整数とその表現

位取り記数法

レッスン 変数とメモリ では、変数を名前・型・値をもつ区画として紹介した。しかし、メモリが保持するのは十進の数字ではなくビットであり、各ビットは 0 か 1 の値をとり、8 ビットずつバイトにまとめられている（規格は少なくとも 8 ビットを要求し、現在のすべてのシステムはちょうど 8 ビットを使う）。したがって、整数の変数がどんな値をとりうるかを知るには、二つの数字だけで数をどう書くかを知る必要があり、それを行うのが基数 2 の位取り記数法である。

基数 $b$ の位取り記数法では、各桁の値はそれが占める位置によって決まる。最後の桁には $b^0 = 1$ が掛かり、その前の桁には $b^1$ が、さらにその前の桁には $b^2$ が掛かり、以下同様である。十進法では、$2026$ は $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$ を意味する。二進法では数字は 0 と 1 であり、重みは 2 のべき乗である：$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$。ここから、二進法から十進法へ移す規則が導かれる。1 がある位置の重みを足せばよい。

逆の道、つまり十進法から二進法へは、繰り返しの割り算でたどる。数を 2 で割って余り（0 か 1）を書き留め、商について同じことを 0 になるまで繰り返す。余りを最後のものから最初のものへ読むと、それが二進法の数字になる。45 の場合：$45 = 2 \cdot 22 + 1$、$22 = 2 \cdot 11 + 0$、$11 = 2 \cdot 5 + 1$、$5 = 2 \cdot 2 + 1$、$2 = 2 \cdot 1 + 0$、$1 = 2 \cdot 0 + 1$。余りを逆に読むと 101101 が得られ、左に 0 を二つ補えば図のパターンになる。その理由は、各余りが割られる数の一の位の数字であり、各商がその数を一桁右へずらしたものだからである。同じ方法はどの基数にも使える。基数 16 では 16 で割り、10 から 15 の余りは文字 a から f で書く。

基数 16、すなわち十六進法は便利さのために使われる。$16 = 2^4$ なので、十六進法の各桁はちょうど 4 ビットに対応し、1 バイトは二桁で書ける。32 ビットの数は二進法では三十二桁を占めて読みにくいが、十六進法ではわずか八桁で、しかも計算なしに一桁ずつ二進法へ変換できる。そのため、プログラマはメモリを十六進法で読む。位取り記数法の数学的な基礎は、コース「代数と幾何 I」の回「位取り記数法」で学ぶ。

C++ では、これらの基数で直接書いた整数が使える。0b で始まるリテラルは二進法、0x で始まるものは十六進法である。どのリテラルの中にも、桁区切りとしてアポストロフィを入れることができ、コンパイラはそれを無視し、読み手はそれをありがたく思う：0b0010'1101、1'000'000。出力では、書式指定 {:b} は整数を二進法で書き、{:x} は十六進法で小文字を使って書き、{:X} は大文字を使って書く。記号 # は接頭辞を前に付け、0 を前に置いた幅は左を 0 で埋める。

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("二進数：{:b}", decimal);    std::println("八ビット：{:08b}", decimal);    std::println("十六進数：{:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45二進数：101101八ビット：00101101十六進数：2d 2D 0x2d