तुल्य अनंतसूक्ष्म और अनंतबृहत् फलन

सारांश

यह पाठ सीमाओं की इकाई को एक परिकलन तकनीक के साथ समाप्त करता है जो पहले आई लगभग हर बात को एकत्र करती है: शून्य या अनंत की ओर अग्रसर फलनों की तुलना। छोटा $o$ , बड़ा $O$ , समान कोटि और तुल्यता परिभाषित किए जाते हैं, और यह सिद्ध किया जाता है कि किसी गुणनफल या भागफल में प्रत्येक गुणनखंड को, सीमा बदले बिना, किसी तुल्य गुणनखंड से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय सीमाएँ, चरघातांकी, लघुगणक और घातों की सीमाएँ, तथा बहुपदों की सीमाएँ, जो पहले के पाठों में सिद्ध की गई थीं, तुल्यों की एक सारणी में एकत्र की जाती हैं, जिससे वे सीमाएँ एक दृष्टि में परिकलित की जा सकती हैं जिनके लिए पहले कई रूपांतरण आवश्यक थे। पाठ इस तकनीक की सबसे सामान्य भूल भी दिखाता है, अर्थात् किसी योग के भीतर प्रतिस्थापन, यह भी कि कब किसी योग का प्रतिस्थापन सचमुच किया जा सकता है, और यह भी कि शून्य के निकट तथा मूल बिंदु से दूर घातों की तुलना कैसे होती है।

अधिगम उद्देश्य

किसी बिंदु पर, एक पक्ष में या अनंत पर फलनों के छोटे $o$ , बड़े $O$ , समान कोटि और तुल्यता को परिभाषित करना, और उनके गुण सिद्ध करना।
गुणनफलों और भागफलों में तुल्यों के प्रतिस्थापन की प्रमेय सिद्ध करना, और पहचानना कि यह योगों में क्यों लागू नहीं होती।
शून्य पर तुल्यों की सारणी सिद्ध करना और संघटन के साथ उसका उपयोग करके सीमाएँ परिकलित करना तथा किसी अनंतसूक्ष्म की कोटि और मुख्य भाग ज्ञात करना।
घात-रूप अनंतबृहतों और अनंतसूक्ष्मों की तुलना करना, और तुल्यता को अनंतस्पर्शी के अस्तित्व से अलग पहचानना।

फलनों की तुलना करना

सैंडविच प्रमेय वाले पाठ और अनंत सीमाएँ वाले पाठ, दोनों ने दिखाया कि रूप $\frac{0}{0}$ और $\frac{\infty}{\infty}$ का कोई निश्चित परिणाम नहीं होता: शून्य की ओर अग्रसर दो फलनों के भागफल की सीमा इस पर निर्भर करती है कि वे कितनी तेज़ी से शून्य की ओर जाते हैं। इस पाठ का विचार यह है कि प्रत्येक फलन की तुलना किसी अन्य, अधिक सरल फलन से करके उस तेज़ी को मापा जाए। अनंत सीमाओं वाले पाठ की तरह, $P$ चर के गंतव्य को सूचित करता है ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ या $-\infty$ ), और “ $P$ के निकट” का अर्थ है किसी छिद्रित सामीप्य में, एक पक्ष में या किसी किरण पर। यदि कोई फलन केवल किसी समुच्चय $A$ पर परिभाषित है, जिसका $a$ एक संचय बिंदु है, तो “ $a$ के निकट” का अर्थ है $A$ के उन बिंदुओं पर जो केंद्र $a$ वाले किसी छिद्रित सामीप्य में हैं, और सीमाएँ एक वास्तविक चर के फलनों की सीमा वाले पाठ की सीमाएँ हैं, जो $A$ पर ली जाती हैं; आगे दी गई परिभाषाएँ इस स्थिति में भी उसी प्रकार लागू होती हैं।

परिभाषाफलनों की तुलना

मान लीजिए $f$ और $g$ ऐसे फलन हैं जो $P$ के निकट परिभाषित हैं, और $g(x) \neq 0$ है, $P$ के निकट।

