Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Στροφή αξόνων και η γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού

Περίληψη

Το μάθημα αυτό ολοκληρώνει τη μελέτη των κωνικών με την περίπτωση που είχε μείνει εκκρεμής: την εξίσωση δευτέρου βαθμού που περιέχει όρο με xyxy. Συνάγει, μέσω των πολικών συντεταγμένων και των τύπων της διαφοράς, πώς αλλάζουν οι συντεταγμένες ενός σημείου όταν οι άξονες στρέφονται κατά γωνία θ\theta, και αποδεικνύει ότι η στροφή διατηρεί τις αποστάσεις, ώστε δεν αλλοιώνει τη μορφή κανενός σχήματος. Υπολογίζει τους συντελεστές της γενικής εξίσωσης μετά τη στροφή, αποδεικνύει ότι η γωνία που ικανοποιεί την cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B} απαλείφει τον όρο με xyxy και ότι το άθροισμα A+CA + C και η διακρίνουσα B2−4ACB^2 - 4AC δεν αλλάζουν με τη στροφή. Από αυτό προκύπτει η ταξινόμηση όλων των εξισώσεων δευτέρου βαθμού με το πρόσημο της διακρίνουσας: ελλείψεις, παραβολές και υπερβολές, με τις εκφυλισμένες περιπτώσεις τους. Τελειώνει αναγνωρίζοντας ως στραμμένες κωνικές την υπερβολή xy=1xy = 1, μια έλλειψη και μια παραβολή με πλάγιους άξονες.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να συνάγει τους τύπους που συνδέουν τις συντεταγμένες ενός σημείου σε δύο καρτεσιανά συστήματα που διαφέρουν κατά μια στροφή, και να αποδεικνύει ότι η στροφή διατηρεί τις αποστάσεις.
  2. Να υπολογίζει τους συντελεστές μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού μετά από μια στροφή και να επιλέγει τη γωνία που απαλείφει τον όρο με xyxy.
  3. Να αποδεικνύει ότι τα A+CA + C και B2−4ACB^2 - 4AC είναι αναλλοίωτες ποσότητες της στροφής και να τα χρησιμοποιεί για να βρίσκει την ανηγμένη μορφή χωρίς αντικατάσταση.
  4. Να ταξινομεί μια γενική εξίσωση δευτέρου βαθμού με το πρόσημο της διακρίνουσάς της, να βρίσκει τα στοιχεία της στις στραμμένες συντεταγμένες και να τα εκφράζει στις αρχικές συντεταγμένες.

Η στροφή των αξόνων

Στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τις κωνικές τομές αποδείχθηκε ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού χωρίς όρο με xyxy παριστάνει μια παραβολή, μια έλλειψη, μια υπερβολή ή μία από τις εκφυλισμένες περιπτώσεις τους, με άξονες συμμετρίας παράλληλους προς τους άξονες συντεταγμένων. Ωστόσο, μια έλλειψη της οποίας ο μεγάλος άξονας βρίσκεται πάνω στην ευθεία y=xy = x έχει επίσης εξίσωση δευτέρου βαθμού, και σε αυτήν εμφανίζεται όρος με xyxy. Για να την αναγνωρίσουμε, συμφέρει να επιλέξουμε ένα άλλο σύστημα αξόνων, στραμμένο ως προς το πρώτο, στο οποίο η καμπύλη ανακτά την κανονική της μορφή. Η παράγραφος αυτή μελετά πώς αλλάζουν οι συντεταγμένες ενός σημείου όταν στρέφονται οι άξονες.

Έστω ένα καρτεσιανό σύστημα με άξονες xx και yy, όπως εκείνα του μαθήματος του πρώτου κύκλου μαθημάτων για την εξίσωση της ευθείας και τα καρτεσιανά συστήματα, και έστω θ\theta ένας πραγματικός αριθμός. Το σύστημα στραμμένο κατά γωνία θ\theta είναι το καρτεσιανό σύστημα με την ίδια αρχή και την ίδια μονάδα μήκους, του οποίου ο θετικός ημιάξονας των τετμημένων είναι η ημιευθεία που ξεκινά από την αρχή με γωνία θ\theta σε κανονική θέση, και του οποίου ο θετικός ημιάξονας των τεταγμένων είναι η ημιευθεία γωνίας θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. Οι νέες συντεταγμένες γράφονται με κεφαλαία: ένα και το αυτό σημείο PP έχει συντεταγμένες (x,y)(x, y) στο αρχικό σύστημα και (X,Y)(X, Y) στο στραμμένο. Επειδή τα δύο συστήματα έχουν τον ίδιο προσανατολισμό, στο στραμμένο ορίζονται επίσης πολικές συντεταγμένες, με τον ίδιο πόλο και με τον θετικό ημιάξονα του XX ως πολικό άξονα.

ΘεώρημαΟι τύποι στροφής

Αν ένα σημείο έχει συντεταγμένες (x,y)(x, y) σε ένα καρτεσιανό σύστημα και συντεταγμένες (X,Y)(X, Y) στο σύστημα που είναι στραμμένο κατά γωνία θ\theta, τότε οι νέες συντεταγμένες του προκύπτουν από τις αρχικές, και οι αρχικές από τις νέες, με τους εξής τύπους.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

Η ιδέα είναι ότι, σε πολικές συντεταγμένες, η στροφή των αξόνων δεν αλλάζει την απόσταση από τον πόλο και απλώς αφαιρεί θ\theta από την πολική γωνία· οι τύποι αθροίσματος και διαφοράς, που αποδεικνύονται στο μάθημα για τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς, κάνουν τα υπόλοιπα.

