Οι φυσικοί αριθμοί: σύνθεση και προκλήσεις

1. Τμήμα 1 Τα θεμέλια: σύνολα, αξιώματα, πράξεις και διάταξη

   • Να καθοριστεί η γλώσσα των συνόλων, των σχέσεων και των συναρτήσεων, και να αποδειχθεί ότι οι σχέσεις ισοδυναμίας και οι διαμερίσεις αντιστοιχούν η μία στην άλλη.
   • Να οριστούν οι φυσικοί με αφετηρία το $1$ και τον επόμενο μέσω των πέντε αξιωμάτων του Πεάνο.
   • Να χτιστεί πάνω στον επόμενο μια κλίμακα αναδρομικών ορισμών: η πρόσθεση, ο πολλαπλασιασμός και η ύψωση σε δύναμη.
   • Να συναχθούν με επαγωγή η αντιμεταθετική, η προσεταιριστική και η επιμεριστική ιδιότητα και ο νόμος της διαγραφής.
   • Να προκύψει από την πρόσθεση η σχέση διάταξης, με την τριχοτομία, τη μεταβατικότητα και τη μονοτονία, και να διευκρινιστεί πότε υπάρχουν η διαφορά και το πηλίκο.

   1. Ισοδυναμίες και διαμερίσεις. Οι κλάσεις μιας σχέσης ισοδυναμίας σε ένα σύνολο σχηματίζουν μια διαμέρισή του, και κάθε διαμέριση είναι το σύνολο των κλάσεων μιας μοναδικής σχέσης ισοδυναμίας.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύνολα, σχέσεις και συναρτήσεις.

   2. Αξιώματα του Πεάνο. Οι φυσικοί παράγονται από το $1$ μέσω του επόμενου: το $1$ δεν είναι επόμενος κανενός, διαφορετικοί φυσικοί έχουν διαφορετικούς επόμενους, και κάθε σύνολο που περιέχει το $1$ και τον επόμενο καθενός από τα στοιχεία του περιέχει όλους τους φυσικούς.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι φυσικοί αριθμοί και τα αξιώματα του Πεάνο.

   3. Αναδρομική πρόσθεση. Η πρόσθεση, που ορίζεται από τις $n + 1 = S(n)$ και $n + S(m) = S(n + m)$, είναι αντιμεταθετική, προσεταιριστική και ικανοποιεί τον νόμο της διαγραφής.

      Χρησιμοποιεί: 2. Αξιώματα του Πεάνο. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), B (Θεώρημα της αναδρομής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς και σχέσεις διάταξης.

   4. Πολλαπλασιασμός και δύναμη. Ο πολλαπλασιασμός, που ορίζεται από τις $n \cdot 1 = n$ και $n \cdot S(m) = n \cdot m + n$, είναι αντιμεταθετικός, προσεταιριστικός, επιμεριστικός και ικανοποιεί τον νόμο της διαγραφής, και η δύναμη ικανοποιεί τις $b^n b^m = b^{n + m}$, $(b^n)^m = b^{nm}$ και $(ab)^n = a^n b^n$.

      Χρησιμοποιεί: 3. Αναδρομική πρόσθεση. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), B (Θεώρημα της αναδρομής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς και σχέσεις διάταξης.

   5. Διάταξη, αφαίρεση και διαίρεση. Αν η $a < b$ σημαίνει ότι $a + k = b$ για κάποιον φυσικό $k$, μεταξύ δύο φυσικών ισχύει ακριβώς μία από τις σχέσεις $a < b$, $a = b$ και $b < a$, και η διάταξη είναι μεταβατική και διατηρείται κατά την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό· η διαφορά $a - b$ υπάρχει μόνο όταν $b < a$, και το πηλίκο $\frac{a}{b}$, μόνο όταν ο $b$ διαιρεί τον $a$, και αμφότερα είναι μοναδικά λόγω του νόμου της διαγραφής.

      Χρησιμοποιεί: 2. Αξιώματα του Πεάνο, 3. Αναδρομική πρόσθεση, 4. Πολλαπλασιασμός και δύναμη. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Βασικές πράξεις με φυσικούς αριθμούς και σχέσεις διάταξης.

