Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Τα σύνολα αριθμών: σύνθεση και προκλήσεις

Περίληψη

Αυτό το μάθημα κλείνει την ενότητα για τα σύνολα αριθμών. Συγκεντρώνει σε μία αποδεικτική αλυσίδα όσα απέδειξαν τα μαθήματα της ενότητας: την κατασκευή των ακεραίων, των ρητών και των μιγαδικών από το προηγούμενο σύνολο, τα αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος που δεχόμαστε για τους πραγματικούς, με την πληρότητα ως το δικό τους γνώρισμα, και τις συνέπειες κάθε ιδιότητας για τον λογισμό με ανισότητες, δεκαδικούς, ριζικά, εξισώσεις και μιγαδικούς αριθμούς. Εξηγεί πώς αυτή η αλυσίδα στηρίζεται στην αριθμητική των φυσικών της προηγούμενης ενότητας και πώς προετοιμάζει τη μελέτη των συναρτήσεων και των πολυωνύμων της επόμενης ενότητας. Κλείνει με μια τελική αξιολόγηση, παράλληλη με την αρχική, και με δέκα προκλήσεις, δυσκολότερες από τα προβλήματα των μαθημάτων, καθεμιά από τις οποίες συνδυάζει αποτελέσματα πολλών από αυτά.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να εκτεθούν με λογική σειρά οι ορισμοί και τα κύρια θεωρήματα της ενότητας, με ένδειξη των προηγούμενων αποτελεσμάτων από τα οποία εξαρτάται καθένα.
  2. Να εξηγηθεί ποια ιδιότητα κερδίζει και ποια χάνει κάθε αριθμητική επέκταση, και γιατί η πληρότητα δεν μπορεί να επιτευχθεί με αλγεβρικά μέσα.
  3. Να συσχετιστούν τα αποτελέσματα της ενότητας με την αριθμητική των φυσικών και με τη μελέτη των αλγεβρικών συναρτήσεων και των πολυωνύμων.
  4. Να λυθούν μη τυποποιημένα προβλήματα που απαιτούν να συνδυαστούν η αριθμητική των κλασμάτων, η διάταξη των πραγματικών, ο λογισμός με ριζικά, τα γραμμικά συστήματα και οι μιγαδικοί αριθμοί.

Όσα πέτυχε η ενότητα

Η ενότητα ξεκίνησε από μια έλλειψη και από μια αρχή. Η έλλειψη: στους φυσικούς δεν μπορούμε πάντα να αφαιρέσουμε, να διαιρέσουμε ή να εξαγάγουμε ρίζες. Η αρχή, διατυπωμένη στο μάθημα για τα σύνολα αριθμών: κάθε νέο σύνολο διατηρεί τις πράξεις και τις ιδιότητες του προηγούμενου και προσθέτει τα στοιχεία που χρειάζονται ώστε μια αντίστροφη πράξη, προηγουμένως περιορισμένη, να γίνει ορισμένη. Το αποτέλεσμα είναι η αλυσίδα εγκλεισμών που οργανώνει όλη την ενότητα:

N⊂Z⊂Q⊂R⊂C\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}

Οι κατασκευές

Τρεις από τις τέσσερις επεκτάσεις έγιναν με ζεύγη στοιχείων του προηγούμενου συνόλου, και δύο από αυτές, των ακεραίων και των ρητών, με την ίδια διαδικασία, που αξίζει να αναγνωριστεί ως τέτοια. Δηλώνεται πότε δύο ζεύγη παριστάνουν τον ίδιο αριθμό και αποδεικνύεται ότι αυτή η δήλωση συμπεριφέρεται σαν ισότητα, δηλαδή ότι είναι σχέση ισοδυναμίας· οι κλάσεις της σχηματίζουν τότε μια διαμέριση, όπως αποδείχτηκε στο μάθημα για τα σύνολα, τις σχέσεις και τις συναρτήσεις, και το νέο σύνολο είναι το σύνολο πηλίκο· έπειτα ορίζονται οι πράξεις με αντιπροσώπους και αποδεικνύεται ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τους αντιπροσώπους που επιλέχθηκαν. Στους ακέραιους αριθμούς, το ζεύγος φυσικών (a,b)(a, b) παριστάνει τη διαφορά a−ba - b, και δύο ζεύγη είναι ισοδύναμα όταν a+d=b+ca + d = b + c· στους ρητούς αριθμούς, το κλάσμα pq\frac{p}{q} παριστάνει ένα πηλίκο, και δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα όταν ps=qrps = qr· στους μιγαδικούς αριθμούς, το ζεύγος πραγματικών (a,b)(a, b) είναι ήδη ο αριθμός, με ένα γινόμενο ορισμένο έτσι ώστε (0,1)2=(−1,0)(0, 1)^2 = (-1, 0). Και στις τρεις περιπτώσεις, το προηγούμενο σύνολο επανεμφανίζεται μέσα στο νέο μέσω μιας αντιστοιχίας που σέβεται τις πράξεις, και όσα στην εποπτική παρουσίαση ήταν συμβάσεις γίνονται θεωρήματα: ο κανόνας των προσήμων, η απουσία διαιρετών του μηδενός, ο νόμος της διαγραφής για το γινόμενο, η μοναδικότητα του ανάγωγου κλάσματος και η ισότητα i2=−1i^2 = -1.

