Παράγωγοι: εισαγωγή

Πριν ξεκινήσεις την ενότητα, μέτρησε το σημείο εκκίνησής σου. Είναι μια σύντομη αυτοαξιολόγηση: δεν βαθμολογείται και το αποτέλεσμα αποθηκεύεται μόνο στον περιηγητή σου.

1. Ερώτηση 1Η συνάρτηση $f(x) = \frac{1}{2x + 1}$ ορίζεται στο $0$. Με βάση τον ορισμό της παραγώγου, ποια είναι η εφαπτομένη ευθεία της γραφικής της παράστασης στο σημείο $(0, 1)$;

   $y = 1 - 2x$

   $y = 1 + \frac{x}{2}$

   $y = -2x$

   $y = 1 + 2x$

2. Ερώτηση 2Να υπολογιστεί η παράγωγος της $f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1}$ στο $3$.

   $-\frac{1}{2}$

   $6$

   $\frac{1}{2}$

   $-1$

3. Ερώτηση 3Να υπολογιστεί η παράγωγος της $f(x) = e^x \cos x$ στο $\frac{\pi}{4}$.

   $0$

   $\sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}}$

   $-\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

   $\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}}$

4. Ερώτηση 4Να υπολογιστεί η παράγωγος της $f(x) = \cos^2(2x)$ στο $\frac{\pi}{8}$.

   $-2$

   $-1$

   $2$

   $\sqrt{2}$

5. Ερώτηση 5Σε ποιο από αυτά τα διαστήματα εξασφαλίζει το θεώρημα του Μπολτσάνο ότι η εξίσωση $x^3 + 2x = 5$ έχει ρίζα;

   $\icc{1}{2}$

   $\icc{0}{1}$

   $\icc{2}{3}$

   Σε κανένα, επειδή το θεώρημα αφορά μόνο εξισώσεις της μορφής $F(x) = 0$.

6. Ερώτηση 6Η συνάρτηση $f(x) = x^5 + x$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$. Πόσο ισούται η $\left(f^{-1}\right)'(2)$;

   $\frac{1}{6}$

   $\frac{1}{81}$

   $6$

   $81$

7. Ερώτηση 7Να υπολογιστεί η παράγωγος της $F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x$ στο $1$.

   $2 + 2\ln 2$

   $2$

   $2\ln 2$

   $1 + \ln 2$

8. Ερώτηση 8Να υπολογιστεί η παράγωγος τάξης $5$ της $f(x) = x e^{2x}$ στο $0$.

   $80$

   $16$

   $0$

   $160$

9. Ερώτηση 9Ένα ορθογώνιο διατηρεί το εμβαδόν του ίσο με $6$ τετραγωνικά εκατοστά, ενώ η βάση του αυξάνεται με ρυθμό $3$ εκατοστά ανά δευτερόλεπτο. Με ποιον ρυθμό μεταβάλλεται το ύψος του τη στιγμή που η βάση έχει μήκος $2$ εκατοστά;

   Μειώνεται με ρυθμό $\frac{9}{2}$ εκατοστά ανά δευτερόλεπτο.

   Δεν μεταβάλλεται: το ύψος ισούται με $3$ και η παράγωγός του είναι $0$.

   Αυξάνεται με ρυθμό $\frac{9}{2}$ εκατοστά ανά δευτερόλεπτο.

   Μειώνεται με ρυθμό $\frac{3}{2}$ εκατοστά ανά δευτερόλεπτο.

10. Ερώτηση 10Από προηγούμενες ενότητεςΝα υπολογιστεί το $\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h}$.

    $0$

    $1$

    $-\frac{1}{2}$

    Δεν υπάρχει, επειδή το πηλίκο είναι της μορφής $\frac{0}{0}$.

11. Ερώτηση 11Από προηγούμενες ενότητεςΝα υπολογιστεί το $\lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h}$.

    $-2$

    $1$

    $2$

    $0$

12. Ερώτηση 12Από προηγούμενες ενότητεςΠοια από αυτές τις συναρτήσεις είναι $\operatorname{o}(h)$ όταν $h \to 0$;

    $h \sin h$

    $\sin h$

    $\sqrt{\abs{h}}$

    $2h + h^2$

13. Ερώτηση 13Από προηγούμενες ενότητεςΑν $f(x) = 2x^3 + 3$, πόσο ισούται το $f^{-1}(19)$;

    $2$

    $8$

    $\frac{1}{13721}$

    $13721$

14. Ερώτηση 14Από προηγούμενες ενότητεςΠόσο ισούται το $\cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right)$;

    $\frac{4}{5}$

    $-\frac{4}{5}$

    $\frac{16}{25}$

    $-\frac{3}{5}$