त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख

सारांश

इस पाठ में ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या का अध्ययन रेडियन में मापे गए वास्तविक चर के फलनों के रूप में किया जाता है। उनके प्रांत, परिसर, शून्यक, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ तथा समता ज्ञात की जाती हैं, और यह सिद्ध किया जाता है कि $2\pi$ ज्या और कोज्या का सबसे छोटा धनात्मक आवर्तकाल है तथा $\pi$ स्पर्शज्या का। मात्रक वृत्त को खोलकर ज्या का आलेख बनाया जाता है, स्थानांतरण से कोज्या का आलेख प्राप्त होता है, और स्पर्शज्या की ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों का वर्णन चिह्न-सारणी से किया जाता है; उन्हीं से छेदक, कोछेदक और कोस्पर्शज्या के आलेख निकलते हैं। क्षेत्रफलों की तुलना से असमिका $\sin x < x < \tan x$ (जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ) सिद्ध की जाती है और ज्यावक्रों $y = a \sin(b(x - c)) + d$ का अध्ययन किया जाता है, जिनसे दिन की लंबाई, ज्वार-भाटे या किसी झूले वाले बड़े पहिये की गति जैसी आवर्ती घटनाओं का प्रतिरूपण होता है।

अधिगम उद्देश्य

ज्या, कोज्या और स्पर्शज्या को वास्तविक चर के फलनों के रूप में परिभाषित करना और उनके परिसर, शून्यक, उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ, समता तथा न्यूनतम आवर्तकाल सिद्ध करना।
मात्रक वृत्त से छह त्रिकोणमितीय फलनों के आलेख बनाना और ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शियों का वर्णन चिह्न-सारणी से करना।
असमिका $\sin x < x < \tan x$ (जहाँ $0 < x < \frac{\pi}{2}$ ) और परिबंध $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ सिद्ध करना, और उनका उपयोग फलनों और समीकरणों के अध्ययन में करना।
किसी ज्यावक्र के आयाम, आवर्तकाल, कला-विस्थापन और ऊर्ध्वाधर स्थानांतरण की व्याख्या ज्या के आलेख के रूपांतरणों के रूप में करना, और आवर्ती घटनाओं के लिए ज्यावक्र समायोजित करना।

फलनों के रूप में ज्या और कोज्या

त्रिकोणमितीय अनुपात और मात्रक वृत्त वाले पाठ में किसी भी कोण की ज्या और कोज्या को उस बिंदु $P(\theta)$ के निर्देशांकों के रूप में परिभाषित किया गया था जहाँ मानक स्थिति में रखे कोण की अंतिम भुजा मात्रक वृत्त को काटती है। अब, कोण और उनकी माप वाले पाठ के अनुसार प्रत्येक वास्तविक संख्या किसी दिष्ट कोण की रेडियन माप है, और दो कोण सहांत होते हैं यदि और केवल यदि उनकी मापों का अंतर $2\pi$ का पूर्णांक गुणज हो। यदि ऐसा है, तो ज्या और कोज्या को पूरे $\mathbb{R}$ पर परिभाषित फलन माना जा सकता है: प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ को बिंदु $P(x)$ का एक निर्देशांक संगत किया जाता है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए, मान लें कि $P(x)$ मात्रक वृत्त का वह बिंदु है जो मानक स्थिति में $x$ रेडियन के कोण के संगत है। ज्या फलन $x$ को $P(x)$ की कोटि संगत करता है, और कोज्या फलन उसका भुज; दोनों का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

P(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

चर को सदा रेडियन में मापा जाता है, अंश में नहीं। यह चुनाव कोई उदासीन परिपाटी नहीं है: दूसरे अनुभाग के परिणाम, जैसे $\sin x < x$ (जब $x$ धनात्मक हो), ज्या की तुलना स्वयं चर से करते हैं, और यह तुलना तभी अर्थपूर्ण है जब $x$ मात्रक वृत्त पर तय किए गए चाप की लंबाई हो, अर्थात् वही जो एक रेडियन मापता है।