Η διάταξη και η πληρότητα

Η τέταρτη επέκταση είναι άλλης φύσης, και δεν έγινε με κατασκευή. Οι ρητοί επιτρέπουν ήδη να προσθέτουμε, να αφαιρούμε, να πολλαπλασιάζουμε και να διαιρούμε, και έχουν μια διάταξη συμβατή με αυτές τις πράξεις, πυκνή και αρχιμήδεια· όμως το σύνολο των ρητών των οποίων το τετράγωνο είναι μικρότερο από 22 είναι φραγμένο και δεν έχει ρητό supremum. Επειδή η κατασκευή των πραγματικών από τους ρητούς υπερβαίνει τον κύκλο μαθημάτων, το μάθημα για τα σύνολα αριθμών τους δέχτηκε ως πλήρες διατεταγμένο σώμα: ένα σύνολο που περιέχει τους ρητούς και ικανοποιεί τα αξιώματα του σώματος, τα αξιώματα της διάταξης και το αξίωμα της πληρότητας, σύμφωνα με το οποίο κάθε μη κενό και άνω φραγμένο σύνολο έχει supremum. Τις δύο πρώτες ομάδες τις ικανοποιούν και οι ρητοί· η τρίτη είναι εκείνη που χαρακτηρίζει τους πραγματικούς. Από την πληρότητα συνάχθηκαν, στο μάθημα για τη δεκαδική παράσταση, η αρχιμήδεια ιδιότητα των πραγματικών και η τιμή κάθε άπειρης δεκαδικής παράστασης, μαζί με τον χαρακτηρισμό των ρητών ως των αριθμών με πεπερασμένη ή περιοδική παράσταση· και στο μάθημα για την πραγματική ευθεία, η ύπαρξη της ρίζας τάξης nn κάθε μη αρνητικού πραγματικού, η πυκνότητα των ρητών στην ευθεία και ο χαρακτηρισμός των διαστημάτων ως των συνόλων χωρίς κενά. Καμία από αυτές τις ιδιότητες δεν προκύπτει με αθροίσματα και γινόμενα: η πληρότητα είναι ιδιότητα της διάταξης, και γι’ αυτό οι πραγματικοί δεν μπορούν να κατασκευαστούν προσθέτοντας στους ρητούς τις λύσεις ορισμένων εξισώσεων.

Ο λογισμός

Σε αυτά τα θεμέλια στηρίζονται οι τεχνικές λογισμού της ενότητας. Το μάθημα για τις δυνάμεις με ρητό εκθέτη χρησιμοποίησε τη μοναδικότητα της κύριας ρίζας για να αποδείξει ότι η apqa^{\frac{p}{q}} δεν εξαρτάται από το κλάσμα που επιλέγεται και ότι ισχύουν οι ιδιότητες των δυνάμεων, και θεμελίωσε τις ιδιότητες των ριζών με τις παραδοχές τους για το πρόσημο, ανάμεσά τους την a2=∣a∣\sqrt{a^2} = \abs{a}. Το μάθημα για τις εξισώσεις και τις ανισώσεις πρώτου βαθμού μετέτρεψε τις ιδιότητες των σωμάτων και της διάταξης σε κανόνες για να μετασχηματίζουμε εξισώσεις και ανισώσεις χωρίς να χάνουμε ή να προσθέτουμε λύσεις, και ταξινόμησε τα συστήματα δύο εξισώσεων μέσω της ορίζουσάς τους. Τέλος, οι μιγαδικοί συμπλήρωσαν την άλγεβρα: κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει λύση σε αυτούς, και όταν η διακρίνουσά της είναι αρνητική έχει ακριβώς δύο, συζυγείς μεταξύ τους· και η γεωμετρία του επιπέδου μεταφράστηκε σε πράξεις με τον συζυγή και το μέτρο. Το τίμημα ήταν η διάταξη: στο C\mathbb{C} δεν υπάρχει καμία συμβατή με τις πράξεις, και το μέγεθος ενός αριθμού μετριέται με το μέτρο του.

