Ganze Zahlen und ihre Darstellung

Stellenwertsysteme

Die Lektion Variablen und Speicher hat die Variable als Speicherzelle mit Namen, Typ und Wert vorgestellt. Nun speichert der Speicher keine Dezimalziffern: Er speichert Bits, von denen jedes 0 oder 1 ist, zusammengefasst zu Bytes aus acht Bits (der Standard verlangt mindestens acht; alle heutigen Systeme verwenden genau acht). Um zu wissen, welche Werte eine ganzzahlige Variable annehmen kann, muss man also wissen, wie eine Zahl mit nur zwei Ziffern geschrieben wird, und genau das leistet ein Stellenwertsystem zur Basis 2.

In einem Stellenwertsystem zur Basis $b$ zählt jede Ziffer nach der Stelle, die sie einnimmt: Die letzte wird mit $b^0 = 1$ multipliziert, die vorletzte mit $b^1$, die davor mit $b^2$, und so fort. Zur Basis 10 bedeutet $2026$ so viel wie $2 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$. Zur Basis 2 sind die Ziffern 0 und 1, und die Stellenwerte (Gewichte) sind die Zweierpotenzen: $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, \ldots$ Daraus folgt die Regel für den Weg vom Binär- zum Dezimalsystem: Man addiert die Stellenwerte der Stellen, an denen eine 1 steht.

Der umgekehrte Weg, vom Dezimal- zum Binärsystem, führt über fortgesetzte Division: Man teilt die Zahl durch 2, notiert den Rest (0 oder 1) und wiederholt das mit dem Quotienten, bis man bei 0 ankommt; die Reste, vom letzten bis zum ersten gelesen, sind die Binärziffern. Für 45: $45 = 2 \cdot 22 + 1$, $22 = 2 \cdot 11 + 0$, $11 = 2 \cdot 5 + 1$, $5 = 2 \cdot 2 + 1$, $2 = 2 \cdot 1 + 0$, $1 = 2 \cdot 0 + 1$; rückwärts gelesen ergeben die Reste 101101, und das ist mit zwei Nullen davor das Muster der Abbildung. Der Grund ist, dass jeder Rest die Einerziffer der gerade geteilten Zahl ist und jeder Quotient diese Zahl, um eine Stelle nach rechts verschoben. Dasselbe Verfahren gilt für jede Basis: Für die Basis 16 teilt man durch 16, und die Reste von 10 bis 15 werden mit den Buchstaben a bis f geschrieben.

Die Basis 16, das Hexadezimalsystem, gibt es aus Bequemlichkeit: Da $16 = 2^4$ gilt, entspricht jede Hexadezimalziffer genau vier Bits, und ein Byte wird mit zwei Ziffern geschrieben. Eine Zahl mit 32 Bits braucht binär zweiunddreißig Ziffern, die sich schlecht lesen, und hexadezimal nur acht, die sich ohne Rechnung, Ziffer für Ziffer, ins Binärsystem übertragen lassen. Deshalb lesen Programmierende den Speicher hexadezimal. Die mathematische Grundlage der Stellenwertsysteme wird im Kurs Algebra und Geometrie I behandelt, in der Lektion „Stellenwertsysteme“.

C++ erlaubt ganze Zahlen, die direkt in diesen Basen geschrieben sind: Ein Literal, das mit 0b beginnt, ist binär, und eines, das mit 0x beginnt, hexadezimal. In jedes Literal kann man einen Apostroph als Zifferntrennzeichen setzen, den der Compiler ignoriert und für den die Lesenden dankbar sind: 0b0010'1101, 1'000'000. In der Ausgabe schreibt die Formatangabe {:b} eine ganze Zahl binär, {:x} hexadezimal mit Kleinbuchstaben und {:X} mit Großbuchstaben; das Zeichen # stellt das Präfix voran, und eine Breite mit vorangestellter Null füllt links mit Nullen auf.

#include <print>​int main(){    const int decimal{45};    const int binary{0b0010'1101};    const int hexadecimal{0x2d};    std::println("{} {} {}", decimal, binary, hexadecimal);    std::println("binär: {:b}", decimal);    std::println("acht Bits: {:08b}", decimal);    std::println("hexadezimal: {:x} {:X} {:#x}", decimal, decimal, decimal);}

45 45 45binär: 101101acht Bits: 00101101hexadezimal: 2d 2D 0x2d