प्रमेयज्या और कोज्या के गुणधर्म

ज्या का परिसर और कोज्या का परिसर दोनों अंतराल $\icc{-1}{1}$ हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ और $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ होता है। ज्या विषम है और कोज्या सम। ज्या ठीक $\pi$ के पूर्णांक गुणजों पर शून्य होती है, मान $1$ ठीक संख्याओं $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ पर लेती है और मान $-1$ ठीक संख्याओं $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ पर ( $k$ पूर्णांक)। कोज्या ठीक संख्याओं $\frac{\pi}{2} + k\pi$ पर शून्य होती है, मान $1$ ठीक संख्याओं $2k\pi$ पर लेती है और मान $-1$ ठीक संख्याओं $\pi + 2k\pi$ पर।

सब कुछ मात्रक वृत्त पर पाइथागोरस सर्वसमिका और त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में सिद्ध की गई सममितियों से पढ़ा जा सकता है।

प्रमाण

$\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}$
पाइथागोरस सर्वसमिका से ज्या का वर्ग अधिक से अधिक $1$ है, इसलिए ज्या $-1$ और $1$ के बीच रहती है; कोज्या के लिए भी यही बात है।
$Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{ran}(\sin) = \operatorname{ran}(\cos) = \icc{-1}{1}$
विलोमतः, यदि $c$ दिया हो, जहाँ $-1 \leq c \leq 1$ , तो नीचे का बिंदु $Q$ मात्रक वृत्त पर है। कोण और उनकी माप वाले पाठ में स्वीकृत चाप-लंबाई के अनुसार गमन के अभिगृहीत के आच्छादन गुण से वह बिंदु $P(x)$ है, जहाँ $x$ कोई कोण है, अतः $\sin x = c$ है। इसी प्रकार बिंदु $\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right)$ दिखाता है कि कोज्या मान $c$ लेती है।
$\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x$
$x$ रेडियन और $x + 2\pi$ रेडियन के कोण सहांत हैं, इसलिए $P(x + 2\pi) = P(x)$ है। इसके अतिरिक्त, जैसा त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में सिद्ध किया गया, $P(-x)$ भुज-अक्ष के सापेक्ष $P(x)$ का परावर्तन है: ज्या विषम है और कोज्या सम।
$\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$
ज्या तब शून्य होती है जब $P(x)$ भुज-अक्ष पर हो, अर्थात् जब वह $(1, 0)$ या $(-1, 0)$ हो; ये कोणों $0$ और $\pi$ तथा उनके सहांत कोणों के बिंदु हैं। कोज्या तब शून्य होती है जब $P(x)$ , $(0, 1)$ या $(0, -1)$ हो।
$\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)$
यदि $\sin x = 1$ हो, तो पाइथागोरस सर्वसमिका से कोज्या शून्य होनी चाहिए, और बिंदु $P(x)$ , $(0, 1)$ है, जो कोण $\frac{\pi}{2}$ के संगत है। यदि $\sin x = -1$ हो, तो बिंदु $(0, -1)$ है, जो $-\frac{\pi}{2}$ के संगत है।
$\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi$
उसी युक्ति से, कोज्या मान $1$ तब लेती है जब $P(x) = (1, 0)$ , और मान $-1$ तब जब $P(x) = (-1, 0)$ । सारांश में, ज्या और कोज्या के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ इन संख्याओं पर प्राप्त होते हैं ( $k$ पूर्णांक):

ज्या का आलेख

$y = \sin x$ का आलेख मात्रक वृत्त को भुज-अक्ष पर खोलने से प्राप्त होता है: जैसे-जैसे बिंदु $P(x)$ वृत्त पर चलता है, तय किया गया चाप (लंबाई $x$ ) भुज-अक्ष पर ले जाया जाता है और प्रत्येक भुज के ऊपर बिंदु की ऊँचाई खड़ी की जाती है। त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ की सममितियों के कारण पूरा आलेख उसके पहले चौथाई भाग से बनाया जा सकता है।

उदाहरणखोले गए वृत्त के रूप में ज्या का आलेख

चित्र मात्रक वृत्त को भुज-अक्ष पर खोलता है, दोनों में लंबाई का एक ही मात्रक लेकर: बिंदु $P(x)$ की ऊँचाई भुज $x$ पर ले जाई जाती है, और पूरा आलेख पहले चौथाई भाग को दोहराने और परावर्तित करने से प्राप्त होता है।