2. Τμήμα 2 Οι αρχές απόδειξης

   • Να αποδειχθεί ότι η συνήθης επαγωγή, η ισχυρή επαγωγή και η αρχή της καλής διάταξης είναι ισοδύναμες.
   • Να οριστεί αναδρομικά το άθροισμα και να συναχθούν οι ιδιότητές του.
   • Να συναχθούν τύποι με τηλεσκοπικά αθροίσματα, αντί να επαληθεύονται μόνο.
   • Να αθροιστούν οι αριθμητικές και οι γεωμετρικές πρόοδοι.

   6. Επαγωγή από έναν φυσικό. Μια ιδιότητα που ισχύει για το $n_0$ και περνά από κάθε φυσικό $k \geq n_0$ στον $k + 1$ ισχύει για κάθε φυσικό $n \geq n_0$.

      Χρησιμοποιεί: 5. Διάταξη, αφαίρεση και διαίρεση. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή.

   7. Άθροισμα και τηλεσκοπικό άθροισμα. Ορισμένο αναδρομικά, το άθροισμα είναι γραμμικό, διασπάται σε διαδοχικά αθροίσματα και επιτρέπει τη μετατόπιση του δείκτη και την αντιστροφή της σειράς· ένα άθροισμα διαφορών μεταξύ διαδοχικών τιμών ισούται με την τελευταία τιμή μείον την πρώτη: $\sum_{k=1}^{n} (b_{k + 1} - b_k) = b_{n + 1} - b_1$.

      Χρησιμοποιεί: 4. Πολλαπλασιασμός και δύναμη, 6. Επαγωγή από έναν φυσικό. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), B (Θεώρημα της αναδρομής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή.

   8. Πρόοδοι. Το άθροισμα $n$ όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$, και εκείνο μιας γεωμετρικής με πρώτο όρο $a$ και λόγο $r \neq 1$ είναι $a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$.

      Χρησιμοποιεί: 7. Άθροισμα και τηλεσκοπικό άθροισμα. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή.

   9. Ισχυρή επαγωγή. Αν μια ιδιότητα ισχύει για το $1$ και, αν δεχτούμε ότι ισχύει για όλους τους φυσικούς από το $1$ έως το $n$, ισχύει για το $n + 1$, τότε ισχύει για όλους τους φυσικούς.

      Χρησιμοποιεί: 6. Επαγωγή από έναν φυσικό. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή.

   10. Αρχή της καλής διάταξης. Κάθε σύνολο φυσικών με κάποιο στοιχείο έχει ελάχιστο στοιχείο· με το λήμμα ότι κάθε φυσικός διαφορετικός από το $1$ είναι επόμενος κάποιου και με τις ιδιότητες της διάταξης, η καλή διάταξη συνεπάγεται με τη σειρά της την επαγωγή, και οι τρεις αρχές αποδεικνύονται ισοδύναμες.

       Χρησιμοποιεί: 5. Διάταξη, αφαίρεση και διαίρεση. Στηρίζεται σε: C (Ισχυρή επαγωγή). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Αθροίσματα, πρόοδοι και επαγωγή.

3. Τμήμα 3 Η αριθμητική της διαιρετότητας

   • Να αποδειχθούν με την καλή διάταξη η ύπαρξη και η μοναδικότητα του πηλίκου και του υπολοίπου.
   • Να ταξινομηθούν οι ακέραιοι κατά το υπόλοιπό τους και να θεμελιωθούν σε αυτό τα κριτήρια διαιρετότητας.
   • Να αποδειχθούν η απειρία των πρώτων, το λήμμα του Ευκλείδη και η μοναδική ανάλυση σε πρώτους παράγοντες, με τις συνέπειές τους.
   • Να υπολογιστεί ο μέγιστος κοινός διαιρέτης με τον αλγόριθμο του Ευκλείδη, να συναχθεί από αυτόν η ταυτότητα του Μπεζού και να λυθούν οι γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις.
   • Να γίνονται υπολογισμοί με ισοτιμίες, να κρίνεται ποια υπόλοιπα είναι αντιστρέψιμα, να λύνονται γραμμικές ισοτιμίες και συστήματα με μέτρα πρώτα μεταξύ τους, και να αποδειχθεί το μικρό θεώρημα του Φερμά.

   11. Ιδιότητες της διαιρετότητας. Η διαιρετότητα μεταξύ ακεραίων είναι ανακλαστική και μεταβατική, ένας διαιρέτης ενός ακεραίου $a > 0$ βρίσκεται μεταξύ του $-a$ και του $a$, και αν ο $d$ διαιρεί τον $a$ και τον $b$, διαιρεί κάθε συνδυασμό $ax + by$.