Τι κερδίζεται και τι χάνεται

Ο απολογισμός της ενότητας μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:

  • Από το N\mathbb{N} στο Z\mathbb{Z} κερδίζεται ο αντίθετος, και μαζί του η αφαίρεση· χάνεται η καλή διάταξη, επειδή οι ακέραιοι δεν έχουν ελάχιστο στοιχείο.
  • Από το Z\mathbb{Z} στο Q\mathbb{Q} κερδίζεται ο αντίστροφος κάθε μη μηδενικού αριθμού, και μαζί του η διαίρεση· χάνεται ο επόμενος, επειδή ανάμεσα σε δύο ρητούς υπάρχει πάντα κι άλλος.
  • Από το Q\mathbb{Q} στο R\mathbb{R} κερδίζεται η πληρότητα, και μαζί της οι ρίζες των μη αρνητικών αριθμών και το μέτρο κάθε ευθύγραμμου τμήματος· χάνεται η πεπερασμένη ή περιοδική παράσταση όλων των αριθμών.
  • Από το R\mathbb{R} στο C\mathbb{C} κερδίζεται η λύση κάθε εξίσωσης δευτέρου βαθμού και, σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, κάθε μη σταθερής πολυωνυμικής εξίσωσης· χάνεται η διάταξη η συμβατή με τις πράξεις.

Το σχήμα που ακολουθεί ενώνει τα τρία τμήματα σε μία αλυσίδα. Κάθε κόμβος της στήλης είναι ένας ορισμός ή ένα θεώρημα, αριθμημένος κατά τη λογική σειρά και ενωμένος με ένα τόξο με τους προηγούμενους κρίκους που χρησιμοποιεί η απόδειξή του· γύρω τους αιωρούνται τα στηρίγματα, δηλαδή οι αρχές και τα εργαλεία στα οποία η αλυσίδα καταφεύγει ξανά και ξανά, καθένα ενωμένο με συνεχή γραμμή με τους κρίκους που στηρίζονται σε αυτό και με διακεκομμένη με τον κρίκο όπου θεμελιώνεται, εκτός από όσα γίνονται δεκτά ή προέρχονται από την προηγούμενη ενότητα, που σχεδιάζονται ως δακτύλιοι. Πατώντας ένα στήριγμα τονίζονται όλοι οι κρίκοι που το χρησιμοποιούν, και κάθε κρίκος παραπέμπει στο μάθημα όπου αποδεικνύεται.