$f$ , $g$ की तुलना में $P$ पर नगण्य है, और लिखा जाता है $f = \operatorname{o}(g)$ , जिसे पढ़ा जाता है “ $f$ , $g$ का छोटा o है”, यदि $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ ।
$f$ , $g$ से $P$ पर परिबद्ध है, और लिखा जाता है $f = \operatorname{O}(g)$ , जिसे पढ़ा जाता है “ $f$ , $g$ का बड़ा O है”, यदि कोई $C > 0$ विद्यमान हो जिसके लिए $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ , $P$ के निकट; अर्थात्, यदि भागफल $\frac{f(x)}{g(x)}$ , $P$ के निकट परिबद्ध है।
$f$ और $g$ , $P$ पर समान कोटि के हैं यदि $\frac{f(x)}{g(x)}$ किसी शून्येतर संख्या की ओर अग्रसर होता है।
$f$ और $g$ , $P$ पर तुल्य हैं, और लिखा जाता है $f \sim g$ , यदि $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ ।

जो फलन $0$ की ओर अग्रसर होता है ( $P$ पर), उसे $P$ पर अनंतसूक्ष्म कहते हैं, और जो $\infty$ या $-\infty$ की ओर अग्रसर होता है, उसे अनंतबृहत्। $0$ पर किसी अनंतसूक्ष्म की कोटि $k > 0$ होती है यदि वह $x^k$ के समान कोटि का हो ( $0^+$ पर, यदि $x^k$ केवल $x > 0$ के लिए परिभाषित हो), और तब, यदि $\frac{f(x)}{x^k}$ , $c$ की ओर अग्रसर हो, तो फलन $c\,x^k$ उसका मुख्य भाग है: $f \sim c\,x^k$ ।

शब्द “अनंतसूक्ष्म” किसी बहुत छोटी संख्या को नहीं, बल्कि शून्य की ओर अग्रसर किसी फलन को सूचित करता है; लेखन $\operatorname{o}(g)$ किसी निश्चित फलन को नहीं, बल्कि उन फलनों में से किसी को भी सूचित करता है जो $g$ की तुलना में नगण्य हैं। उदाहरण के लिए, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ , $0$ पर, क्योंकि $\frac{x^2}{x} = x$ , $0$ की ओर अग्रसर होता है; इसके विपरीत, $x = \operatorname{o}(x^2)$ , $\infty$ पर, क्योंकि $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ , $0$ की ओर अग्रसर होता है। फलनों के एक ही युग्म की तुलना गंतव्य के अनुसार विपरीत ढंग से होती है। समान कोटि और तुल्यता, वस्तुतः, एक ही तुलना हैं: यदि $f$ और $g$ समान कोटि के हैं और उनका भागफल $c$ की ओर अग्रसर होता है, तो $f \sim c\,g$ ।

साध्यतुलना के गुण

एक ही गंतव्य $P$ पर:

तुल्यता स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है: $f \sim f$ ; यदि $f \sim g$ , तो $g \sim f$ ; और यदि $f \sim g$ और $g \sim h$ , तो $f \sim h$ ;
$f \sim g$ यदि और केवल यदि $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; विशेष रूप से, यदि $h = \operatorname{o}(g)$ , तो $g + h \sim g$ ;
यदि $f = \operatorname{o}(h)$ और $g = \operatorname{o}(h)$ , तो $f + g = \operatorname{o}(h)$ और $c\,f = \operatorname{o}(h)$ , प्रत्येक वास्तविक $c$ के लिए।

प्रत्येक दावा सीमाओं का बीजगणित का एक नियम है, जो किसी भागफल पर लागू किया गया है।