Απόδειξη

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Αν το PP είναι η αρχή, οι συντεταγμένες του είναι μηδενικές και στα δύο συστήματα και οι τύποι ισχύουν. Αν δεν είναι, παίρνουμε μια πολική αναπαράσταση (r,φ)(r, \varphi) με r>0r > 0 ως προς τον αρχικό πολικό άξονα, όπως στο μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    Στο στραμμένο σύστημα ο πόλος είναι ο ίδιος, οπότε η απόσταση του PP από τον πόλο εξακολουθεί να είναι rr. Έστω ψ\psi μια πολική γωνία του PP στο στραμμένο σύστημα. Στον μοναδιαίο κύκλο, ο νέος πολικός άξονας διέρχεται από το P(θ)P(\theta)· αν διανύσουμε από εκεί ένα τόξο ψ\psi, φτάνουμε, λόγω της ιδιότητας της διαδοχής των διαδρομών του αξιώματος της διαδρομής από το μάθημα για τις γωνίες και τη μέτρησή τους, στο P(θ+ψ)P(\theta + \psi), που πρέπει να είναι το σημείο P(φ)P(\varphi) της ημιευθείας που πηγαίνει από τον πόλο στο PP. Από το λήμμα των γωνιών με κοινή τελική πλευρά, οι θ+ψ\theta + \psi και φ\varphi διαφέρουν κατά ένα πολλαπλάσιο του 2π2\pi, οπότε μπορούμε να πάρουμε ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    Αναπτύσσουμε το συνημίτονο της διαφοράς και αναγνωρίζουμε σε κάθε όρο τις αρχικές συντεταγμένες.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    Με τον ίδιο τρόπο, με το ημίτονο της διαφοράς.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Αντίστροφα, η αρχική γωνία είναι το άθροισμα φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta· οι τύποι του αθροίσματος δίνουν τις αρχικές συντεταγμένες συναρτήσει των νέων.

Τα δύο ζεύγη τύπων έχουν την ίδια δομή: το δεύτερο προκύπτει από το πρώτο αν αντικαταστήσουμε το θ\theta με το −θ-\theta, επειδή το αρχικό σύστημα είναι εκείνο που προκύπτει αν στραφεί το νέο κατά γωνία −θ-\theta. Για παράδειγμα, με θ=π4\theta = \frac{\pi}{4}, το σημείο (1,1)(1, 1) έχει νέες συντεταγμένες X=2X = \sqrt{2} και Y=0Y = 0: βρίσκεται πάνω στον νέο άξονα των τετμημένων, σε απόσταση 2\sqrt{2} από την αρχή. Δεν πρέπει να συγχέεται η στροφή των αξόνων με τη στροφή των σημείων: η στροφή των αξόνων κατά γωνία θ\theta αφήνει τα σημεία ακίνητα και αλλάζει τα ονόματά τους, και το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με το να μείνουν ακίνητοι οι άξονες και να στραφεί ολόκληρο το επίπεδο κατά γωνία −θ-\theta.

ΛήμμαΗ στροφή διατηρεί τις αποστάσεις

Η απόσταση δύο σημείων, υπολογισμένη με τις συντεταγμένες τους στο στραμμένο σύστημα, συμπίπτει με εκείνη που υπολογίζεται με τις αρχικές συντεταγμένες τους.

Το γεγονός παρατηρήθηκε ήδη στο μάθημα για τις πολικές συντεταγμένες: η απόσταση δύο σημείων εξαρτάται από τις πολικές τους γωνίες μόνο μέσω της διαφοράς τους, και η στροφή του επιπέδου συνίσταται στο να προστεθεί μια σταθερά σε αυτές τις γωνίες. Εδώ ελέγχεται απευθείας σε καρτεσιανές συντεταγμένες, με τους τύπους στροφής και τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα του μαθήματος για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς.

Απόδειξη

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Έστω P1P_1 και P2P_2 δύο σημεία, με συντεταγμένες (x1,y1)(x_1, y_1) και (x2,y2)(x_2, y_2) στο αρχικό σύστημα και (X1,Y1)(X_1, Y_1) και (X2,Y2)(X_2, Y_2) στο στραμμένο. Αφαιρούμε τους τύπους στροφής γραμμένους για κάθε σημείο, με u=x1−x2u = x_1 - x_2 και v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    Υψώνουμε στο τετράγωνο και προσθέτουμε. Τα διπλά γινόμενα, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta και −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, απαλείφονται.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    Από τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, κάθε παρένθεση ισούται με 11, και μένει το τετράγωνο της αρχικής απόστασης.

Το λήμμα έχει μια συνέπεια που δικαιολογεί όλα όσα ακολουθούν. Η παραβολή, η έλλειψη και η υπερβολή ορίστηκαν σε παλαιότερα μαθήματα μέσω ιδιοτήτων των αποστάσεων από εστίες και διευθετούσες· επειδή η στροφή διατηρεί τις αποστάσεις, μια καμπύλη που στο στραμμένο σύστημα είναι έλλειψη με ημιάξονες aa και bb είναι, ιδωμένη στο αρχικό σύστημα, έλλειψη με τους ίδιους ημιάξονες, έστω κι αν οι άξονες συμμετρίας της είναι πλάγιοι. Το ίδιο ισχύει για τις άλλες κωνικές, για τις εστίες, τις κορυφές και τις ασύμπτωτές τους, που μεταφέρονται από το ένα σύστημα στο άλλο με τους τύπους στροφής.