गणितीय तर्कशास्त्र I: अंतिम समीक्षा

पाठ्यक्रम ने क्या लक्ष्य रखा

गणित के सभी पाठ्यक्रम उपपत्ति की माँग करते हैं, और दर्शनशास्त्र के सभी पाठ्यक्रम युक्ति देने की; परंतु उनमें से कोई भी स्वयं युक्ति को अपना विषय नहीं बनाता। इसलिए यह पाठ्यक्रम एक सामान्य लक्ष्य के साथ जन्मा: युक्ति को विषय बनाने वाला पहला पूर्ण गणितीय सिद्धांत रचना, जिसके चारों भाग सामने दिखें: एक भाषा, जिसके सूत्र बिना अस्पष्टता के पहचाने जाते हैं; एक कलन, जो प्रतीकों के अर्थ पर ध्यान दिए बिना निगमन उत्पन्न करता है; एक अर्थ, जो हर मान-नियतन के अंतर्गत हर सूत्र को उसका मान देता है; और इस बात की उपपत्ति कि कलन और अर्थ संपाती हैं, अर्थात् यह कि $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$, हर सूत्र-समुच्चय $\Gamma$ और हर सूत्र $\varphi$ के लिए। अध्ययन योजना वाले पाठ ने इस लक्ष्य को सात समग्र अधिगम उद्देश्यों में फैलाया, जिन्हें उसी क्रमांक के साथ सामने रखना उचित है जिससे चित्र उनका हवाला देता है:

1. वस्तु-भाषा को अधिभाषा से अलग करना, और निर्माण नियमों से तय करना कि कोई प्रतीक-शृंखला सूत्र है या नहीं।
2. प्राकृतिक भाषा के कथनों और युक्तियों का औपचारिकीकरण करना, यह बताते हुए कि औपचारिकीकरण क्या बनाए रखता है और क्या खो देता है।
3. पाठ्यक्रम की प्रणाली (लुकासिएविच के अभिगृहीत, मोडस पोनेन्स और दोहरे निषेध का प्रतिस्थापन) में निगमन रचना, अभिगृहीतों, मूल नियमों और व्युत्पन्न नियमों को मिलाकर।
4. प्राकृत संख्याओं पर, सूत्रों की जटिलता पर और निगमनों की लंबाई पर आगमन द्वारा अधिप्रमेय सिद्ध करना।
5. सत्यता सारणियों और तुल्यताओं से वैधता, संतोषणीयता, शब्दार्थीय परिणाम और शब्दार्थीय तुल्यता का निर्णय करना।
6. सूत्रों को प्रसामान्य रूपों में बदलना और उनसे सत्यता फलनों और परिपथों को व्यक्त करना।
7. सुदृढ़ता, पूर्णता और संहतता को समझाना और लागू करना, और विभेदन द्वारा असंतोषणीयता का निर्णय करना।

इसके अलावा, पाठ्यक्रम के हर पाठ ने अपने विशिष्ट उद्देश्य बताए। पाठ यह नहीं कहते कि हर विशिष्ट उद्देश्य किस समग्र उद्देश्य की सेवा करता है; यह संगति बाहर से किया गया एक पाठन है, उसी विधि से जो साइट के अन्य पाठ्यक्रमों में अपनाई गई। हर विशिष्ट उद्देश्य एक मुख्य समग्र उद्देश्य को सौंपा जाता है और, यदि वह उन्हें छूता है, तो अन्य गौण उद्देश्यों को भी; हर एक अपने मुख्य उद्देश्य में पूरा और हर गौण उद्देश्य में आधा गिना जाता है, और पाठ मुख्य रूप से उस समग्र उद्देश्य से जुड़ता है जो सबसे अधिक भार पाता है, और गौण रूप से उन अन्य उद्देश्यों से जिन्हें कुछ भार मिलता है। यदि दो उद्देश्यों का भार बराबर हो, तो इकाई का उद्देश्य निर्णायक होता है, और यदि दोनों में से कोई इकाई का उद्देश्य न हो, तो छोटी संख्या वाला; इसी कारण आगमन वाला पाठ, जिसके चारों विशिष्ट उद्देश्य आगमन द्वारा उपपत्तियाँ हैं, भाषा की इकाई का होते हुए भी उद्देश्य 4 से जुड़ता है। परिचय पाठ भी यही नियम मानते हैं। सारांश पाठ, इसके विपरीत, अपना मानदंड अपनाते हैं: उनका मुख्य उद्देश्य उनकी इकाई का उद्देश्य है, क्योंकि उनकी निगमन-शृंखला, उनका समापन मूल्यांकन और उनकी अधिकांश चुनौतियाँ वह एकत्र करती हैं जो इकाई ने सिखाया, और उनके गौण उद्देश्य वे अन्य उद्देश्य हैं जिनका अभ्यास उनके विशिष्ट उद्देश्य और उनकी छह चुनौतियाँ कराती हैं। यदि ऐसा है, तो पूरा पाठ्यक्रम एक रीढ़ का रूप ले लेता है: सिर सामान्य लक्ष्य है; स्तंभ इकाइयों का क्रम है, हर इकाई अपने खंड के साथ; हर पाठ उस खंड की एक गाँठ है, जो अपने मुख्य उद्देश्य से जुड़ी है, और सातों उद्देश्य स्तंभ के चारों ओर तैरते हैं, उन पाठों के सहारे जो उन्हें पोषित करते हैं।