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Topos Uranos
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परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार

सारांश

यह पाठ परिमेय संख्याओं के दशमलव लेखन का अध्ययन करता है। यह दिखाता है कि किसी भागफल के अंक लंबे भाग के शेषफलों से उत्पन्न होते हैं, नीडित अंतरालों और आर्किमिडीज़ गुण के द्वारा अनंत दशमलव प्रसार का मान परिभाषित करता है, और उसे अभिलक्षित करने वाली तीन प्रमेय सिद्ध करता है: किसी अलघुकरणीय भिन्न का प्रसार सांत होता है यदि और केवल यदि उसके हर में 22 और 55 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है; प्रत्येक परिमेय संख्या का प्रसार सांत या आवर्ती होता है, और उसके आवर्त की लंबाई हर से कम होती है; और, विलोमतः, प्रत्येक आवर्ती प्रसार एक परिमेय संख्या को निरूपित करता है, जिसकी जनक भिन्न एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के योग से प्राप्त होती है। इनसे 0.999… और 11 की समता, अपरिमेय संख्याओं का उनके अनावर्ती प्रसारों द्वारा अभिलक्षण और, अंत में, वैज्ञानिक संकेतन, सार्थक अंक तथा पूर्णांकन से होने वाली त्रुटि का परिबंध निकलते हैं।

अधिगम उद्देश्य

  1. किसी भिन्न का दशमलव प्रसार लंबे भाग से प्राप्त करना और शेषफलों की सहायता से यह उचित ठहराना कि प्रत्येक अंक 00 और 99 के बीच क्यों है और प्रसार भिन्न का सन्निकटन क्यों करता है।
  2. हर के अभाज्य गुणनखंडन से यह निर्णय करना कि किसी भिन्न का प्रसार सांत है या आवर्ती, और उसके आवर्त की लंबाई को ऊपर से परिबद्ध करना।
  3. किसी आवर्ती प्रसार की जनक भिन्न ज्ञात करना और 0.999… तथा 11 की समता जैसी समताओं को कठोरता से उचित ठहराना।
  4. संख्याओं को वैज्ञानिक संकेतन में लिखना, उन्हें सार्थक अंकों की दी गई संख्या तक पूर्णांकित करना और इससे होने वाली निरपेक्ष तथा आपेक्षिक त्रुटियों को परिबद्ध करना।

लंबा भाग और दशमलव अंक

परिमेय संख्याओं पर पाठ में भिन्नों और उनकी संक्रियाओं का अध्ययन किया गया; स्थानीय मान पर आधारित संख्यांकन पद्धतियों पर पाठ में अंकों द्वारा प्राकृत संख्याओं के लेखन का। दशमलव प्रसार इन दोनों को जोड़ता है: यह 1010 की ऋणात्मक घातों के द्वारा स्थानीय मान वाले लेखन को दशमलव बिंदु के दाईं ओर बढ़ाता है। इस प्रकार, जो संख्या 0.375 लिखी जाती है, वह परिभाषा से दसवें, सौवें और हज़ारवें भागों का योग है:

310+7102+5103=375103=38\frac{3}{10} + \frac{7}{10^2} + \frac{5}{10^3} = \frac{375}{10^3} = \frac{3}{8}

सामान्यतः, एक सांत दशमलव प्रसार में एक पूर्णांक भाग NN और सांत संख्या में अंक c1,c2,…,cnc_1, c_2, \ldots, c_n होते हैं, जिनमें से प्रत्येक 00 और 99 के बीच होता है, और यह निम्नलिखित संख्या को निरूपित करता है:

N+c110+c2102+⋯+cn10n=N+∑k=1nck10kN + \frac{c_1}{10} + \frac{c_2}{10^2} + \cdots + \frac{c_n}{10^n} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}

