फ़र्मा, रोल, लाग्रांज और कॉशी के प्रमेय

सारांश

यह पाठ इस बात से कि अवकलज किसी बिंदु पर क्या कहता है, इस बात तक जाता है कि वह किसी अंतराल पर क्या कहता है। यह स्थानीय चरम को परिभाषित करता है और फ़र्मा प्रमेय सिद्ध करता है: यदि किसी फलन का उसके प्रांत के किसी आंतरिक बिंदु पर स्थानीय चरम हो और वह उस बिंदु पर अवकलनीय हो, तो वहाँ उसका अवकलज शून्य होता है। प्रमाण परिवर्तन की दरों वाले पाठ के साध्य “किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न” से निकलता है। पूर्ववर्ती पाठ की वायरस्ट्रास की प्रमेय के साथ मिलकर फ़र्मा प्रमेय से रोल प्रमेय प्राप्त होती है। रोल प्रमेय को फलन और उसकी जीवा के अंतर पर लगाने से लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय मिलती है, जिसके अनुसार कोई स्पर्श रेखा जीवा के समांतर होती है; और दो फलनों के एक संयोजन पर लगाने से कॉशी की माध्यमान प्रमेय मिलती है, जिससे आगामी पाठ लोपिताल नियम सिद्ध करता है। माध्यमान प्रमेय से पहले वैश्विक परिणाम निकलते हैं: किसी अंतराल पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है; समान अवकलज वाले दो फलन एक अचर से भिन्न होते हैं; अवकलज का एक ऊपरी परिबंध वृद्धि का आकलन करता है; किसी फलन के दो मूलों के बीच उसके अवकलज का एक मूल होता है; और अवकलज की सीमा, यदि विद्यमान हो, अवकलज के बराबर होती है। सरल स्थितियाँ दिखाती हैं कि किसी भी परिकल्पना को छोड़ा नहीं जा सकता।

अधिगम उद्देश्य

स्थानीय चरम क्या है, इसे परिमाणकों से व्यक्त करना और फ़र्मा प्रमेय सिद्ध करना, उसके द्वारा दिए गए आवश्यक प्रतिबंध को पर्याप्त प्रतिबंध से अलग करते हुए।
रोल प्रमेय, लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय और कॉशी की माध्यमान प्रमेय सिद्ध करना, उन्हें आलेख पर पढ़ना और प्रतिउदाहरणों से दिखाना कि उनकी परिकल्पनाएँ छोड़ी नहीं जा सकतीं।
माध्यमान प्रमेय से निष्कर्ष निकालना कि किसी अंतराल पर शून्य अवकलज वाला फलन अचर होता है, और अवकलज के ऊपरी परिबंध से असमिकाएँ तथा त्रुटि के परिबंध प्राप्त करना।
किसी समीकरण के मूल गिनना, उनकी संख्या को रोल प्रमेय से ऊपर से और बोल्ज़ानो प्रमेय से नीचे से परिबद्ध करके।

स्थानीय चरम और फ़र्मा प्रमेय

वायरस्ट्रास की प्रमेय वाला पाठ गारंटी देता है कि किसी परिबद्ध संवृत अंतराल पर संतत फलन अपना उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ प्राप्त करता है, पर यह नहीं बताता कि कहाँ। उन्हें ढूँढ़ने के लिए एक ऐसी संकल्पना चाहिए जो किसी बिंदु के केवल निकट देखे: कोई मान अपने निकटवर्ती मानों में सबसे बड़ा हो सकता है, भले ही वह सभी मानों में सबसे बड़ा न हो।

परिभाषास्थानीय चरम और आंतरिक बिंदु

मान लीजिए $f$ समुच्चय $A$ पर परिभाषित एक फलन है और $x_0$ , $A$ का एक अवयव है। कहते हैं कि $f$ का $x_0$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है यदि कोई $\delta > 0$ विद्यमान हो ऐसा कि $f$ के मानों में से, $A$ के बिंदुओं (जिनकी $x_0$ से दूरी $\delta$ से कम है) पर कोई भी मान $f(x_0)$ से अधिक न हो; और $x_0$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है यदि उनमें से कोई भी मान $f(x_0)$ से कम न हो:

