लघुगणकीय फलन और उसके गुणधर्म

चरघातांकी फलन के प्रतिलोम फलन के रूप में लघुगणक

चरघातांकी फलन और वास्तविक घातांक वाली घात विषयक पाठ में सिद्ध किया गया था कि, यदि $a > 0$ और $a \neq 1$, तो वह फलन जो प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ को घात $a^x$ देता है, $a > 1$ होने पर दृढ़तः वर्धमान है और $0 < a < 1$ होने पर दृढ़तः ह्रासमान है; और, चरघातांकी फलन के परिसर की प्रमेय से, जो वहाँ वास्तविक संख्याओं की पूर्णता और बरनौली असमिका से सिद्ध की गई थी, यह प्रत्येक धनात्मक मान ठीक एक बार ग्रहण भी करता है, और इसलिए $\mathbb{R}$ से अंतराल $\ioo{0}{\infty}$ पर एक एकैकी संगतता है। दृढ़तः एकदिष्ट फलन के प्रतिलोम की प्रमेय से, जो फलनों की संक्रियाओं और प्रतिलोम फलन विषयक पाठ में सिद्ध की गई थी, इस फलन का प्रतिलोम होता है। यदि ऐसा है, तो प्रत्येक धनात्मक संख्या $x$ के लिए एक अद्वितीय घातांक $y$ का अस्तित्व है जिसके लिए $a^y = x$, और निम्नलिखित परिभाषा सार्थक है।

मान लीजिए $a > 0$, जहाँ $a \neq 1$, और $x > 0$। आधार $a$ पर लघुगणक $x$ का, जिसे $\log_a x$ लिखा जाता है, वह अद्वितीय वास्तविक संख्या $y$ है जिसके लिए $a^y = x$। फलन $\log_a$, जो $\ioo{0}{\infty}$ पर परिभाषित है और वास्तविक मान लेता है, आधार $a$ वाले चरघातांकी फलन का प्रतिलोम है।

अतः लघुगणक घातांक संबंधी प्रश्न का उत्तर देता है: $\log_a x$ वह संख्या है जिस पर $a$ को घातित करने से $x$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, चूँकि $2^3 = 8$, $3^{-2} = \frac{1}{9}$, $10^3 = 1000$ और, परिमेय घातांक वाली घातों और करणियों विषयक पाठ के अनुसार, $4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$, हमें प्राप्त होता है:

चूँकि $\log_a$ और आधार $a$ वाला चरघातांकी फलन एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं, प्रत्येक वह उलट देता है जो दूसरा करता है: पहली सर्वसमिका प्रत्येक धनात्मक $x$ के लिए सत्य है, और दूसरी प्रत्येक वास्तविक $y$ के लिए।

विशेष रूप से, $a^0 = 1$ और $a^1 = a$ से प्रत्येक आधार के लिए $\log_a 1 = 0$ और $\log_a a = 1$ प्राप्त होते हैं। न शून्य का और न ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक होता है, क्योंकि धनात्मक आधार वाली प्रत्येक घात धनात्मक होती है: ऐसा कोई $y$ नहीं है जिसके लिए $2^y = -4$। दो आधारों के अपने नाम हैं। आधार $e$, अर्थात् संख्या e और प्राकृतिक चरघातांकी फलन विषयक पाठ में अध्ययन की गई संख्या, प्राकृतिक लघुगणक देता है, जिसे $\ln x$ लिखा जाता है; आधार $10$ दशमलव लघुगणक देता है, जिसे $\log_{10} x$ लिखा जाता है। अनेक पुस्तकों और कैलकुलेटरों में आधार के बिना $\log x$ लिखा जाता है, कभी प्राकृतिक के लिए और कभी दशमलव के लिए; इस पाठ्यक्रम में आधार सदा लिखा जाता है।

लघुगणक जॉन नेपियर ने 1614 में प्रकाशित किए, और कुछ वर्ष बाद हेनरी ब्रिग्स ने दशमलव लघुगणकों की पहली सारणियाँ परिकलित कीं। तीन शताब्दियों से अधिक समय तक वे खगोलशास्त्र, नौवहन और अभियांत्रिकी की गणनाओं को छोटा करने के काम आए, क्योंकि, जैसा आगे के भाग में सिद्ध किया जाता है, वे गुणनफलों को योगफलों में बदल देते हैं। उनका आलेख चरघातांकी फलन के आलेख से प्रतिलोम फलन के आलेख की प्रमेय द्वारा प्राप्त होता है, जो प्रतिलोम फलन विषयक उसी पाठ में है: किसी एकैकी आच्छादक फलन का आलेख और उसके प्रतिलोम का आलेख रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित होते हैं।