       Χρησιμοποιεί: 5. Διάταξη, αφαίρεση και διαίρεση. Στηρίζεται σε: G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διαιρετότητα και διαίρεση με υπόλοιπο.

   12. Ευκλείδεια διαίρεση. Για κάθε ακέραιο $a$ και κάθε φυσικό $b$ υπάρχουν μοναδικό πηλίκο $q$ και μοναδικό υπόλοιπο $r$ τέτοια ώστε $a = bq + r$ και $0 \leq r < b$.

       Στηρίζεται σε: D (Καλή διάταξη), G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διαιρετότητα και διαίρεση με υπόλοιπο.

   13. Υπόλοιπα και κριτήρια. Δύο ακέραιοι αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το $d$ αν και μόνο αν η διαφορά τους είναι πολλαπλάσιο του $d$· από αυτό έπονται το υπόλοιπο ενός αθροίσματος, ενός γινομένου και μιας δύναμης, και τα κριτήρια του $3$, του $9$ και του $11$.

       Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), E (Ευκλείδεια διαίρεση), F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Διαιρετότητα και διαίρεση με υπόλοιπο.

   14. Πρώτος διαιρέτης και απειρία. Κάθε φυσικός $n > 1$ έχει πρώτο διαιρέτη, και αν ο $n$ είναι σύνθετος, ο μικρότερος πρώτος διαιρέτης του $p$ ικανοποιεί την $p^2 \leq n$· από αυτό έπεται ότι καμία πεπερασμένη λίστα δεν περιέχει όλους τους πρώτους αριθμούς.

       Χρησιμοποιεί: 5. Διάταξη, αφαίρεση και διαίρεση, 11. Ιδιότητες της διαιρετότητας. Στηρίζεται σε: D (Καλή διάταξη), F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πρώτοι αριθμοί και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

   15. Λήμμα του Ευκλείδη. Αν ένας πρώτος διαιρεί το γινόμενο $ab$, διαιρεί τον $a$ ή διαιρεί τον $b$· και αν διαιρεί ένα γινόμενο πολλών παραγόντων, διαιρεί κάποιον από αυτούς.

       Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), D (Καλή διάταξη), E (Ευκλείδεια διαίρεση), F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πρώτοι αριθμοί και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

   16. Θεμελιώδες θεώρημα. Κάθε φυσικός $n > 1$ είναι γινόμενο πρώτων αριθμών, και η ανάλυση αυτή είναι μοναδική αν δεν ληφθεί υπόψη η σειρά των παραγόντων.

       Χρησιμοποιεί: 4. Πολλαπλασιασμός και δύναμη, 15. Λήμμα του Ευκλείδη. Στηρίζεται σε: D (Καλή διάταξη). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πρώτοι αριθμοί και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

   17. Διαιρέτες και άρρητες ρίζες. Αν $n = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$, οι διαιρέτες του είναι οι αριθμοί $p_1^{f_1} \cdots p_k^{f_k}$ με $0 \leq f_i \leq e_i$, και είναι $(e_1 + 1) \cdots (e_k + 1)$ το πλήθος· ένας φυσικός $n > 1$ είναι τέλεια δύναμη τάξης $k$ αν και μόνο αν όλοι οι εκθέτες της ανάλυσής του είναι πολλαπλάσια του $k$, και αν δεν είναι, δεν υπάρχουν φυσικοί $a$ και $b$ με $a^k = n b^k$, δηλαδή η ρίζα του τάξης $k$ είναι άρρητη.

       Χρησιμοποιεί: 15. Λήμμα του Ευκλείδη, 16. Θεμελιώδες θεώρημα. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Πρώτοι αριθμοί και το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής.

   18. Αλγόριθμος του Ευκλείδη. Αν $a = bq + r$, τα ζεύγη $a, b$ και $b, r$ έχουν τους ίδιους κοινούς διαιρέτες· επομένως, ο $\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, b)$ είναι το τελευταίο μη μηδενικό υπόλοιπο των διαδοχικών διαιρέσεων.

       Στηρίζεται σε: D (Καλή διάταξη), E (Ευκλείδεια διαίρεση), F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

   19. Ταυτότητα του Μπεζού. Υπάρχουν ακέραιοι $x$ και $y$ τέτοιοι ώστε $ax + by = \operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, b)$, και ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ο μικρότερος φυσικός που γράφεται με αυτή τη μορφή.

