फलनों पर संक्रियाएँ, प्रतिलोम फलन और आलेखों के रूपांतरण

सारांश

यह पाठ फलनों को ऐसी वस्तुओं के रूप में देखता है जिन पर संक्रियाएँ की जाती हैं। यह वास्तविक फलनों के योग, गुणनफल, भागफल और संघटन को उनके प्रांतों सहित परिभाषित करता है, और दिखाता है कि संघटन क्रमविनिमेय नहीं है। यह समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ से संघटन की साहचर्यता, एकैकी होने की धारणा और प्रतिलोम फलन प्रमेय लेता है, और उसमें वह जोड़ता है जो वास्तविक फलनों की अपनी विशेषता है: संघटन का प्रांत, एकदिष्ट फलन, दृढ़तः एकदिष्ट फलन का प्रतिलोम, चर के लिए हल करके और प्रांत को सीमित करके प्रतिलोम की गणना, और प्रतिलोम का आलेख, जो मूल आलेख का रेखा $y = x$ के सापेक्ष परावर्तन है। इसके बाद यह सम और विषम फलनों, किसी आलेख के स्थानांतरणों, तननों और परावर्तनों, तथा खंडशः परिभाषित फलनों और निरपेक्ष मान वाले फलनों का अध्ययन करता है।

अधिगम उद्देश्य

फलनों को जोड़ना, गुणा करना, भाग देना और उनका संघटन करना, और संक्रिया में आने वाले फलनों के प्रांतों से प्रत्येक परिणाम का प्रांत ज्ञात करना।
यह निर्णय करना कि कोई फलन एकैकी, आच्छादक या एकैकी आच्छादक है या नहीं, और आवश्यक होने पर प्रांत को सीमित करके उसका प्रतिलोम ज्ञात करना।
किसी आलेख की सममितियों को पहचानना: ऊर्ध्वाधर अक्ष के सापेक्ष, मूल बिंदु के सापेक्ष और रेखा $y = x$ के सापेक्ष।
स्थानांतरणों, तननों, परावर्तनों और निरपेक्ष मानों के द्वारा एक फलन के आलेख से दूसरे फलन का आलेख प्राप्त करना, और उस क्रम का पालन करना जिसमें वे लागू किए जाते हैं।
अनुप्रयुक्त प्रश्नों में फलनों पर संक्रियाओं और प्रतिलोम फलन की व्याख्या करना, जैसे लेंस का समीकरण, जिसमें प्रतिलोम वस्तु और प्रतिबिंब की भूमिकाओं को आपस में बदल देता है।

फलनों पर संक्रियाएँ

बीजीय फलनों वाले पाठ में फलन को ऐसे नियम के रूप में परिभाषित किया गया था जो अपने प्रांत के प्रत्येक अवयव को ठीक एक प्रतिबिंब देता है, और देखा गया था कि बीजीय फलन चर से योग, गुणनफल, भागफल और मूल लेने के द्वारा बनते हैं। इन संक्रियाओं को फलनों के बीच की संक्रियाओं के रूप में समझा जा सकता है: दो फलनों को बिंदु-दर-बिंदु जोड़ा, गुणा किया या भाग दिया जाता है, और उनमें से एक को दूसरे के परिणाम पर लागू किया जा सकता है। यदि ऐसा है, तो जटिल फलनों का अध्ययन उन्हें सरल फलनों में विघटित करके किया जाता है।

मान लीजिए $f$ और $g$ वास्तविक चर के वास्तविक फलन हैं। उनका योग $f + g$ , उनका अंतर $f - g$ और उनका गुणनफल $f \cdot g$ वे फलन हैं जो प्रत्येक $x$ को क्रमशः प्रतिबिंबों का योग, अंतर और गुणनफल देते हैं; उनका भागफल $\frac{f}{g}$ प्रत्येक $x$ को प्रतिबिंबों का भागफल देता है:

f + g : x \mapsto f(x) + g(x), \qquad f \cdot g : x \mapsto f(x) \cdot g(x), \qquad \frac{f}{g} : x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}

इन व्यंजकों के सार्थक होने के लिए $x$ को दोनों प्रांतों में होना चाहिए; भागफल में, इसके अतिरिक्त, प्रतिबिंब $g(x)$ शून्य नहीं हो सकता। इससे संक्रियाओं के प्रांत प्राप्त होते हैं:

