根と 1 の累乗根.
7. 累乗根の累乗の和. $n \geq 2$ ならば、 $m$ 乗の和（1 の $n$ 個の $n$ 乗根すべてにわたる）は $n$ に等しく（ $n$ が $m$ を割り切るとき）、そうでないときは $0$ に等しい。特に、累乗根の和はゼロである。
  使う結果: 11. 累乗としての 1 の累乗根. 支え: A (極形式における相等), E (二項定理と等比数列の和). 証明される授業: 複素数の n 乗根と 1 の累乗根.
8. z の n 乗から 1 を引いた式の因数分解. すべての自然数 $n$ について、多項式 $z^n - 1$ は $n$ 個の因数 $z - \omega_k$ （ $0 \leq k \leq n - 1$ ）の積である。
  使う結果: 10. n 乗根. 支え: H (因数定理と基本定理). 証明される授業: 複素数の n 乗根と 1 の累乗根.
9. 原始累乗根. 累乗根 $\omega_k$ （ $1 \leq k \leq n$ ）が原始的である、すなわちその累乗が 1 のすべての $n$ 乗根を与えるのは、 $\operatorname{gcd}(k, n) = 1$ のとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 11. 累乗としての 1 の累乗根, 12. 累乗根の累乗の和. 支え: F (余りのある割り算とベズーの等式). 証明される授業: 複素数の n 乗根と 1 の累乗根.
10. x の n 乗から 1 を引いた式の実数の範囲での因数分解. 実数でない共役な累乗根の各組 $\omega_k$ 、 $\omega_{n - k}$ は既約因数 $x^2 - 2x \cos \frac{2k\pi}{n} + 1$ を与える。したがって $x^n - 1$ は、 $x - 1$ と、 $x + 1$ （ $n$ が偶数のとき）と、それらの 2 次因数との積である。
  使う結果: 3. 共役複素数と逆数, 11. 累乗としての 1 の累乗根, 13. z の n 乗から 1 を引いた式の因数分解. 支え: A (極形式における相等), B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素数の n 乗根と 1 の累乗根.
第 3 区間複素指数関数と幾何
- オイラーの公式で $e^{i\theta}$ を定義し、 $e^{a + bi} = e^a e^{ib}$ を定義して、上の規則のうちに指数法則を見てとる。
- 指数関数が和を積に変え、周期 $2\pi i$ の周期関数であることを証明する。
- 余弦と正弦を指数関数で表し、双曲線関数と結びつけ、複素数の対数を求める。
- 平面の回転と対称移動を複素数で書き、共線と垂直を一つの商から読み取り、三角形の向きを定義してその不変性を証明し、正三角形を特徴づける。
1. 虚数の指数関数. 複素数 $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ は絶対値 $1$ をもち、 $e^{i\alpha} e^{i\beta} = e^{i(\alpha + \beta)}$ 、 $\left( e^{i\theta} \right)^n = e^{in\theta}$ 、および $\left( e^{i\theta} \right)^{-1} = e^{-i\theta}$ が成り立つ。最後のものはその共役複素数である。さらに、 $e^{i\alpha} = e^{i\beta}$ となるのは $\alpha - \beta$ が $2\pi$ の整数倍であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 3. 共役複素数と逆数, 6. ド・モアブルの公式. 支え: A (極形式における相等), B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素指数関数とオイラーの公式.
2. 和の指数関数. $z = a + bi$ かつ $e^z = e^a e^{ib}$ ならば、 $e^z$ の絶対値は $e^a$ であり、 $b$ はその偏角の一つであり、 $e^z$ は決して零にならない。また、すべての複素数 $z$ と $w$ について $e^{z + w} = e^z e^w$ が成り立つ。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 16. 虚数の指数関数. 支え: A (極形式における相等), G (実数の指数関数). 証明される授業: 複素指数関数とオイラーの公式.