प्रमाण

$\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1$
जब $x$ , $0$ से $\frac{\pi}{2}$ तक जाता है, तब बिंदु $P(x)$ पहले चतुर्थांश को $(1, 0)$ से $(0, 1)$ तक तय करता है। चाप-लंबाई के अनुसार गमन के अभिगृहीत के आधे चक्कर वाले गुण से उसका भुज $\cos x$ , $1$ से $0$ तक दृढ़तः ह्रासमान होता है; उसकी ऊँचाई ऋणेतर वर्गमूल $\sqrt{1 - \cos^2 x}$ है, इसलिए वह $0$ से $1$ तक दृढ़तः वर्धमान होती है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ में यही युक्ति पूरे अंतराल $\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}$ तक बढ़ाई जाती है।
$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
त्रिकोणमितीय अनुपातों वाले पाठ में परिकलित विशिष्ट मान पहले चाप के तीन बीच के बिंदु देते हैं।
$\sin(\pi - x) = \sin x$
$\frac{\pi}{2}$ और $\pi$ के बीच, संपूरक कोण की सममिति से, $\pi - x$ पर ऊँचाई वही है जो $x$ पर: पहला चाप ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{\pi}{2}$ के सापेक्ष सममित है और नीचे उतरकर ऊँचाई $0$ तक पहुँचता है, जो भुज $\pi$ पर होता है।
$\sin(x + \pi) = -\sin x$
$\pi$ और $2\pi$ के बीच बिंदु $P(x + \pi)$ , मूलबिंदु के सापेक्ष $P(x)$ का सममित बिंदु है: ऊँचाई का चिह्न बदल जाता है, और आलेख अक्ष के नीचे पहले बने चाप को $\pi$ से स्थानांतरित और परावर्तित करके दोहराता है।
$\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x$
आवर्तिता के कारण $0$ और $2\pi$ के बीच का भाग, जिसे चक्र कहते हैं, दाईं और बाईं ओर दोहराया जाता है; और चूँकि ज्या विषम है, आलेख मूलबिंदु के सापेक्ष सममित है।

ज्या का आलेख रेखाओं $y = -1$ और $y = 1$ के बीच दोलन करने वाली एक तरंग है, जो $\pi$ के गुणजों पर भुज-अक्ष को काटती है और जिसके उच्चिष्ठ संख्याओं $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ पर तथा निम्निष्ठ संख्याओं $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ पर हैं, जैसा ऊपर के प्रमेय में है।

इसके अतिरिक्त, चित्र दो ऐसे गुणों को मान लेता है जिनका संकेत खोला गया वृत्त देता है, पर जिन्हें इस इकाई के साधनों से सिद्ध नहीं किया जा सकता: कि आलेख बिना टूटे एक वक्र है, और अक्ष के ऊपर का प्रत्येक चाप सदा नीचे की ओर मुड़ता है। दोनों सीमाओं द्वारा परिभाषित होते हैं और कलन I पाठ्यक्रम में सिद्ध किए जाते हैं; यहाँ उन्हें स्वीकार किया जाता है। इस इकाई का कोई प्रमेय उन पर निर्भर नहीं करता: उनका उपयोग केवल कुछ प्रश्नों में होता है, और वहाँ यह स्पष्ट कहा जाता है।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (त्रिकोणमितीय फलनों और उनके प्रतिलोमों का सांतत्य)। ज्या और कोज्या पूरी संख्या रेखा पर संतत हैं; स्पर्शज्या, छेदक, कोछेदक और कोस्पर्शज्या अपने प्रांत में समाहित प्रत्येक अंतराल पर संतत हैं; प्रतिलोम ज्या, प्रतिलोम कोज्या और प्रतिलोम स्पर्शज्या, जो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन वाले पाठ में परिभाषित होते हैं, अपने-अपने प्रांत पर संतत हैं। संतत फलनों के योग, गुणनफल, शून्येतर हर वाले भागफल और संघटन संतत होते हैं। अतः मध्यवर्ती मान प्रमेय का तथ्य, जो पाठ्यक्रम I में बिना प्रमाण स्वीकार किया गया और परिमेय फलनों वाले पाठ में उद्धृत है, प्रांत में समाहित प्रत्येक संवृत अंतराल पर $\sin x - \frac{x}{10}$ , $\tan x - x$ या $\arcsin x + \arctan x$ जैसे फलनों पर लागू होता है: यदि सिरों पर चिह्न बदलता है, तो फलन किसी आंतरिक बिंदु पर शून्य होता है।

