Os números de ponto flutuante

Notação científica em base 2

A aula Os inteiros e sua representação mostrou que um inteiro de $n$ bits representa exatamente $2^n$ valores consecutivos. Ora, os números com casas decimais apresentam uma dificuldade diferente: entre dois reais quaisquer há infinitos outros, e nenhum número finito de bits pode distingui-los todos. A solução que todos os computadores atuais adotam é a mesma que a ciência usa para escrever magnitudes muito grandes ou muito pequenas: a notação científica. Em base 10, a distância média da Terra ao Sol escreve-se $1.496 \times 10^{11}$ metros; o número tem um sinal, uns poucos dígitos significativos (a mantissa, $1.496$) e uma potência da base (o expoente, $11$), que diz onde vai a vírgula. Se isto é assim, com um número fixo de dígitos cobrem-se magnitudes de ordens muito diferentes, ao preço de guardar apenas os primeiros dígitos de cada uma.

O computador faz o mesmo em base 2. Todo número diferente de zero escreve-se de uma única maneira como

onde $s$ é o sinal (0 para positivo, 1 para negativo), $1.m_1 m_2 \ldots$ é a mantissa escrita em binário, cujo primeiro dígito é sempre 1, e $e$ é o expoente. Que o primeiro dígito seja sempre 1 tem uma consequência prática: não é preciso guardá-lo, e o bit que se poupa ganha-se para a precisão. O nome ponto flutuante descreve justamente esta forma: o ponto não ocupa um lugar fixo entre os dígitos, mas “flutua” conforme o expoente.

O tipo double de C++ usa, em todos os compiladores vigentes, o formato binário de precisão dupla normalizado internacionalmente, de 64 bits: 1 bit para o sinal, 11 bits para o expoente e 52 bits para a mantissa, sem o dígito inicial. O expoente é guardado deslocado: o campo de 11 bits contém $e + 1023$, de modo que guarda valores sem sinal de 1 a 2046 para expoentes de $-1022$ a $1023$ (os valores 0 e 2047 do campo reservam-se para o zero, os números muito pequenos, o infinito e o valor não numérico, que se verão no final da aula). O tipo float usa o formato de precisão simples, de 32 bits: 1 de sinal, 8 de expoente e 23 de mantissa.

Os bits de um double podem ser vistos. O programa seguinte usa std::bit_cast, do cabeçalho <bit>, que reinterpreta os 64 bits do número como um inteiro sem sinal de 64 bits, sem mudar nenhum; aqui ele é usado sem mais explicações, como um instrumento para olhar a memória. A especificação {:064b} escreve esse inteiro em binário com 64 dígitos, como na aula anterior, e {:016X} em hexadecimal com 16.

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // Os 64 bits do número, lidos como um inteiro sem sinal.    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A