\operatorname{dom}(f + g) = \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g), \qquad \operatorname{dom}\left( \frac{f}{g} \right) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) \cap \operatorname{dom}(g) : g(x) \neq 0 \}

अंतर का प्रांत और गुणनफल का प्रांत योग के प्रांत के बराबर हैं, और किसी फलन का किसी संख्या $c$ से गुणनफल अचर फलन $c$ से उसका गुणनफल है, जिसका प्रांत $\mathbb{R}$ है। किंतु किसी संक्रिया का प्रांत उन फलनों से निर्धारित होता है जिन पर संक्रिया की जाती है, न कि सरल करने के बाद प्राप्त सूत्र से। यदि $f(x) = x^2 - 1$ और $g(x) = x - 1$ , तो भागफल अपने पूरे प्रांत में $x + 1$ के बराबर है, परंतु वह प्रांत संख्या $1$ को छोड़ देता है, क्योंकि $g(1) = 0$ : भागफल का आलेख रेखा $y = x + 1$ है जिसमें से बिंदु $(1, 2)$ हटा दिया गया है। इसी प्रकार, यदि $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = \sqrt{-x}$ , तो योग केवल $x = 0$ पर परिभाषित है, जो दोनों प्रांतों का एकमात्र उभयनिष्ठ बिंदु है। पहले उदाहरण जैसे हटाए गए बिंदुओं को चिह्न-सारणियों और असमिकाओं वाले पाठ में हटाने योग्य बिंदु कहा जाएगा, और आलेखों पर उनके प्रभाव का अध्ययन परिमेय फलनों वाले पाठ में किया जाएगा।

फलनों का संघटन

फलनों के बीच की सबसे महत्त्वपूर्ण संक्रिया का संख्याओं के बीच कोई सदृश नहीं है: इसमें एक फलन को दूसरे फलन के परिणाम पर लागू किया जाता है। $f$ और $g$ का संघटन, जिसे $f \circ g$ से निरूपित किया जाता है और “ $f$ और $g$ का संघटन” पढ़ा जाता है, वह फलन है जो पहले $g$ को और फिर $f$ को लागू करता है:

\left( f \circ g \right)(x) = f(g(x))

इसे एक के बाद एक जुड़ी दो मशीनों के रूप में सोचा जा सकता है: $x$ , $g$ में प्रवेश करता है, जो $g(x)$ देती है, और यह संख्या $f$ में प्रवेश करती है, जो $f(g(x))$ देती है। इस जोड़ के काम करने के लिए $x$ को $g$ के प्रांत में होना चाहिए, और उसके प्रतिबिंब को $f$ के प्रांत में:

\operatorname{dom}(f \circ g) = \{ x \in \operatorname{dom}(g) : g(x) \in \operatorname{dom}(f) \}

क्रम पर ध्यान दीजिए: $f \circ g$ में पहले वह फलन कार्य करता है जो दाईं ओर लिखा है। बीजीय फलन सरल फलनों के संघटन हैं; उदाहरण के लिए, $\sqrt{1 - x^2}$ वर्गमूल और $1 - x^2$ का संघटन है, और इसी संरचना को पहचानने से उसका प्रांत ज्ञात किया जा सकता है।

उदाहरणदो अलग-अलग संघटन

मान लीजिए $f(x) = \sqrt{x}$ और $g(x) = 1 - x^2$ । फलन $f \circ g$ और $g \circ f$ को उनके प्रांतों सहित ज्ञात कीजिए, और उनकी तुलना कीजिए। चित्र प्रत्येक संघटन को तीन संख्या रेखाओं पर एक मार्ग के रूप में दिखाता है: $x$ की रेखा, पहले प्रतिबिंब की रेखा और दूसरे प्रतिबिंब की रेखा।

