부동소수점 수

밑이 2인 과학적 표기법

정수와 그 표현 수업에서는 $n$비트 정수가 정확히 $2^n$개의 연속된 값을 나타낸다는 것을 보았다. 그러나 소수부가 있는 수에는 다른 어려움이 있다. 어떤 두 실수 사이에도 다른 실수가 무한히 많으며, 유한한 개수의 비트로는 그것들을 모두 구별할 수 없다. 오늘날의 모든 컴퓨터가 택하는 해법은 과학이 매우 큰 양이나 매우 작은 양을 적을 때 쓰는 방법과 같은 과학적 표기법이다. 밑이 10일 때 지구에서 태양까지의 평균 거리는 $1.496 \times 10^{11}$미터로 적는다. 이 수에는 부호와 몇 개의 유효숫자(가수, $1.496$)와 밑의 거듭제곱(지수, $11$)이 있으며, 지수는 소수점이 어디에 오는지를 알려 준다. 그렇다면 고정된 자릿수로 크기의 차수가 매우 다른 양들을 다룰 수 있고, 그 대가는 각 양의 앞쪽 몇 자리만 저장한다는 것이다.

컴퓨터는 같은 일을 밑을 2로 하여 한다. 0이 아닌 모든 수는 다음과 같이 단 한 가지 방식으로 쓸 수 있다.

여기서 $s$의 값은 부호(양수이면 0, 음수이면 1)이고, $1.m_1 m_2 \ldots$의 값은 이진법으로 쓴 가수로 첫 자리가 언제나 1이며, $e$의 값은 지수이다. 첫 자리가 언제나 1이라는 사실에는 실용적인 결과가 따른다. 그 자리를 저장할 필요가 없으므로 아낀 1비트를 정밀도에 쓸 수 있다. 부동소수점이라는 이름은 바로 이 형태를 가리킨다. 소수점이 자리들 사이에서 고정된 위치를 차지하지 않고 지수에 따라 ‘떠다닌다’.

C++의 double 타입은 현행 모든 컴파일러에서 국제적으로 표준화된 64비트 배정밀도 이진 형식을 쓴다. 부호에 1비트, 지수에 11비트, 가수에 첫 자리를 뺀 52비트이다. 지수는 치우쳐서 저장된다. 11비트 필드에는 $e + 1023$의 값이 들어가므로, $-1022$부터 $1023$까지의 지수에 대해 1부터 2046까지의 부호 없는 값을 저장한다(필드의 값 0과 2047은 0, 매우 작은 수, 무한대, 비수를 위해 예약되어 있으며, 이것들은 수업 끝에서 다룬다). float 타입은 32비트 단정밀도 형식을 쓰며, 부호에 1, 지수에 8, 가수에 23비트를 둔다.

double 값의 비트는 눈으로 볼 수 있다. 아래 프로그램은 std::bit_cast 함수(헤더 <bit>에 있다)를 쓴다. 이 함수는 수의 64비트를 하나도 바꾸지 않고 64비트 부호 없는 정수로 다시 해석한다. 여기서는 더 설명하지 않고 메모리를 들여다보는 도구로만 쓴다. {:064b} 형식 지정은 지난 수업에서처럼 그 정수를 이진법 64자리로 쓰고, {:016X} 형식 지정은 십육진법 16자리로 쓴다.

#include <bit>#include <cstdint>#include <print>​int main(){    const double tenth{0.1};    // 수의 64비트를 부호 없는 정수로 읽은 것.    const std::uint64_t bits{std::bit_cast<std::uint64_t>(tenth)};    std::println("{:064b}", bits);    std::println("{:016X}", bits);}

00111111101110011001100110011001100110011001100110011001100110103FB999999999999A