       Χρησιμοποιεί: 18. Αλγόριθμος του Ευκλείδη. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), F (Γραμμικοί συνδυασμοί), G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

   20. Γινόμενο του ΜΚΔ με το ΕΚΠ. Ισχύει $\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, b) \cdot \operatorname{\text{ΕΚΠ}}(a, b) = ab$, και κάθε κοινό πολλαπλάσιο του $a$ και του $b$ είναι πολλαπλάσιο του ελάχιστου κοινού πολλαπλασίου τους.

       Χρησιμοποιεί: 4. Πολλαπλασιασμός και δύναμη, 16. Θεμελιώδες θεώρημα, 17. Διαιρέτες και άρρητες ρίζες. Στηρίζεται σε: D (Καλή διάταξη), E (Ευκλείδεια διαίρεση), F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

   21. Διοφαντικές εξισώσεις. Η εξίσωση $ax + by = c$ έχει ακέραιες λύσεις αν και μόνο αν ο $d = \operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, b)$ διαιρεί τον $c$, και τότε όλες είναι $x = x_0 + \frac{b}{d} t$ και $y = y_0 - \frac{a}{d} t$, με $t$ ακέραιο.

       Χρησιμοποιεί: 19. Ταυτότητα του Μπεζού, 20. Γινόμενο του ΜΚΔ με το ΕΚΠ. Στηρίζεται σε: F (Γραμμικοί συνδυασμοί), G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Μέγιστος κοινός διαιρέτης και ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

   22. Ισοτιμίες και υπόλοιπα. Δύο ακέραιοι είναι ισότιμοι κατά μέτρο $n$ αν και μόνο αν αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο όταν διαιρεθούν με το $n$· η ισοτιμία είναι σχέση ισοδυναμίας συμβατή με την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, και οι $n$ κλάσεις της, εκείνες των υπολοίπων $0, 1, \ldots, n - 1$, σχηματίζουν το $\mathbb{Z}_n$.

       Χρησιμοποιεί: 1. Ισοδυναμίες και διαμερίσεις, 13. Υπόλοιπα και κριτήρια. Στηρίζεται σε: E (Ευκλείδεια διαίρεση), F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοτιμίες και αριθμητική υπολοίπων.

   23. Αντιστρέψιμα υπόλοιπα. Ένας ακέραιος $a$ έχει αντίστροφο κατά μέτρο $n$ αν και μόνο αν $\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, n) = 1$, και τότε αυτός είναι μοναδικός κατά μέτρο $n$· η ισοτιμία $ax \equiv b \pmod{n}$ έχει λύση αν και μόνο αν ο $d = \operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, n)$ διαιρεί τον $b$, και τότε έχει $d$ λύσεις κατά μέτρο $n$.

       Χρησιμοποιεί: 22. Ισοτιμίες και υπόλοιπα, 19. Ταυτότητα του Μπεζού, 21. Διοφαντικές εξισώσεις. Στηρίζεται σε: F (Γραμμικοί συνδυασμοί). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοτιμίες και αριθμητική υπολοίπων.

   24. Κινεζικό θεώρημα υπολοίπων. Αν οι φυσικοί $m$ και $n$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, το σύστημα που σχηματίζουν οι $x \equiv a \pmod{m}$ και $x \equiv b \pmod{n}$ έχει λύση, και αυτή είναι μοναδική κατά μέτρο $mn$.

       Χρησιμοποιεί: 22. Ισοτιμίες και υπόλοιπα, 19. Ταυτότητα του Μπεζού, 20. Γινόμενο του ΜΚΔ με το ΕΚΠ. Στηρίζεται σε: G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοτιμίες και αριθμητική υπολοίπων.

   25. Μικρό θεώρημα του Φερμά. Αν ο $p$ είναι πρώτος και δεν διαιρεί τον ακέραιο $a$, τότε $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$· και για κάθε ακέραιο $a$, $a^p \equiv a \pmod{p}$.

       Χρησιμοποιεί: 22. Ισοτιμίες και υπόλοιπα, 15. Λήμμα του Ευκλείδη, 23. Αντιστρέψιμα υπόλοιπα. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Ισοτιμίες και αριθμητική υπολοίπων.