बिना प्रमाण स्वीकृत तथ्य (ज्या की अवतलता)। ज्या प्रत्येक अंतराल $\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}$ पर, $k$ पूर्णांक के साथ, दृढ़तः अवतल है: यदि $u < x < v$ इस अंतराल के बिंदु हैं, तो आलेख का भुज $x$ वाला बिंदु आलेख के भुज $u$ और $v$ वाले बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड से कठोरता से ऊपर है।

u < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

आवर्ती फलन

फलन $f$ आवर्ती कहलाता है यदि कोई संख्या $p > 0$ ऐसी हो कि प्रांत के प्रत्येक $x$ के लिए $x + p$ और $x - p$ प्रांत में हों और $f(x + p) = f(x)$ हो; ऐसी संख्या $f$ का एक आवर्तकाल कहलाती है। यदि $p$ आवर्तकाल है, तो $2p$ , $3p$ भी हैं, और आगमन से उसके सभी प्राकृत गुणज भी: $f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x)$ । इस प्रकार किसी आवर्ती फलन के अनंत आवर्तकाल होते हैं, और सबसे रोचक उनमें सबसे छोटा है (यदि वह अस्तित्व में हो), जिसे न्यूनतम आवर्तकाल कहते हैं; उसका आलेख आवर्तकाल जितनी लंबाई के अंतराल वाले भाग को बार-बार दोहराने से प्राप्त होता है।

उपप्रमेयआवर्तकाल न्यूनतम आवर्तकाल के गुणज होते हैं

यदि $q$ फलन $f$ का न्यूनतम आवर्तकाल है, तो $f$ के आवर्तकाल ठीक संख्याएँ $kq$ हैं, जहाँ $k$ प्राकृत संख्या है।

किसी भी आवर्तकाल को $q$ से शेषफल सहित विभाजन की तरह भाग देकर दिखाया जाता है कि शेषफल धनात्मक नहीं हो सकता। चित्र न्यूनतम आवर्तकाल $q$ वाले एक फलन का उपयोग करता है।

प्रमाण

$\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}$
$q$ का प्रत्येक प्राकृत गुणज आवर्तकाल है, जैसा अभी आगमन से देखा गया।
$\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}$
विलोमतः, मान लें कि $p$ एक आवर्तकाल है; $q$ की न्यूनतमता से $p \geq q$ है। पाठ्यक्रम I के परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार वाले पाठ में सिद्ध वास्तविक संख्याओं के आर्किमिडीज़ गुण और सुक्रम सिद्धांत से, ठीक कोण और उनकी माप वाले पाठ के पहले चक्कर पर लाने वाले प्रमेय की तरह, एक प्राकृत संख्या $k \geq 1$ ऐसी है कि $kq \leq p < (k + 1)q$ , और शेषफल $r = p - kq$ , $0$ और $q$ के बीच है, बाद वाले को छोड़कर।
$f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)$
यदि $r$ धनात्मक होता, तो वह एक आवर्तकाल होता: $r$ आगे बढ़ना और $kq$ पीछे लौटना $p$ आगे बढ़ने के बराबर है, और $kq$ तथा $p$ दोनों आवर्तकाल हैं।
$r = 0 \rightarrow p = kq$
परंतु $q$ से छोटा कोई धनात्मक आवर्तकाल $q$ की न्यूनतमता के विरुद्ध होगा; अतः शेषफल शून्य है और $p$ , $q$ का एक प्राकृत गुणज है।

प्रमेयज्या और कोज्या का न्यूनतम आवर्तकाल

संख्या $2\pi$ ज्या और कोज्या का न्यूनतम आवर्तकाल है।

गुणधर्मों वाले प्रमेय से $2\pi$ दोनों फलनों का आवर्तकाल है; यह दिखाना शेष है कि $0$ और $2\pi$ के बीच की कोई संख्या आवर्तकाल नहीं है, और इसके लिए यह देखना पर्याप्त है कि उच्चिष्ठ कहाँ प्राप्त होते हैं।

