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Topos Uranos
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Insiemi numerici: dai naturali ai complessi

Riepilogo

Questa lezione mostra come, a partire dai numeri naturali, si costruiscano via via gli interi, i razionali, i reali e i complessi. Ogni ampliamento nasce perché un’operazione inversa (la sottrazione, la divisione, l’estrazione di radice) risulti definita senza restrizioni, e conserva le proprietà dell’insieme precedente. Si ricorda perché 2\sqrt{2} non è un numero razionale, si dimostra che i razionali non sono completi, si enunciano gli assiomi che si ammettono per i numeri reali (quelli di campo, quelli d’ordine e quello di completezza) e si spiega perché i reali richiedono, oltre alle radici, la completezza.

Obiettivi di apprendimento

  1. Individuare quale operazione inversa motiva ciascun ampliamento, dai naturali fino ai complessi.
  2. Enunciare con precisione le proprietà della somma e del prodotto in ciascun insieme numerico, e gli assiomi di campo ordinato completo che si ammettono per i numeri reali.
  3. Applicare le proprietà delle potenze a esponente intero e la definizione di radice principale.
  4. Dimostrare per assurdo che una radice non è un numero razionale.
  5. Distinguere i numeri razionali, irrazionali, reali e complessi.

Le operazioni inverse come motore dell’ampliamento

I numeri naturali, definiti nella lezione sugli assiomi di Peano, permettono di sommare e moltiplicare senza alcuna restrizione: la somma e il prodotto di due naturali sono sempre naturali. Non accade lo stesso con le operazioni inverse. Ciascuna delle seguenti equazioni è scritta con numeri naturali e, tuttavia, nessuna ha soluzione fra di essi:

x+5=3,3x=2,x2=2,x2=−1x + 5 = 3, \qquad 3x = 2, \qquad x^2 = 2, \qquad x^2 = -1

La prima richiede una sottrazione che i naturali non ammettono; la seconda, una divisione; la terza, una radice; la quarta, la radice di un numero negativo. Per risolverle si amplia l’insieme dei naturali in quattro tappe, ciascuna delle quali contiene la precedente:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Tutti gli ampliamenti obbediscono a uno stesso principio, che guida il resto della lezione:

Ogni nuovo insieme numerico conserva le operazioni e le proprietà del precedente, e aggiunge gli elementi necessari perché un’operazione inversa, prima ristretta, risulti definita.