4. Τμήμα 4 Η γραφή και η απαρίθμηση

   • Να αποδειχθεί ότι κάθε φυσικός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο σε οποιαδήποτε βάση.
   • Να αιτιολογηθούν σε κάθε βάση η πρόσθεση κατά στήλες και τα κριτήρια διαιρετότητας.
   • Να γίνεται απαρίθμηση με την αρχή του αθροίσματος και την πολλαπλασιαστική αρχή, και να προκύψουν από αυτές οι διωνυμικοί συντελεστές και ο κανόνας του Πασκάλ.
   • Να αποδειχθεί το διωνυμικό θεώρημα, που συνενώνει την επαγωγή, τον συμβολισμό αθροίσματος και την απαρίθμηση.

   26. Θεσιακή αναπαράσταση. Για κάθε βάση $b \geq 2$, κάθε φυσικός γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως $a_k b^k + \cdots + a_1 b + a_0$, με ψηφία από $0$ έως $b - 1$ και $a_k \neq 0$.

       Στηρίζεται σε: C (Ισχυρή επαγωγή), D (Καλή διάταξη), E (Ευκλείδεια διαίρεση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεσιακά συστήματα αρίθμησης.

   27. Υπολογισμός και κριτήρια σε κάθε βάση. Η πρόσθεση κατά στήλες δίνει την αναπαράσταση του αθροίσματος, και στη βάση $b$ ένας αριθμός αφήνει το ίδιο υπόλοιπο με το άθροισμα των ψηφίων του όταν διαιρεθεί με το $b - 1$, και με το εναλλάσσον άθροισμά του όταν διαιρεθεί με το $b + 1$.

       Χρησιμοποιεί: 7. Άθροισμα και τηλεσκοπικό άθροισμα, 13. Υπόλοιπα και κριτήρια, 26. Θεσιακή αναπαράσταση. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), E (Ευκλείδεια διαίρεση). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Θεσιακά συστήματα αρίθμησης.

   28. Αρχές απαρίθμησης. Η ένωση δύο συνόλων χωρίς κοινά στοιχεία, με $m$ και με $n$ στοιχεία, έχει $m + n$ στοιχεία, και μια επιλογή σε δύο στάδια, με $m$ και με $n$ τρόπους, γίνεται με $mn$ τρόπους.

       Χρησιμοποιεί: 3. Αναδρομική πρόσθεση, 4. Πολλαπλασιασμός και δύναμη, 5. Διάταξη, αφαίρεση και διαίρεση. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), H (Πλήθος στοιχείων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στοιχειώδης συνδυαστική και το διώνυμο του Νεύτωνα.

   29. Διωνυμικοί συντελεστές και κανόνας του Πασκάλ. Ένα σύνολο $n$ στοιχείων έχει $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!}$ υποσύνολα $k$ στοιχείων· ισχύει $\binom{n + 1}{k} = \binom{n}{k - 1} + \binom{n}{k}$, οπότε οι συντελεστές σχηματίζουν το τρίγωνο του Πασκάλ, και η γραμμή $n$ έχει άθροισμα $2^n$.

       Χρησιμοποιεί: 28. Αρχές απαρίθμησης. Στηρίζεται σε: B (Θεώρημα της αναδρομής), H (Πλήθος στοιχείων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στοιχειώδης συνδυαστική και το διώνυμο του Νεύτωνα.

   30. Διωνυμικό θεώρημα. Για όλους τους αριθμούς $x$ και $y$, φυσικούς ή, προλαμβάνοντας την επόμενη ενότητα, πραγματικούς, και για κάθε φυσικό $n$, ισχύει $(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n - k} y^k$.

       Χρησιμοποιεί: 7. Άθροισμα και τηλεσκοπικό άθροισμα, 29. Διωνυμικοί συντελεστές και κανόνας του Πασκάλ. Στηρίζεται σε: A (Αρχή της μαθηματικής επαγωγής), G (Αριθμοί που χρησιμοποιούνται εκ των προτέρων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Στοιχειώδης συνδυαστική και το διώνυμο του Νεύτωνα.

Προς τα σύνολα αριθμών. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου οι φυσικοί παύουν να αρκούν: η αφαίρεση και η διαίρεση υπάρχουν μόνο σε ορισμένες περιπτώσεις, και η εξίσωση $x^2 = n$ δεν έχει ρητή λύση όταν ο $n$ δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Η επόμενη ενότητα διευρύνει τους φυσικούς για να το διορθώσει.