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Topos Uranos
日本語

凹凸と変曲点

要約

この課では、関数のグラフがどのように曲がっているかを調べる。グラフの 2 点の間でグラフがそれらを結ぶ弦の下にあれば関数は下に凸であり、弦の上にあれば上に凸である。定義を弦の傾きの比較に言い換え、平均値の定理と単調性を用いて、微分可能な関数が下に凸であるための必要十分条件は導関数が単調増加であることであり、またグラフがすべての接線の上にあることであること、さらに 2 回微分可能な関数が下に凸であるための必要十分条件は 2 階導関数が負にならないことであることを証明する。関数が下に凸から上に凸に変わる点として変曲点を定義し、変曲点を求める判定法を与える。2 階導関数の符号の変化、必要条件 f′′(a)=0f''(a) = 0、そして 3 階導関数による判定法である。最後のものは、高階導関数による判定法がグラフを水平な直線と比べたように、グラフをその接線と比べる。正弦の弦からジョルダンの不等式を導き、イェンセンの不等式によって、対数が上に凸であることを、任意個の数の相乗平均と相加平均の大小関係に変える。

学習目標

  1. 下に凸な関数と上に凸な関数を、弦を用いて量化子で定義し、本による二つの流儀を区別し、定義を弦の傾きの比較に言い換える。
  2. 微分可能な関数が下に凸であるための必要十分条件は、導関数が単調増加であることであり、またグラフが接線の上にあることであることを証明し、2 階導関数を用いて、関数がどの区間で下に凸か上に凸かを判定する。
  3. 2 階導関数の符号の変化と 3 階導関数を用いて関数の変曲点を求め、2 階微分係数が 0 であっても変曲点でない点を見分ける。
  4. 凹凸を用いて不等式を証明する。弦によるジョルダンの不等式、イェンセンの不等式、そして相加平均と相乗平均の大小関係である。

下に凸な関数と上に凸な関数

単調性の課では、関数が上がるか下がるかを調べた。この課では、どのように上がり下がりするかを調べる。関数 x2x^2 と x\sqrt{x} はどちらも [0,∞)\ico{0}{\infty} で狭義単調増加であるが、前者は上に曲がり、後者は下に曲がる。x2x^2 のグラフ上の 2 点を結ぶ線分、すなわちその弦は、2 点の間のグラフの弧の上にあり、x\sqrt{x} の弦は弧の下にある。tt が [0,1]\icc{0}{1} に属するとき、(x,f(x))(x, f(x)) と (y,f(y))(y, f(y)) を結ぶ弦の点で横座標が tx+(1−t)ytx + (1 - t)y であるものの縦座標は tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y) である。縦座標の同じ組合せである。

定義下に凸な関数と上に凸な関数

ff を区間 II で定義された関数とする。ff が II で下に凸であるとは、そのグラフのどの点も、グラフ上の 2 点で横座標がその点の横座標を挟むものを結ぶ弦より上にないことをいう：

(∀x∈I)(∀y∈I)(∀t∈[0,1])(f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

また、x≠yx \neq y かつ 0<t<10 < t < 1 であるときつねに不等式が狭義であれば、狭義に下に凸であるという。ff が II で上に凸（または狭義に上に凸）であるとは、−f-f が下に凸（または狭義に下に凸）であること、すなわち逆向きの不等式が成り立つことをいう。グラフのどの点もそれらの弦より下にない。

線形関数 mx+nmx + n は下に凸であると同時に上に凸である。そのグラフは弦と一致する。関数 x2x^2 は R\mathbb{R} で狭義に下に凸である。不等式の両辺の差が t(1−t)(x−y)2t(1 - t)(x - y)^2 であり、x≠yx \neq y かつ 0<t<10 < t < 1 ならば正だからである。絶対値は、三角不等式 ∣tx+(1−t)y∣≤t∣x∣+(1−t)∣y∣\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y} により下に凸であるが、00 で微分可能ではない。また狭義に下に凸ではない。[0,∞)\ico{0}{\infty} で弦と一致するからである。

