Τελικός απολογισμός της Μαθηματικής λογικής I

Τι έθεσε ως σκοπό ο κύκλος μαθημάτων

Όλοι οι κύκλοι μαθημάτων των μαθηματικών απαιτούν να αποδεικνύει κανείς, και όλοι οι κύκλοι της φιλοσοφίας απαιτούν να επιχειρηματολογεί· ωστόσο, κανένας τους δεν κάνει αντικείμενό του τον ίδιο τον συλλογισμό. Ο κύκλος γεννήθηκε λοιπόν με έναν γενικό σκοπό: να κατασκευάσει την πρώτη πλήρη μαθηματική θεωρία που έχει ως αντικείμενο τον συλλογισμό, με τα τέσσερα κομμάτια της σε κοινή θέα: μια γλώσσα, της οποίας οι τύποι αναγνωρίζονται χωρίς αμφισημία· έναν λογισμό, που παράγει παραγωγές χωρίς να λαμβάνει υπόψη τη σημασία των συμβόλων· μια σημασία, που αποδίδει σε κάθε τύπο την τιμή του σε κάθε αποτίμηση· και την απόδειξη ότι ο λογισμός και η σημασία συμπίπτουν, δηλαδή ότι $\Gamma \vdash \varphi \Leftrightarrow \Gamma \models \varphi$ για κάθε σύνολο τύπων $\Gamma$ και κάθε τύπο $\varphi$. Το μάθημα για το πρόγραμμα σπουδών ανέπτυξε αυτόν τον σκοπό σε επτά γενικούς μαθησιακούς στόχους, που καλό είναι να έχουμε μπροστά μας με την αρίθμηση με την οποία τους αναφέρει η εικόνα:

1. Να διακρίνει τη γλώσσα-αντικείμενο από τη μεταγλώσσα, και να αποφασίζει με τους κανόνες σχηματισμού αν μια συμβολοσειρά είναι τύπος.
2. Να τυποποιεί αποφάνσεις και επιχειρήματα της φυσικής γλώσσας, επισημαίνοντας τι διατηρεί και τι χάνει η τυποποίηση.
3. Να κατασκευάζει παραγωγές στο σύστημα του κύκλου μαθημάτων (τα αξιώματα του Λουκασέβιτς, το modus ponens και την αντικατάσταση της διπλής άρνησης), συνδυάζοντας αξιώματα, πρωταρχικούς κανόνες και παράγωγους κανόνες.
4. Να αποδεικνύει μεταθεωρήματα με επαγωγή στους φυσικούς αριθμούς, στην πολυπλοκότητα των τύπων και στο μήκος των παραγωγών.
5. Να αποφασίζει για την εγκυρότητα, την ικανοποιησιμότητα, τη σημασιολογική συνέπεια και τη σημασιολογική ισοδυναμία, με πίνακες αληθείας και με ισοδυναμίες.
6. Να μετασχηματίζει τύπους σε κανονικές μορφές και να εκφράζει με αυτές συναρτήσεις αληθείας και κυκλώματα.
7. Να εξηγεί και να εφαρμόζει την ορθότητα, την πληρότητα και τη συμπάγεια, και να αποφασίζει τη μη ικανοποιησιμότητα με επίλυση.

Κάθε μάθημα του κύκλου δήλωσε επιπλέον τους δικούς του ειδικούς στόχους. Τα μαθήματα δεν λένε σε ποιον γενικό στόχο υπηρετεί ο καθένας· η αντιστοιχία αυτή είναι μια ανάγνωση από έξω, με την ίδια μέθοδο όπως στους άλλους κύκλους του ιστότοπου. Κάθε ειδικός στόχος αντιστοιχίζεται σε έναν κύριο γενικό στόχο και, αν τους αγγίζει, σε άλλους δευτερεύοντες· ο καθένας μετρά ολόκληρος στον κύριο και κατά το ήμισυ σε κάθε δευτερεύοντα, και το μάθημα συνδέεται ως κύριο με τον γενικό στόχο που συγκεντρώνει το μεγαλύτερο βάρος και ως δευτερεύον με τους υπόλοιπους που λαμβάνουν κάποιο. Αν δύο στόχοι ισοβαθμούν, αποφασίζει ο στόχος της ενότητας και, αν κανένας δεν είναι, ο μικρότερος σε αριθμό· έτσι, το μάθημα για την επαγωγή, του οποίου και οι τέσσερις ειδικοί στόχοι είναι αποδείξεις με επαγωγή, συνδέεται με τον στόχο 4, αν και ανήκει στην ενότητα της γλώσσας. Οι εισαγωγές ακολουθούν τον ίδιο κανόνα. Οι συνθέσεις, αντιθέτως, ακολουθούν δικό τους κριτήριο: κύριος στόχος τους είναι ο στόχος της ενότητάς τους, επειδή η αλυσίδα παραγωγής τους, η τελική τους αξιολόγηση και οι περισσότερες προκλήσεις τους συγκεντρώνουν όσα δίδαξε η ενότητα, και δευτερεύοντες είναι οι άλλοι στόχοι που ασκούν οι ειδικοί τους στόχοι και οι έξι προκλήσεις τους. Αν αυτό ισχύει, ολόκληρος ο κύκλος παίρνει τη μορφή μιας ραχοκοκαλιάς: το κεφάλι είναι ο γενικός σκοπός· η στήλη, η σειρά των ενοτήτων, καθεμιά με το τμήμα της· κάθε μάθημα είναι ένας κόμβος αυτού του τμήματος, συνδεδεμένος με τον κύριο στόχο του, και οι επτά στόχοι αιωρούνται γύρω από τη στήλη, στηριγμένοι από τα μαθήματα που τους τροφοδοτούν.