Los números de coma flotante

Notación científica en base 2

La clase Los enteros y su representación mostró que un entero de $n$ bits representa exactamente $2^n$ valores consecutivos. Ahora bien, los números con decimales plantean una dificultad distinta: entre dos reales cualesquiera hay infinitos otros, y ningún número finito de bits puede distinguirlos a todos. La solución que adoptan todos los computadores actuales es la misma que usa la ciencia para escribir magnitudes muy grandes o muy pequeñas: la notación científica. En base 10, la distancia media de la Tierra al Sol se escribe $1.496 \times 10^{11}$ metros; el número tiene un signo, unas pocas cifras significativas (la mantisa, $1.496$) y una potencia de la base (el exponente, $11$), que dice dónde va la coma. Si esto es así, con un número fijo de cifras se cubren magnitudes de órdenes muy distintos, al precio de guardar solo las primeras cifras de cada una.

El computador hace lo mismo en base 2. Todo número distinto de cero se escribe de una única manera como

donde $s$ es el signo (0 para positivo, 1 para negativo), $1.m_1 m_2 \ldots$ es la mantisa escrita en binario, cuya primera cifra es siempre 1, y $e$ es el exponente. Que la primera cifra sea siempre 1 tiene una consecuencia práctica: no hace falta guardarla, y el bit que se ahorra se gana para la precisión. El nombre coma flotante describe precisamente esta forma: la coma no ocupa un lugar fijo entre las cifras, sino que «flota» según el exponente.

El tipo double de C++ usa en todos los compiladores vigentes el formato binario de doble precisión normalizado internacionalmente, de 64 bits: 1 bit para el signo, 11 bits para el exponente y 52 bits para la mantisa, sin la cifra inicial. El exponente se guarda desplazado: el campo de 11 bits contiene $e + 1023$, de modo que guarda valores sin signo de 1 a 2046 para exponentes de $-1022$ a $1023$ (los valores 0 y 2047 del campo se reservan para el cero, los números muy pequeños, el infinito y el valor no numérico, que se verán al final de la clase). El tipo float usa el formato de precisión simple, de 32 bits: 1 de signo, 8 de exponente y 23 de mantisa.

Los bits de un double pueden verse. El programa siguiente usa std::bit_cast, de la cabecera <bit>, que reinterpreta los 64 bits del número como un entero sin signo de 64 bits, sin cambiar ninguno; aquí se usa sin explicarlo más, como un instrumento para mirar la memoria. El formato {:064b} escribe ese entero en binario con 64 cifras, como en la clase anterior, y {:016X} en hexadecimal con 16.

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // Los 64 bits del número, leídos como un entero sin signo.    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A