प्रमाण

$\left( f \circ g \right)(x) = \sqrt{\resaltar{1 - x^2}}, \quad 1 - x^2 \geq 0$
$g$ का प्रांत $\mathbb{R}$ है, और $f$ का प्रांत ऋणेतर वास्तविक संख्याओं से बना है। $f \circ g$ की गणना के लिए प्रतिबिंब $g(x)$ ऋणेतर होना चाहिए; $x$ के वे मान जो इसे ऋणात्मक बनाते हैं, जैसे $x = 2$ , दूसरी मशीन से नहीं गुज़रते।
$\resaltar{(1 - x)(1 + x)} \geq 0 \leftrightarrow \dato{fg}{\operatorname{dom}(f \circ g) = \icc{-1}{1}}$
वर्गों के अंतर का गुणनखंडन करते हैं। गुणनफल के चिह्न की प्रमेयिका से दोनों गुणनखंड ऋणेतर होने चाहिए, क्योंकि दोनों के ऋणात्मक होने के लिए एक साथ $x > 1$ और $x < -1$ आवश्यक होते।
$\left( g \circ f \right)(x) = 1 - \resaltar{\left( \sqrt{x} \right)^2} = \resaltar{1 - x}, \quad \dato{gf}{\operatorname{dom}(g \circ f) = \ico{0}{\infty}}$
$g \circ f$ के लिए संख्या $x$ को $f$ के प्रांत में होना चाहिए, और $\sqrt{x}$ सदा $g$ के प्रांत में होता है। सरल करने पर सूत्र में मूल का चिह्न मिट जाता है, परंतु प्रांत उसे बनाए रखता है।
$\left( f \circ g \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \left( g \circ f \right)\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$
दोनों संघटन अलग-अलग फलन हैं: उनके प्रांत अलग हैं, और दोनों के एक ही उभयनिष्ठ बिंदु पर, जैसे $x = \frac{1}{2}$ पर, वे अलग-अलग मान लेते हैं। अतः संघटन क्रमविनिमेय नहीं है।

यद्यपि संघटन क्रमविनिमेय नहीं है, यह साहचर्य है: तीन फलनों को क्रम से जोड़ते समय इससे कोई अंतर नहीं पड़ता कि पहले दो को पहले समूहित किया जाए या अंतिम दो को। दिए गए समुच्चयों के बीच के फलनों के लिए यह पहली इकाई के समुच्चय, संबंध और फलन वाले पाठ में सिद्ध किया गया था। वास्तविक फलनों की एकमात्र विशेषता प्रांत है, जो यहाँ पहले से घोषित नहीं किया जाता, बल्कि सूत्रों से निकाला जाता है। किंतु संघटन के प्रांत की परिभाषा को दो बार लागू करने पर, कोई संख्या $x$ , $h \circ (g \circ f)$ के प्रांत में ठीक तब होती है जब वह $f$ के प्रांत में हो, उसका प्रतिबिंब $f(x)$ , $g$ के प्रांत में हो और $g(f(x))$ , $h$ के प्रांत में हो; और $(h \circ g) \circ f$ के लिए भी यही प्रतिबंध प्राप्त होता है। इस उभयनिष्ठ प्रांत तक सीमित करने पर क्रम से जुड़े फलन समुच्चयों के बीच के फलन हैं, और उस पाठ की प्रमेय दोनों स्थितियों में मान $h(g(f(x)))$ देती है। इसीलिए केवल $h \circ g \circ f$ लिखा जाता है।

\operatorname{dom}(h \circ g \circ f) = \{ x \in \operatorname{dom}(f) : f(x) \in \operatorname{dom}(g) \wedge g(f(x)) \in \operatorname{dom}(h) \}

इस पाठ के शेष भाग में

एकैकी, आच्छादक और एकैकी आच्छादक फलन
वर्धमान और ह्रासमान फलन
प्रतिलोम फलन
प्रतिलोम की गणना
प्रतिलोम का आलेख
सम और विषम फलन
आलेखों के रूपांतरण
खंडशः परिभाषित फलन और निरपेक्ष मान
हल किए गए प्रश्न
एक फलन जो स्वयं अपना प्रतिलोम है
एक रूपांतरित मूल
प्रतिलोम वाला सबसे बड़ा प्रतिबंधन
आलेख से हलों की गिनती
संघटन से एक फलन को हल करके निकालना
अभ्यास प्रश्न
किसी संघटन का एकैकी होना
लेंस का समीकरण
एक परिमेय फलन के सम और विषम भाग
निरपेक्ष मान वाले फलन का प्रतिलोम
होमोग्राफ़िक फलन

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