浮動小数点数

2 を底とする科学的記数法

レッスン 整数とその表現 では、$n$ ビットの整数がちょうど $2^n$ 個の連続する値を表すことを見た。しかし、小数をもつ数には別の難しさがある。どの二つの実数の間にも無限に多くの実数があり、有限個のビットではそれらをすべて区別することはできない。今日のすべてのコンピュータが採用している解決策は、非常に大きな量や非常に小さな量を書くために科学が使うものと同じ、科学的記数法である。10 を底とすると、地球から太陽までの平均距離は $1.496 \times 10^{11}$ メートルと書かれる。この数には符号と、少数の有効数字（仮数、$1.496$）と、底のべき（指数、$11$）があり、指数は小数点の位置を示す。そうであれば、決まった桁数で大きさの桁がまったく異なる量を扱える。その代償は、それぞれの量の最初の数桁しか保持しないことである。

コンピュータは同じことを 2 を底として行う。0 でない数はどれも、ただ一通りに次の形に書ける。

ここで $s$ は符号（正なら 0、負なら 1）、$1.m_1 m_2 \ldots$ は二進法で書いた仮数で、その最初の桁は常に 1 であり、$e$ は指数である。最初の桁が常に 1 であることには実用上の帰結がある。それを保持する必要がなく、節約した 1 ビットを精度に回せるのである。浮動小数点という名前はまさにこの形を表している。小数点は桁の間で決まった位置を占めず、指数に応じて「浮動する」。

C++ の double 型は、現行のすべてのコンパイラで、国際的に標準化された 64 ビットの倍精度二進形式を使う。符号に 1 ビット、指数に 11 ビット、仮数に（最初の桁を除いて）52 ビットである。指数はずらして保持される。11 ビットのフィールドには $e + 1023$ が入るので、$-1022$ から $1023$ までの指数に対して 1 から 2046 までの符号なしの値を保持する（フィールドの値 0 と 2047 は、ゼロ、非常に小さな数、無限大、非数のために予約されており、これらはレッスンの最後で扱う）。float 型は 32 ビットの単精度形式を使い、符号に 1、指数に 8、仮数に 23 ビットを割り当てる。

double のビットは見ることができる。次のプログラムは std::bit_cast（ヘッダ <bit> のもの）を使う。これは数の 64 ビットを、一つも変えずに 64 ビットの符号なし整数として読み直す。ここではこれ以上説明せず、メモリをのぞく道具として使う。書式指定 {:064b} は、前のレッスンと同じく、その整数を 64 桁の二進法で書き、{:016X} は 16 桁の十六進法で書く。

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // 数の 64 ビットを符号なし整数として読む。    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A