प्रमाण

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
$f$ का स्वयं से भागफल $1$ के बराबर है। यदि $\frac{f}{g}$ , $1$ की ओर अग्रसर होता है, तो व्युत्क्रम नियम से उसका व्युत्क्रम $\frac{1}{1} = 1$ की ओर अग्रसर होता है। यदि $\frac{f}{g}$ और $\frac{g}{h}$ , $1$ की ओर अग्रसर होते हैं, तो गुणनफल नियम से उनका गुणनफल भी।
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
$f - g$ का $g$ से भागफल $\frac{f}{g} - 1$ है, जो $0$ की ओर अग्रसर होता है यदि और केवल यदि $\frac{f}{g}$ , $1$ की ओर अग्रसर होता है। $f = g + h$ लेने पर अंतर $h$ है।
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
यदि $\frac{f}{h}$ और $\frac{g}{h}$ , $0$ की ओर अग्रसर होते हैं, तो रैखिक संयोजन के नियम से उनका योग और प्रत्येक का किसी अचर से गुणनफल भी।

बड़ा $O$ यह अपेक्षा नहीं करता कि भागफल की सीमा हो, केवल यह कि वह अनियंत्रित रूप से न बढ़े। उदाहरण के लिए, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ , $\infty$ पर, यद्यपि वहाँ $\sin x$ की कोई सीमा नहीं है, और $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ , $0$ पर, क्योंकि $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ । सीमाएँ परिकलित करने के लिए छोटा $o$ पर्याप्त है; बड़ा $O$ सन्निकटन की त्रुटियाँ मापने में काम आएगा, जैसे टेलर बहुपद की त्रुटि, जिसका अध्ययन कलन II में होगा। उसके नियम निम्नलिखित हैं।

साध्यबड़े O के नियम

एक ही गंतव्य $P$ पर:

यदि $\frac{f}{g}$ की $P$ पर परिमित सीमा है, तो $f = \operatorname{O}(g)$ ; विशेष रूप से, यदि $f = \operatorname{o}(g)$ या यदि $f \sim g$ ;
यदि $f = \operatorname{O}(h)$ और $g = \operatorname{O}(h)$ , तो $f + g = \operatorname{O}(h)$ और $c\,f = \operatorname{O}(h)$ , प्रत्येक वास्तविक $c$ के लिए;
यदि $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ और $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , तो $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
यदि $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ और $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , तो $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ ।

प्रत्येक नियम निरपेक्ष मानों के बीच एक असमिका है; अंतिम नियम एक परिबंध को शून्य की ओर अग्रसर एक भागफल के साथ जोड़ता है।

प्रमाण

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
यदि $\frac{f}{g}$ , $L$ की ओर अग्रसर होता है, तो चुनौती $\varepsilon = 1$ का प्रत्युत्तर है: $P$ के निकट, भागफल की $L$ से दूरी $1$ से कम है, और त्रिभुज असमिका से उसका निरपेक्ष मान $\abs{L} + 1$ से अधिक नहीं होता।
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
परिबंध $C_1$ ( $f$ का) और $C_2$ ( $g$ का) $P$ के निकट एक साथ लागू होते हैं, दोनों सामीप्यों के प्रतिच्छेद में। त्रिभुज असमिका योग को परिबद्ध करती है; गुणज का परिबंध $\abs{c}\,C_1$ है।
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
दोनों गुणनखंडों के परिबंध गुणा किए जाते हैं।
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
गुणनफल का $g_1 g_2$ से भागफल, $C_1$ से परिबद्ध एक भागफल और $0$ की ओर अग्रसर एक अन्य भागफल का गुणनफल है; सैंडविच प्रमेय से वह $0$ की ओर अग्रसर होता है।

इस पाठ के शेष भाग में

प्रतिस्थापन प्रमेय
तुल्यों की सारणी
अनंतबृहतों की तुलना
हल किए गए प्रश्न
एक प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन
एक योग जिसका प्रतिस्थापन नहीं होता
एक घनमूल
तुल्य अनंतबृहत्
एक योग की कोटि
अभ्यास प्रश्न
तीन प्रतिस्थापन
दो करणियों का अंतर
एक संघटित तुल्यता
अनंतस्पर्शी के बिना तुल्यता
प्रत्येक छोर पर एक घात प्रभावी

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