चूँकि किसी परिमेय संख्या का चिह्न अलग से लिखा जाता है, धनात्मक परिमेय संख्याओं का अध्ययन करना पर्याप्त है। प्राकृत संख्याओं की भिन्न pq\frac{p}{q} का प्रसार ज्ञात करने के लिए लंबे भाग का उपयोग किया जाता है, जो बार-बार किए गए शेषफल सहित विभाजन के अतिरिक्त कुछ नहीं है: पहले pp को qq से भाग दिया जाता है, जिससे पूर्णांक भाग NN और एक शेषफल r0r_0 मिलता है; फिर प्रत्येक चरण में अंतिम शेषफल को 1010 से गुणा करके qq से भाग दिया जाता है। उस विभाजन का भागफल अगला अंक है और उसका शेषफल उसके बाद वाले चरण को आगे बढ़ाता है:

p=qN+r0,10rk−1=qck+rk,0≤rk<qp = qN + r_0, \qquad 10 r_{k - 1} = q c_k + r_k, \qquad 0 \le r_k < q
उदाहरण3 को 7 से भाग देने का लंबा भाग

हम 37\frac{3}{7} के अंकों की गणना करते हैं। प्रत्येक चरण में भाज्य, जो पिछले शेषफल का दस गुना है, प्राप्त अंक और नया शेषफल लिखे जाते हैं। चित्र विभाजनों की सीढ़ी और, ऊपर, एकत्र होते अंकों को दिखाता है।

प्रमाण

  1. 10⋅3=30=7⋅4+210 \cdot \dato{r0}{3} = 30 = 7 \cdot \resaltar{4} + \resaltar{2}

    चूँकि 3<73 < 7, पूर्णांक भाग 00 है और पहला शेषफल स्वयं अंश है, r0=3r_0 = 3। हम शेषफल को 1010 से गुणा करते हैं और 77 से भाग देते हैं: दसवें भाग का अंक 44 है।

  2. 10⋅2=20=7⋅2+610 \cdot 2 = 20 = 7 \cdot \resaltar{2} + \resaltar{6}

    शेषफल 22 से सौवें भाग का अंक प्राप्त होता है।

  3. 10⋅6=60=7⋅8+410 \cdot 6 = 60 = 7 \cdot \resaltar{8} + \resaltar{4}

    शेषफल 66 से, हज़ारवें भाग का अंक।

  4. 10⋅4=40=7⋅5+510 \cdot 4 = 40 = 7 \cdot \resaltar{5} + \resaltar{5}

    शेषफल 44 से, चौथा अंक।

  5. 10⋅5=50=7⋅7+110 \cdot 5 = 50 = 7 \cdot \resaltar{7} + \resaltar{1}

    शेषफल 55 से, पाँचवाँ।

  6. 10⋅1=10=7⋅1+310 \cdot 1 = 10 = 7 \cdot \resaltar{1} + \resaltar{3}

    शेषफल 11 से, छठा; और नया शेषफल 33 है, वही जिससे आरंभ किया गया था।

  7. 37=428571106+1106⋅37\frac{3}{7} = \frac{428571}{10^6} + \frac{1}{10^6} \cdot \resaltar{\frac{3}{7}}

    यहाँ से विभाजन चरण-दर-चरण दोहराया जाता है: जो भाग देने के लिए शेष है, अर्थात् 37\frac{3}{7} को 1106\frac{1}{10^6} से गुणा करने पर प्राप्त संख्या, वह वही भागफल है जो छह स्थान खिसका दिया गया है। अंक एक समूह बनाते हैं जो अनंत रूप से दोहराया जाता है।

अतः 37\frac{3}{7} का प्रसार 0.428571428571… है, जिसका आवर्त 428571 है। इस उदाहरण में पूरा पाठ बीज रूप में निहित है: अंक शेषफलों से निकलते हैं, शेषफल भाजक से छोटे होते हैं और, जैसे ही कोई शेषफल दोहराया जाता है, उसके बाद का सब कुछ दोहराया जाता है। पहला तथ्य जिसे सुनिश्चित करना चाहिए वह यह है कि इस प्रकार प्राप्त अंक वास्तव में अंक हैं और वे भिन्न का इच्छानुसार निकट सन्निकटन करते हैं।

