रैखिक निकाय और गाउस-जॉर्डन विधि

निकाय का आव्यूह रूप

पाठ्यक्रम बीजगणित और ज्यामिति I के प्रथम घात के समीकरणों, असमिकाओं और रैखिक निकायों वाले पाठ में दो और तीन समीकरणों के निकाय प्रतिस्थापन, विलोपन और तुलना विधियों से हल किए गए थे, और दो अज्ञातों वाले दो समीकरणों के निकायों का वर्गीकरण उनके सारणिक के द्वारा किया गया था। वहाँ व्यापक स्थिति शेष रह गई थी, जिसका वर्गीकरण बिना उपपत्ति के स्वीकार किया गया था। यह पाठ उसे आव्यूह और आव्यूहों पर संक्रियाएँ वाले पाठ के साधनों से हल करता है।

$m$ रैखिक समीकरणों और $n$ अज्ञातों $x_1, x_2, \ldots, x_n$ वाला निकाय नीचे दिए गए रूप के $m$ समीकरणों का एक समुच्चय है, जिन्हें एक साथ संतुष्ट होना चाहिए; संख्या $a_{ij}$ अज्ञात $x_j$ का वह गुणांक है जो समीकरण $i$ में आता है, और $b_i$ उस समीकरण का अचर पद है।

निकाय का एक हल $n$ संख्याओं की वह क्रमित सूची $(s_1, s_2, \ldots, s_n)$ है जो, अज्ञातों के स्थान पर रखे जाने पर, सभी $m$ समीकरणों को संतुष्ट करती है। मान लीजिए $A$ गुणांक आव्यूह है, जिसमें $m$ पंक्तियाँ और $n$ स्तंभ हैं और जिसकी पंक्ति $i$ और स्तंभ $j$ की प्रविष्टि $a_{ij}$ है; मान लीजिए $X$ अज्ञातों का स्तंभ है और $B$ अचर पदों का स्तंभ। जैसा कि उस पाठ में देखा जा चुका है, आव्यूहों के गुणन की परिभाषा से प्रविष्टि $i$ (स्तंभ $AX$ की) ठीक समीकरण $i$ का बायाँ पक्ष है। इससे निष्कर्ष निकलता है कि पूरा निकाय स्तंभ आव्यूहों के बीच एक ही समानता के रूप में लिखा जाता है, $AX = B$। उदाहरण के लिए, जो निकाय आगे हल किया जाएगा, वह इस प्रकार लिखा जाता है:

निकाय को हल करने के लिए संख्याएँ $a_{ij}$ और $b_i$ जानना पर्याप्त है: परिकलनों में अज्ञातों के नाम कोई भूमिका नहीं निभाते। निकाय का संवर्धित आव्यूह वह आव्यूह $M$ है, जिसमें $m$ पंक्तियाँ और $n + 1$ स्तंभ हैं और जो $A$ के दाईं ओर स्तंभ $B$ को अंतिम स्तंभ के रूप में लगाने से प्राप्त होता है; इसे हम $M = \left( A, B \right)$ लिखेंगे। $M$ की प्रत्येक पंक्ति एक समीकरण का सार है: उसकी पहली $n$ प्रविष्टियाँ गुणांक हैं, और अंतिम प्रविष्टि अचर पद है। उदाहरण में:

कोई निकाय संगत है यदि उसका कम से कम एक हल हो, और असंगत यदि उसका कोई हल न हो; एक संगत निकाय अद्वितीय हल वाला है यदि उसका ठीक एक हल हो, और अनंत हलों वाला यदि उसके एक से अधिक हल हों। समान अज्ञातों वाले दो निकाय तुल्य होते हैं जब उनके हलों का समुच्चय एक ही हो। पाठ्यक्रम I के पाठ में देखा गया था कि दो अज्ञातों वाले दो समीकरणों के निकाय का या तो कोई हल नहीं होता, या एक हल होता है, या अनंत हल होते हैं; इस पाठ के अंत में ज्ञात होगा कि यही बात हर रैखिक निकाय पर लागू होती है, और यह तय करने की एक कसौटी मिल जाएगी कि इनमें से कौन-सी स्थिति है।