3. 指数関数の周期性. $e^z = 1$ が成り立つのは $z = 2k\pi i$ （ $k$ はある整数）となるとき、かつそのときに限る。したがって、 $e^z = e^w$ となるのは $z - w$ が $2\pi i$ の整数倍であるとき、かつそのときに限る。
  使う結果: 17. 和の指数関数. 支え: A (極形式における相等), G (実数の指数関数). 証明される授業: 複素指数関数とオイラーの公式.
4. 余弦と正弦のオイラー表示. $\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ と $\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$ が成り立つ。これらを用いて複素数の余弦と正弦を定義する。それらは加法定理、二倍角の公式、次数下げの公式を保つが、複号つきの半角の公式は保たない。また $\cos(ix) = \cosh x$ と $\sin(ix) = i \sinh x$ が得られる。
  使う結果: 16. 虚数の指数関数, 17. 和の指数関数. 支え: B (三角関数の公式), G (実数の指数関数). 証明される授業: 複素指数関数とオイラーの公式.
5. 複素数の対数. $z \neq 0$ ならば、 $e^w = z$ の解は $w = \ln \abs{z} + i\left( \operatorname{Arg} z + 2k\pi \right)$ （ $k$ は整数）であり、それらを用いて定義される $z^{\frac{1}{n}}$ の値は、ちょうど $n$ 個の $n$ 乗根（ $z$ の）である。
  使う結果: 10. n 乗根, 11. 累乗としての 1 の累乗根, 17. 和の指数関数, 18. 指数関数の周期性. 支え: A (極形式における相等), G (実数の指数関数). 証明される授業: 複素指数関数とオイラーの公式.
6. 一点のまわりの回転. 変換 $R(z) = c + e^{i\varphi}(z - c)$ は $c$ を固定し、距離を保ち、角 $\varphi$ の回転を行う。すなわち、各点と $c$ を結ぶ線分をこの角だけ回す。これは中心 $c$ 、角 $\varphi$ の回転である。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 16. 虚数の指数関数. 証明される授業: 複素数による幾何.
7. 対称移動とその合成. 原点を通り傾きの角が $\alpha$ の直線に関する対称移動は合同変換 $S(z) = e^{2i\alpha} \conj{z}$ であり、角 $\alpha$ と $\beta$ の対称移動の合成は、原点を中心とする角 $2(\beta - \alpha)$ の回転である。
  使う結果: 3. 共役複素数と逆数, 16. 虚数の指数関数, 21. 一点のまわりの回転. 証明される授業: 複素数による幾何.
8. 共線と向き. $q = \frac{z_3 - z_1}{z_2 - z_1}$ ならば、 $z_1$ から $z_2$ への線分から $z_1$ から $z_3$ への線分への有向角は $q$ の偏角の一つである。点が共線であるのは $q$ が実数であるとき、かつそのときに限り、線分が垂直であるのは $q$ が純虚数であるとき、かつそのときに限る。共線でないとき、三角形 $z_1 z_2 z_3$ は $\operatorname{Im} q > 0$ のとき正の向きである。向きは始めの頂点によらず、二つの頂点を入れ替えたときと対称移動を施したときに逆になり、回転では保たれる。
  使う結果: 2. 極形式における積と商, 16. 虚数の指数関数, 21. 一点のまわりの回転, 22. 対称移動とその合成. 証明される授業: 複素数による幾何.
9. 正三角形. $z_1 \neq z_2$ ならば、点 $z_1$ 、 $z_2$ 、 $z_3$ がこの順に正の向きの正三角形の頂点であるのは、 $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ （ $\omega = e^{\frac{2\pi i}{3}}$ ）のとき、かつそのときに限る。証明は条件を $\abs{q} = \abs{q - 1} = 1$ （ $\operatorname{Im} q > 0$ ）に、すなわち $q = e^{\frac{i\pi}{3}}$ に帰着させる。
  使う結果: 16. 虚数の指数関数, 12. 累乗根の累乗の和, 23. 共線と向き. 証明される授業: 複素数による幾何.
第 4 区間多項式方程式
- 代数学の基本定理から、 $n$ 次のすべての複素係数多項式が $n$ 個の 1 次因数の積であることを導く。