(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

स्थानीय चरम स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ठ होता है। बिंदु $x_0$ , $A$ का आंतरिक बिंदु है यदि कोई $r > 0$ विद्यमान हो ऐसा कि $\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A$ ।

यदि $f$ का $A$ पर, बिंदु $x_0$ पर, पूर्ववर्ती पाठ के अर्थ में उच्चिष्ठ है, तो वहाँ उसका स्थानीय उच्चिष्ठ है: $\delta$ कोई भी चल जाता है। विलोम सत्य नहीं है। $f(x) = x^3 - 3x$ लीजिए; चूँकि $2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x)$ , इसलिए $f(x) \leq 2 = f(-1)$ प्रत्येक $x \leq 2$ के लिए। इस फलन का $-1$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है ( $\delta = 3$ लेना पर्याप्त है), किंतु वह $\mathbb{R}$ पर उच्चिष्ठ नहीं है, क्योंकि $f(3) = 18$ । किसी अंतराल के आंतरिक बिंदु उसके सभी बिंदु हैं, उन अंत्य बिंदुओं को छोड़कर जो उसमें सम्मिलित हैं: $\icc{a}{b}$ के आंतरिक बिंदु $\ioo{a}{b}$ के बिंदु हैं। स्थानीय चरम सीमांत पर भी हो सकता है: फलन $x$ का $\icc{0}{1}$ पर निम्निष्ठ $0$ पर है और उच्चिष्ठ $1$ पर।

प्रमेयफ़र्मा प्रमेय

मान लीजिए $f$ समुच्चय $A$ पर परिभाषित एक फलन है और $a$ , $A$ का एक आंतरिक बिंदु है। यदि $f$ का $a$ पर स्थानीय चरम है और वह $a$ पर अवकलनीय है, तो $f'(a) = 0$ । यदि अवकलज धनात्मक होता, तो अवकलज के चिह्न वाले साध्य के अनुसार $a$ के ठीक दाईं ओर $f(a)$ से बड़े मान प्रकट होते; यदि ऋणात्मक होता, तो वे बाईं ओर प्रकट होते। आकृति $f(x) = x^3 - 3x$ और $a = -1$ पर उसके स्थानीय उच्चिष्ठ के साथ दिखाती है कि दोनों में से कोई भी प्रवणता संभव क्यों नहीं है।

प्रमाण

$x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}$
पहले मान लीजिए कि $f$ का $a$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है (किसी $\delta_0 > 0$ के साथ), और $r > 0$ को ऐसा लीजिए कि अंतराल $I = \ioo{a - r}{a + r}$ , $A$ में समाहित हो। मान लीजिए $F$ , $f$ का $I$ पर प्रतिबंध है। प्रत्येक $x$ (जो $A$ का अवयव हो और जिसके लिए $\abs{x - a} < r$ ) $I$ में है। अवकलन के नियम वाले पाठ की प्रमेयिका “अवकलज की स्थानीय प्रकृति” के अनुसार $F$ , $a$ पर अवकलनीय है और उसका अवकलज वही है।
$f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}$
यदि $f'(a) > 0$ , तो परिवर्तन की दरें वाले पाठ का साध्य “किसी बिंदु पर अवकलज का चिह्न”, $F$ पर खुले अंतराल $I$ में लगाने से, एक $\delta > 0$ देता है जिसके साथ $f(x) > f(a)$ प्रत्येक $x$ के लिए (जो $I$ का अवयव हो और जिसके लिए $a < x < a + \delta$ )। मान लीजिए $\rho$ संख्याओं $\delta$ , $\delta_0$ और $r$ में सबसे छोटी है। बिंदु $a + \frac{\rho}{2}$ , $I$ में है, इस प्रतिबंध को संतुष्ट करता है और $a$ से उसकी दूरी $\delta_0$ से कम है: वहाँ फलन का मान $f(a)$ से बड़ा भी होगा और बड़ा नहीं भी। अतः $f'(a) > 0$ असंभव है।
$f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}$
यदि $f'(a) < 0$ , तो वही साध्य, मानों के बीच की असमिकाओं को उलटकर, एक $\delta > 0$ देता है जिसके साथ $f(x) > f(a)$ प्रत्येक $x$ के लिए (जो $I$ का अवयव हो और जिसके लिए $a - \delta < x < a$ ), और बिंदु $a - \frac{\rho}{2}$ वही विरोधाभास उत्पन्न करता है। अवकलज न धनात्मक है न ऋणात्मक: वह शून्य है।
$(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
यदि $f$ का $a$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है, तो $-f$ का वहाँ स्थानीय उच्चिष्ठ है, और अवकलन के नियम वाले पाठ की प्रमेय “रैखिक संयोजन का अवकलज” के अनुसार वह $a$ पर अवकलनीय है और उसका अवकलज $-f'(a)$ है; जो पहले सिद्ध किया गया, उसके अनुसार यह अवकलज शून्य है।