Στηρίγματα της αλυσίδας

  • AΑρχή των επεκτάσεων. Κάθε νέο αριθμητικό σύνολο διατηρεί τις πράξεις και τις ιδιότητες του προηγούμενου, και προσθέτει τα στοιχεία που χρειάζονται ώστε μια αντίστροφη πράξη, προηγουμένως περιορισμένη, να γίνει ορισμένη· υιοθετείται ως οδηγός όλης της ενότητας. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • BΑριθμητική των φυσικών. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού και της διάταξης των φυσικών, η επαγωγή, η καλή διάταξη και το άθροισμα των προόδων, που αποδείχτηκαν στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • CΔιαίρεση με υπόλοιπο. Για κάθε ακέραιο aa και κάθε φυσικό bb υπάρχουν ένα μοναδικό πηλίκο qq και ένα μοναδικό υπόλοιπο rr τέτοια ώστε a=bq+ra = bq + r και 0≤r<b0 \leq r < b· αποδείχτηκε στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς, με τους κανόνες των ακεραίων που αποδεικνύει το μάθημα για τους ακέραιους αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • DΜπεζού και Ευκλείδης. Αν ΜΚΔ⁡(a,b)=1\operatorname{\text{ΜΚΔ}}(a, b) = 1, υπάρχουν ακέραιοι xx και yy με ax+by=1ax + by = 1, και ένας πρώτος που διαιρεί ένα γινόμενο διαιρεί κάποιον από τους παράγοντες· αποδείχτηκε στην ενότητα για τους φυσικούς αριθμούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • EΚατασκευή με κλάσεις. Παίρνουμε ζεύγη του προηγούμενου συνόλου, αποδεικνύουμε ότι η συνθήκη που ταυτίζει δύο ζεύγη είναι σχέση ισοδυναμίας, παίρνουμε ως νέο σύνολο το σύνολο πηλίκο, του οποίου οι κλάσεις σχηματίζουν μια διαμέριση των ζευγών, και ορίζουμε τις πράξεις με αντιπροσώπους, αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από εκείνους που επιλέχθηκαν. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 2. Κατασκευή των ακεραίων.
  • FΑξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος. Δεχόμαστε ότι οι πραγματικοί σχηματίζουν ένα πλήρες διατεταγμένο σώμα που περιέχει τους ρητούς: η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός ικανοποιούν τα αξιώματα του σώματος· οι θετικοί ικανοποιούν την τριχοτομία και είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό· και κάθε μη κενό σύνολο πραγματικών που είναι άνω φραγμένο έχει supremum, και αυτό είναι το αξίωμα που χαρακτηρίζει τους πραγματικούς. Γίνεται δεκτό χωρίς απόδειξη σε αυτή την ενότητα.
  • GΜοναδικότητα της ρίζας. Δύο μη αρνητικοί πραγματικοί με την ίδια δύναμη τάξης nn είναι ίσοι· γι’ αυτό αρκεί να δείξουμε έναν μη αρνητικό αριθμό του οποίου η δύναμη είναι η δοσμένη για να ξέρουμε ότι είναι η κύρια ρίζα. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 11. Μοναδικότητα της κύριας ρίζας.
  • HΑρχιμήδεια ιδιότητα. Για κάθε πραγματικό υπάρχει φυσικός μεγαλύτερος από αυτόν· κατά συνέπεια, ένας πραγματικός dd με 0≤d≤110n0 \leq d \leq \frac{1}{10^n} για κάθε φυσικό nn είναι μηδέν. Θεμελιώνεται στον κρίκο: 13. Αρχιμήδεια ιδιότητα.

  1. Τμήμα 1 Οι κατασκευές

    • Να κατασκευαστούν οι ακέραιοι ως κλάσεις ζευγών φυσικών και οι ρητοί ως κλάσεις κλασμάτων, με καλά ορισμένες πράξεις.
    • Να μετατραπούν σε θεωρήματα ο κανόνας των προσήμων, η απουσία διαιρετών του μηδενός και ο νόμος της διαγραφής για το γινόμενο.
    • Να αποδειχθεί ότι κάθε ρητός έχει ένα μοναδικό ανάγωγο κλάσμα, και ότι η διάταξη των ρητών είναι πυκνή και αρχιμήδεια.
    • Να κατασκευαστούν οι μιγαδικοί ως ζεύγη πραγματικών, με ένα γινόμενο που δίνει i2=−1i^2 = -1.

    1. Μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου και του αντιθέτου. Το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης είναι μοναδικό και κάθε αριθμός έχει έναν μοναδικό αντίθετο, έτσι ώστε −(−c)=c-(-c) = c· με τον ίδιο τρόπο, κάθε μη μηδενικός αριθμός έχει έναν μοναδικό αντίστροφο.

      Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς.

    2. Κατασκευή των ακεραίων. Η σχέση που κάνει ισοδύναμα τα ζεύγη φυσικών (a,b)(a, b) και (c,d)(c, d) όταν a+d=b+ca + d = b + c είναι σχέση ισοδυναμίας· οι κλάσεις της είναι οι ακέραιοι, με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό καλά ορισμένους, αντιμεταθετικούς, προσεταιριστικούς και επιμεριστικούς, με ουδέτερα στοιχεία τα C(1,1)C(1, 1) και C(2,1)C(2, 1) και αντίθετο το −C(a,b)=C(b,a)-C(a, b) = C(b, a).

      Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ακέραιοι αριθμοί: κατασκευή, πρόσημα και διάταξη.