- 根と係数の間に成り立つ解と係数の関係を証明する。
- カルダノの公式で 3 次方程式を解き、判別式でその実数の根を分類し、還元不能の場合を三倍角で解く。
- フェラーリの方法で 4 次方程式を 3 次方程式に帰着させる。
1. 複素数の範囲での因数分解. 次数 $n \geq 1$ 、最高次の係数 $a_n$ のすべての複素係数多項式は $a_n (z - z_1) \cdots (z - z_n)$ であり、重複度を込めて数えるとちょうど $n$ 個の根をもつ。
  支え: D (帰納法の原理), H (因数定理と基本定理). 証明される授業: 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式.
2. 解と係数の関係. 根の基本対称式は $\sigma_k = (-1)^k \frac{a_{n - k}}{a_n}$ を満たす。特に、根の和は $-\frac{a_{n - 1}}{a_n}$ 、積は $(-1)^n \frac{a_0}{a_n}$ である。
  使う結果: 25. 複素数の範囲での因数分解. 支え: D (帰納法の原理). 証明される授業: 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式.
3. カルダノの公式. 置き換え $x = t - \frac{b}{3a}$ は 3 次方程式を $t^3 + pt + q = 0$ に帰着させる。 $u$ が立方根の一つで、その根号の中の数 $U$ が分解方程式 $s^2 + qs - \frac{p^3}{27} = 0$ の根であり、 $v = -\frac{p}{3u}$ ならば、根は $u + v$ 、 $\omega u + \omega^2 v$ 、 $\omega^2 u + \omega v$ である。
  使う結果: 10. n 乗根, 11. 累乗としての 1 の累乗根, 12. 累乗根の累乗の和, 26. 解と係数の関係. 支え: E (二項定理と等比数列の和). 証明される授業: 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式.
4. 3 次方程式の判別式. $p$ と $q$ が実数で $\Delta = -\left( 4p^3 + 27q^2 \right)$ ならば、3 次方程式 $t^3 + pt + q = 0$ は、 $\Delta < 0$ のとき実数の根一つと実数でない共役な根二つをもち、 $\Delta = 0$ のとき重根を含む実数の根をもち、 $\Delta > 0$ のとき相異なる三つの実数の根をもつ。
  使う結果: 3. 共役複素数と逆数, 11. 累乗としての 1 の累乗根, 27. カルダノの公式. 証明される授業: 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式.
5. 三角関数による解法. $\Delta > 0$ ならば、 $m = 2\sqrt{-\frac{p}{3}}$ とおき $c = \frac{3q}{pm}$ を $\ioo{-1}{1}$ の中にとると、三つの実数の根は $m \cos \frac{\arccos c + 2k\pi}{3}$ （ $k = 0, 1, 2$ ）である。
  使う結果: 25. 複素数の範囲での因数分解, 28. 3 次方程式の判別式. 支え: B (三角関数の公式). 証明される授業: 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式.
6. フェラーリの方法. 置き換え $x = y - \frac{b}{4a}$ は 4 次方程式を $y^4 + py^2 + qy + r = 0$ に帰着させる。 $q \neq 0$ かつ $m$ がその 3 次分解方程式の根で、 $s^2 = 2m$ ならば、この 4 次式は二つの 2 次因数の積であり、それらの根が 4 次方程式の根である。
  使う結果: 10. n 乗根, 25. 複素数の範囲での因数分解, 27. カルダノの公式. 支え: E (二項定理と等比数列の和). 証明される授業: 複素数の範囲の多項式方程式：カルダノとフェラーリの公式.

行列と代数的構造へ. 鎖は複素数が構造になるところで終わる。 $e^{i\varphi}$ を掛けることは回転行列に、絶対値の二乗は行列式になり、1 の累乗根は、 $n$ で割った余りが足されるのと同じように掛け合わされ、巡回群の最初の例となる。

極形式の複素数：まとめと挑戦課題

要約

学習目標

単元で達成したこと

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