Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί του επιπέδου

Οι πίνακες ως μετασχηματισμοί

Στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τα διανύσματα στο επίπεδο το διάνυσμα ορίστηκε ως διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών, και στο μάθημα για τους πίνακες και τις πράξεις με πίνακες ορίστηκε το γινόμενο ενός πίνακα με έναν άλλον, γραμμή επί στήλη. Αν το ζεύγος $(x, y)$ γραφτεί ως στήλη, δηλαδή ως πίνακας με δύο γραμμές και μία στήλη, ένας πίνακας $A$ με δύο γραμμές και δύο στήλες μπορεί να το πολλαπλασιάσει, και το αποτέλεσμα είναι μια άλλη στήλη δύο στοιχείων, δηλαδή ένα άλλο διάνυσμα. Έτσι κάθε πίνακας μετακινεί τα σημεία του επιπέδου, και η άλγεβρα των πινάκων αποκτά γεωμετρικό νόημα. Στη συνέχεια ταυτίζουμε το ζεύγος $(x, y)$ με τη στήλη με στοιχεία $x$ και $y$, και ονομάζουμε $\vec{e}_1 = (1, 0)$ και $\vec{e}_2 = (0, 1)$ βασικά διανύσματα, ώστε κάθε διάνυσμα να γράφεται $\vec{v} = x\vec{e}_1 + y\vec{e}_2$.

Μετασχηματισμός του επιπέδου είναι μια συνάρτηση που αντιστοιχίζει σε κάθε διάνυσμα του επιπέδου ένα άλλο διάνυσμα του επιπέδου. Αν $A$ είναι πίνακας με δύο γραμμές και δύο στήλες, ο μετασχηματισμός με πίνακα $A$ είναι εκείνος που αντιστοιχίζει σε κάθε $\vec{v}$ το γινόμενο $A\vec{v}$.

Για παράδειγμα, ο πίνακας με στοιχεία $2$, $0$, $0$ και $3$ στέλνει το σημείο $(x, y)$ στο σημείο $(2x, 3y)$: τεντώνει το επίπεδο στο διπλάσιο κατά την οριζόντια διεύθυνση και στο τριπλάσιο κατά την κατακόρυφη. Οι μετασχηματισμοί με πίνακα έχουν μια ιδιότητα που τους ξεχωρίζει από τις υπόλοιπες συναρτήσεις του επιπέδου και που εκφράζεται με τον ορισμό που ακολουθεί.

Ένας μετασχηματισμός $T$ του επιπέδου είναι γραμμικός αν διατηρεί το άθροισμα διανυσμάτων και τον πολλαπλασιασμό διανύσματος με αριθμό: για όλα τα $\vec{u}$ και $\vec{v}$ του επιπέδου και για κάθε πραγματικό αριθμό $t$ ισχύουν οι δύο ισότητες που ακολουθούν.

Το θεώρημα ανάγει τη μελέτη ενός γραμμικού μετασχηματισμού στη μελέτη δύο διανυσμάτων: για να γνωρίζουμε τον πίνακα αρκεί να ξέρουμε πού πηγαίνουν τα $\vec{e}_1$ και $\vec{e}_2$, και για να ξέρουμε τι κάνει ένας πίνακας αρκεί να διαβάσουμε τις στήλες του. Από τη γραμμικότητα προκύπτουν επιπλέον αρκετές γεωμετρικές ιδιότητες. Η αρχή των αξόνων μένει σταθερή, αφού $A\vec{0} = \vec{0}$· γι’ αυτό οι παράλληλες μεταφορές, που μετακινούν την αρχή, δεν είναι γραμμικές. Η ευθεία με διανυσματική εξίσωση $\vec{p} + t\vec{d}$, που μελετήθηκε στο μάθημα του πρώτου κύκλου μαθημάτων για τα διανύσματα, πηγαίνει στο σύνολο των σημείων $A\vec{p} + tA\vec{d}$, που είναι ευθεία αν το $A\vec{d}$ δεν είναι μηδενικό και ένα μόνο σημείο αν είναι. Ομοίως, ένα ευθύγραμμο τμήμα πηγαίνει σε ευθύγραμμο τμήμα ή σε σημείο, παράλληλες ευθείες πηγαίνουν σε παράλληλες ευθείες ή σε σημεία, και το τετράγωνο με κορυφές $\vec{0}$, $\vec{e}_1$, $\vec{e}_1 + \vec{e}_2$ και $\vec{e}_2$, που θα το λέμε μοναδιαίο τετράγωνο, πηγαίνει στο παραλληλόγραμμο, ίσως εκφυλισμένο, που σχηματίζουν οι δύο στήλες του πίνακα.