Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις

Οι μιγαδικοί αριθμοί ως ζεύγη πραγματικών αριθμών

Στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών εισαγάγαμε τη φανταστική μονάδα $i$ ως έναν νέο αριθμό με τετράγωνο $-1$, και κάναμε πράξεις με τις παραστάσεις $a + bi$ με τους ίδιους κανόνες όπως με τους πραγματικούς. Αυτός ο τρόπος αφήνει ανοιχτά δύο ερωτήματα: αν υπάρχει πράγματι ένα αντικείμενο με αυτή την ιδιότητα, και αν οι κανόνες των πραγματικών μπορούν να εφαρμοστούν σε αυτό χωρίς αντίφαση. Η απάντηση, που δημοσίευσε ο Χάμιλτον το 1837, συνίσταται στο να κατασκευαστούν οι μιγαδικοί από τους πραγματικούς, χωρίς να αξιωθεί τίποτε νέο: ένας μιγαδικός αριθμός είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος πραγματικών αριθμών.

Ορισμός (μιγαδικός αριθμός). Μιγαδικός αριθμός είναι ένα διατεταγμένο ζεύγος $(a, b)$ πραγματικών αριθμών· το σύνολό τους συμβολίζεται με $\mathbb{C}$. Δύο μιγαδικοί είναι ίσοι όταν συμπίπτουν οι πρώτες συνιστώσες τους και οι δεύτερες συνιστώσες τους. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ορίζονται με τους εξής τύπους.

Η πρόσθεση γίνεται κατά συνιστώσες. Το γινόμενο, αντίθετα, δεν είναι το γινόμενο κατά συνιστώσες, που θα έδινε $(ac, bd)$, και η μορφή του φαίνεται αυθαίρετη· δικαιολογείται από τις συνέπειές του. Με το γινόμενο κατά συνιστώσες, το γινόμενο του $(1, 0)$ με το $(0, 1)$ θα ήταν $(0, 0)$ χωρίς κανένας παράγοντας να είναι μηδενικός, και δεν θα μπορούσε να υπάρξει διαίρεση· με το γινόμενο που ορίστηκε, αντίθετα, το ζεύγος $(0, 1)$ έχει τετράγωνο το ζεύγος $(-1, 0)$, και τα ζεύγη της μορφής $(a, 0)$ συμπεριφέρονται ακριβώς όπως οι πραγματικοί.

Οι πραγματικοί μέσα στους μιγαδικούς

Τα ζεύγη με μηδενική δεύτερη συνιστώσα προστίθενται και πολλαπλασιάζονται όπως οι πραγματικοί:

Επομένως, το ζεύγος $(a, 0)$ μπορεί να ταυτιστεί με τον πραγματικό $a$ χωρίς καμία πράξη να αλλάξει αποτέλεσμα, και το $\mathbb{R}$ περιέχεται στο $\mathbb{C}$, όπως απαιτεί η αρχή των επεκτάσεων που διατυπώθηκε στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών. Επιπλέον, ο πολλαπλασιασμός ενός ζεύγους με έναν πραγματικό πολλαπλασιάζει και τις δύο συνιστώσες του, γιατί $(r, 0) \cdot (a, b) = (ra, rb)$. Φανταστική μονάδα λέγεται το ζεύγος $i = (0, 1)$.

Η παράσταση $a + bi$ είναι η αλγεβρική μορφή του μιγαδικού $z = (a, b)$. Ο πραγματικός $a$ είναι το πραγματικό μέρος του $z$ και ο πραγματικός $b$, το φανταστικό μέρος του· παρατηρούμε ότι το φανταστικό μέρος είναι ο πραγματικός αριθμός $b$, και όχι το γινόμενο $bi$. Οι μιγαδικοί με μηδενικό φανταστικό μέρος είναι οι πραγματικοί, και εκείνοι με μηδενικό πραγματικό μέρος, όπως ο $3i$, λέγονται φανταστικοί αριθμοί. Από το τελευταίο μέρος του θεωρήματος, μια ισότητα μιγαδικών ισοδυναμεί με δύο ισότητες πραγματικών· από αυτό έπεται ότι κάθε μιγαδική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε σύστημα δύο πραγματικών εξισώσεων, το κύριο εργαλείο της τελευταίας παραγράφου.

Οι ιδιότητες των πράξεων

Η αλγεβρική μορφή είναι χρήσιμη μόνο αν μπορούμε να κάνουμε πράξεις με αυτήν όπως με τις αλγεβρικές παραστάσεις των πραγματικών, αναπτύσσοντας γινόμενα και αντικαθιστώντας το $i^2$ με $-1$. Αυτό απαιτεί οι πράξεις του $\mathbb{C}$ να έχουν τις ίδιες ιδιότητες με εκείνες του $\mathbb{R}$.

Κατά συνέπεια, κάνουμε πράξεις με τις αλγεβρικές μορφές όπως με αλγεβρικές παραστάσεις με το γράμμα $i$, και κάθε $i^2$ αντικαθίσταται με $-1$. Ειδικότερα, το γινόμενο ανακτά τον τύπο που το όρισε:

Για παράδειγμα, $(2 + 3i)(4 - i) = 8 - 2i + 12i - 3i^2 = 11 + 10i$. Οι αξιοσημείωτες ταυτότητες, όπως το τετράγωνο αθροίσματος ή η διαφορά τετραγώνων, και το διώνυμο του Νεύτωνα του μαθήματος για συνδυαστική ισχύουν στο $\mathbb{C}$ χωρίς αλλαγές, γιατί οι αποδείξεις τους χρησιμοποιούν μόνο αυτές τις ιδιότητες. Αυτό που δεν διατηρείται είναι η διάταξη: σύμφωνα με το λυμένο πρόβλημα 5 του μαθήματος για τα σύνολα αριθμών, δεν υπάρχει στο $\mathbb{C}$ διάταξη συμβατή με τις πράξεις, έτσι ώστε μια ανισότητα ανάμεσα σε μη πραγματικούς μιγαδικούς στερείται νοήματος. Το μέγεθος ενός μιγαδικού θα μετριέται με το μέτρο του.