प्रमाण

$\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}$
मान लें कि $p$ , जहाँ $0 < p < 2\pi$ , ज्या का एक आवर्तकाल है। समता $\sin(x + p) = \sin x$ में $x = \frac{\pi}{2}$ रखने पर संख्या $\frac{\pi}{2} + p$ भी उच्चिष्ठ बिंदु होगी।
$\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi$
गुणधर्मों वाले प्रमेय से ज्या मान $1$ केवल संख्याओं $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ पर लेती है: तब $p$ , $2\pi$ का पूर्णांक गुणज होगा, जो $0$ और $2\pi$ के बीच असंभव है। दूसरे शब्दों में, ज्या के दो क्रमागत उच्चिष्ठ बिंदुओं के बीच की दूरी ठीक $2\pi$ है।
$\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi$
कोज्या के लिए $x = 0$ के साथ इसी प्रकार किया जाता है: आवर्तकाल $p$ से $\cos p = \cos 0 = 1$ मिलता है, जबकि कोज्या मान $1$ केवल $2\pi$ के पूर्णांक गुणजों पर लेती है।

ऊपर की प्रमेयिका से ज्या और कोज्या के आवर्तकाल ठीक संख्याएँ $2k\pi$ हैं, जहाँ $k$ प्राकृत संख्या है।

स्थानांतरित ज्या के रूप में कोज्या

कोज्या के आलेख के लिए कोई नई रचना आवश्यक नहीं है, क्योंकि वह ज्या के आलेख का स्थानांतरण है।

प्रमेयकोज्या एक स्थानांतरित ज्या है

प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ के लिए $\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)$ होता है। अतः $y = \cos x$ का आलेख ज्या के आलेख को $\frac{\pi}{2}$ बाईं ओर स्थानांतरित करने से प्राप्त होता है।

पूरक कोण और संपूरक कोण की सममितियों को मिलाया जाता है और फिर पाठ्यक्रम I के फलनों की संक्रियाओं वाले पाठ के रूपांतरणों के प्रमेय का उपयोग किया जाता है।

प्रमाण

$\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}$
पूरक कोण की सममिति से $x$ की कोज्या $\frac{\pi}{2} - x$ की ज्या है।
$\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}$
संपूरक कोण की सममिति से $\sin(\pi - u) = \sin u$ है; $u = \frac{\pi}{2} - x$ रखने पर कोण $\pi - u$ , $\frac{\pi}{2} + x$ है।
$y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)$
रूपांतरणों के प्रमेय से $y = f(x - h)$ का आलेख, $f$ के आलेख का $h$ द्वारा क्षैतिज स्थानांतरण है, जहाँ $f$ ज्या है और $h = -\frac{\pi}{2}$ : ज्या के आलेख का प्रत्येक बिंदु $\frac{\pi}{2}$ बाईं ओर खिसकता है, और उच्चिष्ठ बिंदु $\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right)$ , $(0, 1)$ पर चला जाता है।
$\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1$
स्थानांतरित आलेख से कोज्या के गुणधर्म पढ़े जा सकते हैं: कोज्या सम है, इसलिए आलेख कोटि-अक्ष के सापेक्ष सममित है, संख्याओं $\frac{\pi}{2} + k\pi$ पर भुज-अक्ष को काटता है, और उच्चिष्ठ $1$ , $\pi$ के सम गुणजों पर तथा निम्निष्ठ $-1$ विषम गुणजों पर प्राप्त होते हैं।

इस पाठ के शेष भाग में

एक आधारभूत असमिका
स्पर्शज्या और अन्य त्रिकोणमितीय फलन
छेदक, कोछेदक और कोस्पर्शज्या
ज्यावक्र
आवर्ती घटनाओं के प्रतिरूप
हल किए गए प्रश्न
झूले वाले बड़े पहिये पर ऊँचाई
दिए गए उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ वाले सभी ज्यावक्र
ज्या का निरपेक्ष मान और निरपेक्ष मान की ज्या
ज्या और एक रेखा वाले समीकरण के हल
ज्यावक्रों के योग का आवर्तकाल
अभ्यास प्रश्न
बंदरगाह में गहराई
ज्या और चाप का भागफल
विवर्तन की फ्रिंजें
ज्या और दाशमिक लघुगणक
कोज्याओं का एक अनावर्ती योग

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त्रिकोणमितीय फलन और उनके आलेख

सारांश

अधिगम उद्देश्य

फलनों के रूप में ज्या और कोज्या

ज्या का आलेख

आवर्ती फलन

स्थानांतरित ज्या के रूप में कोज्या

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