二つの流儀。このコースでは、x2x^2 のようにグラフが弦より上に出ない関数を「下に凸」、x\sqrt{x} のようにグラフが弦より下に出ない関数を「上に凸」という。これは高校の数学 III の言い方であり、大学の解析学や最適化の多くの本で「凸関数」「凹関数」と呼ばれるものにあたる。また、「代数学と幾何学 II」の三角関数とそのグラフの課で証明なしに認めた、正弦が上に凸であるという事実の流儀でもある。一方、「凸」「凹」を単独で用いる本のなかには言葉を逆に使い、グラフを上から見て x2x^2 を凹と呼ぶものもある。このコースで単独の「凸」「凹」を使わず、「下に凸」「上に凸」と書くのはそのためである。新しい本に向かうときは、その定義を探すか、x2x^2 をどう呼んでいるかに注意するとよい。不等式は変わらず、変わるのは名前だけである。

定義はグラフの点を弦と比べる。x<z<yx < z < y のとき、(z,f(z))(z, f(z)) を xx から yy への弦と比べることは、三つの弦の傾きを比べることと同値である。下に凸な関数のグラフを左から右へたどると、弦はしだいに急になる。図は f(x)=x24−0.3x+0.6f(x) = \frac{x^2}{4} - 0.3x + 0.6 でこれを示している。

補題弦の傾き

ff を区間 II で定義された関数とし、S(u,v)=f(v)−f(u)v−uS(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u} を、相異なる二つの横座標 uu と vv（II の点）の間の弦の傾きとする。x<z<yx < z < y が II の点ならば、不等式

S(x,z)≤S(x,y),S(x,y)≤S(z,y),S(x,z)≤S(z,y)S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

のそれぞれは、点 (z,f(z))(z, f(z)) が (x,f(x))(x, f(x)) と (y,f(y))(y, f(y)) を結ぶ弦より上にないことと同値であり、狭義の不等式のそれぞれは、その点が弦より真に下にあることと同値である。したがって、ff が II で下に凸であるための必要十分条件は、三つの不等式がすべての x<z<yx < z < y（II の点）について成り立つことであり、狭義に下に凸であるための必要十分条件は、それらが狭義に成り立つことである。

証明

  1. f(z)≤tf(x)+(1−t)f(y)⇔(y−x)f(z)≤(y−z)f(x)+(z−x)f(y)f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}

    t=y−zy−xt = \frac{y - z}{y - x} とおくと、これは (0,1)\ioo{0}{1} に属する。このとき 1−t=z−xy−x1 - t = \frac{z - x}{y - x} かつ z=tx+(1−t)yz = tx + (1 - t)y である。横座標 zz の弦の点の縦座標は tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y) であり、比較の式に y−x>0y - x > 0 を掛けると分数なしに書ける：

  2. (y−x)(f(z)−f(x))≤(z−x)(f(y)−f(x))⇔S(x,z)≤S(x,y)(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}

    両辺から (y−x)f(x)(y - x) f(x) を引く。y−x=(y−z)+(z−x)y - x = (y - z) + (z - x) なので、右辺は (z−x)(f(y)−f(x))(z - x)\left(f(y) - f(x)\right) となり、あとは (z−x)(y−x)>0(z - x)(y - x) > 0 で割ればよい。同様に、(y−x)f(y)(y - x) f(y) を引いて (y−z)(y−x)>0(y - z)(y - x) > 0 で割ると、二つ目の不等式が得られる。

  3. S(x,y)=z−xy−xS(x,z)+y−zy−xS(z,y),S(x,y)−S(x,z)=y−zy−x(S(z,y)−S(x,z))S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}

    xx から yy までの増分は、xx から zz までの増分と zz から yy までの増分の和である。長い弦の傾きは短い弦の傾きの平均であり、重みは正で和は 11 である。その傾きと S(x,z)S(x, z) との差は S(z,y)−S(x,z)S(z, y) - S(x, z) と同符号である。したがって三つの不等式は同値であり、狭義の不等式についても同様である。定義については、x=yx = y のとき、または tt が 00 か 11 に等しいとき、不等式は等号で成り立ち、x>yx > y のときは xx と yy の役割、および tt と 1−t1 - t の役割を入れ替えればよい。