I numeri in virgola mobile

Notazione scientifica in base 2

La lezione Gli interi e la loro rappresentazione ha mostrato che un intero di $n$ bit rappresenta esattamente $2^n$ valori consecutivi. Ora, i numeri con decimali pongono una difficoltà diversa: tra due reali qualsiasi ce ne sono infiniti altri, e nessun numero finito di bit può distinguerli tutti. La soluzione che adottano tutti i computer attuali è la stessa che la scienza usa per scrivere grandezze molto grandi o molto piccole: la notazione scientifica. In base 10, la distanza media della Terra dal Sole si scrive $1.496 \times 10^{11}$ metri; il numero ha un segno, poche cifre significative (la mantissa, $1.496$) e una potenza della base (l’esponente, $11$), che dice dove va la virgola. Se è così, con un numero fisso di cifre si coprono grandezze di ordini molto diversi, al prezzo di conservare solo le prime cifre di ciascuna.

Il computer fa lo stesso in base 2. Ogni numero diverso da zero si scrive in un unico modo come

dove $s$ è il segno (0 per positivo, 1 per negativo), $1.m_1 m_2 \ldots$ è la mantissa scritta in binario, la cui prima cifra è sempre 1, ed $e$ è l’esponente. Che la prima cifra sia sempre 1 ha una conseguenza pratica: non occorre memorizzarla, e il bit risparmiato va a vantaggio della precisione. Il nome virgola mobile descrive proprio questa forma: la virgola non occupa un posto fisso tra le cifre, ma «si muove» secondo l’esponente.

Il tipo double di C++ usa, in tutti i compilatori attuali, il formato binario a doppia precisione normalizzato a livello internazionale, di 64 bit: 1 bit per il segno, 11 bit per l’esponente e 52 bit per la mantissa, senza la cifra iniziale. L’esponente si memorizza traslato: il campo di 11 bit contiene $e + 1023$, così che memorizza valori senza segno da 1 a 2046 per esponenti da $-1022$ a $1023$ (i valori 0 e 2047 del campo sono riservati allo zero, ai numeri molto piccoli, all’infinito e al valore non numerico, che si vedranno alla fine della lezione). Il tipo float usa il formato a precisione singola, di 32 bit: 1 di segno, 8 di esponente e 23 di mantissa.

I bit di un double si possono vedere. Il programma seguente usa std::bit_cast, dell’header <bit>, che reinterpreta i 64 bit del numero come un intero senza segno di 64 bit, senza cambiarne nessuno; qui lo si usa senza ulteriori spiegazioni, come uno strumento per guardare la memoria. La specifica {:064b} scrive quell’intero in binario con 64 cifre, come nella lezione precedente, e {:016X} in esadecimale con 16.

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // I 64 bit del numero, letti come un intero senza segno.    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A