    3. Τριχοτομία των ακεραίων. Όταν ταυτίζουμε τον φυσικό nn με την κλάση C(n+1,1)C(n + 1, 1) διατηρούνται η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός, και κάθε ακέραιος είναι ακριβώς ένα από τα εξής: ένας φυσικός, το μηδέν ή ο αντίθετος ενός φυσικού.

      Χρησιμοποιεί: 2. Κατασκευή των ακεραίων. Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών), A (Αρχή των επεκτάσεων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ακέραιοι αριθμοί: κατασκευή, πρόσημα και διάταξη.

    4. Κανόνας των προσήμων. Για όλους τους ακεραίους ισχύουν a⋅0=0a \cdot 0 = 0, (−a)b=−(ab)(-a) b = -(ab) και (−a)(−b)=ab(-a)(-b) = ab· επιπλέον, αν ab=0ab = 0, κάποιος από τους παράγοντες είναι μηδέν, και ένας μη μηδενικός παράγοντας κοινός σε δύο ίσα γινόμενα διαγράφεται.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου και του αντιθέτου, 2. Κατασκευή των ακεραίων, 3. Τριχοτομία των ακεραίων. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ακέραιοι αριθμοί: κατασκευή, πρόσημα και διάταξη.

    5. Διάταξη των ακεραίων. Αν το a<ba < b σημαίνει ότι ο b−ab - a είναι φυσικός, η πρόσθεση του ίδιου ακεραίου διατηρεί τη διάταξη, ο πολλαπλασιασμός με θετικό τη διατηρεί και με αρνητικό την αντιστρέφει· και η διαίρεση με υπόλοιπο ενός αρνητικού διαιρετέου ανάγεται σε εκείνη ενός φυσικού διαιρετέου.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου και του αντιθέτου, 3. Τριχοτομία των ακεραίων, 4. Κανόνας των προσήμων. Στηρίζεται σε: C (Διαίρεση με υπόλοιπο). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ακέραιοι αριθμοί: κατασκευή, πρόσημα και διάταξη.

    6. Κατασκευή των ρητών. Η σχέση που κάνει ισοδύναμα τα κλάσματα pq\frac{p}{q} και rs\frac{r}{s} όταν ps=qrps = qr είναι σχέση ισοδυναμίας· οι κλάσεις της είναι οι ρητοί, με πρόσθεση και πολλαπλασιασμό καλά ορισμένους, και κάθε μη μηδενικός ρητός pq\frac{p}{q} έχει αντίστροφο τον qp\frac{q}{p}.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου και του αντιθέτου, 4. Κανόνας των προσήμων. Στηρίζεται σε: E (Κατασκευή με κλάσεις), A (Αρχή των επεκτάσεων). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ρητοί αριθμοί: κλάσματα και οι πράξεις τους.

    7. Ανάγωγο κλάσμα. Κάθε ρητός αριθμός παριστάνεται με ένα ανάγωγο κλάσμα με φυσικό παρονομαστή, και με ένα μόνο.

      Χρησιμοποιεί: 4. Κανόνας των προσήμων, 6. Κατασκευή των ρητών. Στηρίζεται σε: D (Μπεζού και Ευκλείδης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ρητοί αριθμοί: κλάσματα και οι πράξεις τους.

    8. Διάταξη των ρητών. Με φυσικούς παρονομαστές, pq<rs\frac{p}{q} < \frac{r}{s} όταν ps<qrps < qr· αυτή η διάταξη δεν εξαρτάται από τα κλάσματα που επιλέγονται, επεκτείνει εκείνη των ακεραίων και είναι συμβατή με τις πράξεις, και είναι πυκνή και αρχιμήδεια: ανάμεσα σε δύο ρητούς υπάρχουν άπειροι, και κάθε ρητός ξεπερνιέται από κάποιον φυσικό.

      Χρησιμοποιεί: 5. Διάταξη των ακεραίων, 6. Κατασκευή των ρητών. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι ρητοί αριθμοί: κλάσματα και οι πράξεις τους.

    9. Κατασκευή των μιγαδικών. Με (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) και (a,b)(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc), τα ζεύγη πραγματικών σχηματίζουν τους μιγαδικούς: οι πράξεις τους είναι αντιμεταθετικές, προσεταιριστικές και επιμεριστικές, τα ζεύγη (a,0)(a, 0) λειτουργούν όπως οι πραγματικοί, ο i=(0,1)i = (0, 1) ικανοποιεί την i2=−1i^2 = -1 και κάθε μιγαδικός γράφεται με μοναδικό τρόπο ως a+bia + bi.