उपप्रमेयलंबे भाग के अंक

मान लीजिए pp और qq प्राकृत संख्याएँ हैं, और NN, r0r_0 तथा, प्रत्येक प्राकृत संख्या kk के लिए, ckc_k और rkr_k वे संख्याएँ हैं जो pp को qq से भाग देने का लंबा भाग देता है। तब प्रत्येक ckc_k एक अंक है, जो 00 और 99 के बीच है, और प्रत्येक प्राकृत संख्या nn के लिए निम्नलिखित समता सत्य है, जिसमें अंतिम योज्य ऋणेतर है और 110n\frac{1}{10^n} से कम है।

pq=N+∑k=1nck10k+rnq⋅10n\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_n}{q \cdot 10^n}

उपपत्ति nn पर आगमन से की जाती है। चित्र 37\frac{3}{7} के साथ इस युक्ति का अनुसरण करता है: प्रत्येक नया अंक पिछले अंतराल के दस भागों में से एक को चुनता है, जिसे देखने के लिए आवर्धित किया जाता है।

प्रमाण

  1. qck≤10rk−1<10q→0≤ck≤9q c_k \le 10 r_{k - 1} < 10q \rightarrow 0 \le c_k \le 9

    प्रत्येक ckc_k एक अंक है: चूँकि पिछला शेषफल qq से कम है, भाज्य 10rk−110 r_{k - 1}, 10q10q से कम है, और भागफल 1010 से कम है।

  2. pq=N+r0q\dato{base}{\frac{p}{q} = N + \frac{r_0}{q}}

    n=0n = 0 के लिए, बिना अंकों के, समता पहला शेषफल सहित विभाजन है, जिसे qq से भाग दिया गया है।

  3. rnq⋅10n=10rnq⋅10n+1=qcn+1+rn+1q⋅10n+1=cn+110n+1+rn+1q⋅10n+1\dato{paso}{\frac{r_n}{q \cdot 10^n} = \frac{\resaltar{10 r_n}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{\resaltar{q c_{n + 1} + r_{n + 1}}}{q \cdot 10^{n + 1}} = \frac{c_{n + 1}}{10^{n + 1}} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}}

    आगमन चरण: अंतिम योज्य को अगले विभाजन, 10rn=qcn+1+rn+110 r_n = q c_{n + 1} + r_{n + 1}, के द्वारा फिर से लिखा जाता है और दो भिन्नों में अलग किया जाता है।

  4. pq=N+∑k=1n+1ck10k+rn+1q⋅10n+1\frac{p}{q} = N + \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{c_k}{10^k} + \frac{r_{n + 1}}{q \cdot 10^{n + 1}}

    क्रम nn की समता में प्रतिस्थापित करने पर क्रम n+1n + 1 की समता प्राप्त होती है; आगमन से, समता प्रत्येक nn के लिए सत्य है।

  5. 0≤pq−Tn=rnq⋅10n<110n0 \le \frac{p}{q} - T_n = \frac{\resaltar{r_n}}{q \cdot 10^n} < \frac{1}{10^n}

    चूँकि 0≤rn<q0 \le r_n < q, अंतिम योज्य ऋणेतर है और 110n\frac{1}{10^n} से कम है: भिन्न अपने छंटन से 110n\frac{1}{10^n} से कम दूरी पर है, जो क्रम nn का छंटन है, अर्थात् संख्या TnT_n, जो पूर्णांक भाग और पहले nn अंकों से बनती है।

प्रमेयिका कहती है कि pq\frac{p}{q} उस अंतराल में है जो TnT_n से आरंभ होता है और जिसकी लंबाई 110n\frac{1}{10^n} है, जिसमें बायाँ सिरा सम्मिलित है और दायाँ सिरा अपवर्जित; ये अंतराल, जिनका विस्तृत अध्ययन वास्तविक रेखा पर पाठ में किया जाएगा, इस प्रकार लिखे जाते हैं:

Tn=N+∑k=1nck10k,pq∈[Tn,Tn+110n)T_n = N + \sum_{k = 1}^{n} \frac{c_k}{10^k}, \qquad \frac{p}{q} \in \ico{T_n}{T_n + \frac{1}{10^n}}