प्रमेय एक आवश्यक प्रतिबंध देती है, पर्याप्त नहीं: $x^3$ का $0$ पर अवकलज शून्य है, किंतु वहाँ उसका कोई स्थानीय चरम नहीं है, क्योंकि $0$ के बाईं ओर वह ऋणात्मक मान लेता है और दाईं ओर धनात्मक। अन्य दो परिकल्पनाएँ भी छोड़ी नहीं जा सकतीं। यदि $a$ आंतरिक बिंदु न हो, तो अवकलज शून्य न भी हो: फलन $x$ का $\icc{0}{1}$ पर उच्चिष्ठ $1$ पर है, और वहाँ उसका अवकलज, जो अंतर-भागफल की बाईं सीमा है क्योंकि प्रांत में $1$ के दाईं ओर कोई बिंदु नहीं है, $1$ के बराबर है। यदि $f$ , $a$ पर अवकलनीय न हो, तो प्रमेय कुछ नहीं कहती: $\abs{x}$ का निम्निष्ठ $0$ पर है और वहाँ वह अवकलनीय नहीं है। अतः किसी फलन के चरम मान तीन प्रकार के बिंदुओं में खोजे जाते हैं: वे आंतरिक बिंदु जहाँ अवकलज शून्य होता है, वे बिंदु जहाँ फलन अवकलनीय नहीं है, और वे बिंदु जो आंतरिक नहीं हैं। एकदिष्टता वाला पाठ इन बिंदुओं को नाम देगा और यह तय करने की विधि देगा कि उनमें से कौन-से स्थानीय चरम हैं। अवकलन के नियम वाले पाठ के हल किए गए प्रश्न 1 ने ध्यान दिलाया था कि $\frac{x}{x^2 + 1}$ की क्षैतिज स्पर्श रेखाएँ आलेख को उसके उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ बिंदुओं पर स्पर्श करती हैं, और संकेत किया था कि यह संयोग नहीं है: जो फलन $\mathbb{R}$ पर अवकलनीय हो और अपना उच्चिष्ठ प्राप्त करे, वह उसे किसी आंतरिक बिंदु पर प्राप्त करता है, जहाँ फ़र्मा प्रमेय अवकलज को शून्य कर देती है।

इस पाठ के शेष भाग में

रोल प्रमेय
लाग्रांज की माध्यमान प्रमेय
कॉशी की माध्यमान प्रमेय
माध्यमान प्रमेय के परिणाम
हल किए गए प्रश्न
ठीक दो मूल
दो भिन्नों के बीच लघुगणक
अचर सापेक्ष दर वाले एकमात्र फलन
दोनों फलनों के लिए एक ही बिंदु
अवकल की त्रुटि का परिबंध
अभ्यास प्रश्न
माध्यमान का एक अविद्यमान बिंदु
किसी बहुपद के अवकलज के मूल
अधिक से अधिक एक नियत बिंदु
अपने द्वितीय अवकलज के ऋण के बराबर फलन
ज्या और कोज्या के लिए कॉशी का बिंदु

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