      Στηρίζεται σε: A (Αρχή των επεκτάσεων), F (Αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις.

  2. Τμήμα 2 Η διάταξη και η πληρότητα

    • Να συναχθούν από τα αξιώματα της διάταξης οι κανόνες για τις πράξεις με ανισότητες και η μοναδικότητα της κύριας ρίζας.
    • Να αποδειχθεί ότι οι ρητοί δεν είναι πλήρεις, επειδή το σύνολο των ρητών με τετράγωνο μικρότερο από 22 δεν έχει ρητό supremum.
    • Να συναχθούν από την πληρότητα η αρχιμήδεια ιδιότητα, η τιμή κάθε άπειρης δεκαδικής παράστασης και ο χαρακτηρισμός των ρητών από τις πεπερασμένες ή περιοδικές παραστάσεις τους.
    • Να συναχθούν από την πληρότητα η πυκνότητα των ρητών στην ευθεία, η ύπαρξη των ριζών και ο χαρακτηρισμός των διαστημάτων, και να γίνονται πράξεις με την απόλυτη τιμή.

    1. Διάταξη των πραγματικών. Αν οι θετικοί ικανοποιούν την τριχοτομία και είναι κλειστοί ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό, η διάταξη των πραγματικών είναι μεταβατική, διατηρείται με την πρόσθεση και με τον πολλαπλασιασμό με θετικό, αντιστρέφεται με τον πολλαπλασιασμό με αρνητικό, και η μετάβαση στους αντιστρόφους δύο θετικών αντιστρέφει τη διάταξή τους.

      Χρησιμοποιεί: 4. Κανόνας των προσήμων. Στηρίζεται σε: F (Αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς.

    2. Μοναδικότητα της κύριας ρίζας. Αν οι pp και rr είναι μη αρνητικοί και pn=rnp^n = r^n, τότε p=rp = r· αν ο nn είναι περιττός, κάθε πραγματικός έχει το πολύ μία ρίζα τάξης nn, η οποία είναι αρνητική όταν ο αριθμός είναι αρνητικός.

      Χρησιμοποιεί: 4. Κανόνας των προσήμων, 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς.

    3. Οι ρητοί δεν είναι πλήρεις. Η τετραγωνική ρίζα του 22 δεν είναι ρητή· γι’ αυτό το σύνολο των ρητών των οποίων το τετράγωνο είναι μικρότερο από 22 είναι άνω φραγμένο, αλλά κανένα από τα ρητά άνω φράγματά του δεν είναι το ελάχιστο.

      Χρησιμοποιεί: 8. Διάταξη των ρητών, 11. Μοναδικότητα της κύριας ρίζας. Στηρίζεται σε: D (Μπεζού και Ευκλείδης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς.

    4. Αρχιμήδεια ιδιότητα. Για κάθε πραγματικό xx υπάρχει φυσικός μεγαλύτερος από τον xx· κατά συνέπεια, αν 0≤d≤110n0 \leq d \leq \frac{1}{10^n} για κάθε φυσικό nn, τότε d=0d = 0.

      Χρησιμοποιεί: 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: F (Αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος), B (Αριθμητική των φυσικών). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών.

    5. Τιμή μιας δεκαδικής παράστασης. Η κατακόρυφη διαίρεση του pp διά qq δίνει ψηφία των οποίων οι αποκοπές απέχουν από το pq\frac{p}{q} λιγότερο από 110n\frac{1}{10^n}· και κάθε άπειρη δεκαδική παράσταση παριστάνει έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό, ο οποίος για την κατακόρυφη διαίρεση είναι το pq\frac{p}{q}· ένας θετικός πραγματικός έχει δύο παραστάσεις μόνο όταν η μία είναι πεπερασμένη και η άλλη τελειώνει σε εννιάρια.

      Χρησιμοποιεί: 6. Κατασκευή των ρητών, 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών), C (Διαίρεση με υπόλοιπο), F (Αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος), H (Αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών.

    6. Πεπερασμένες παραστάσεις. Η δεκαδική παράσταση ενός ανάγωγου κλάσματος pq\frac{p}{q} είναι πεπερασμένη αν και μόνο αν q=2a5bq = 2^a 5^b με aa και bb μη αρνητικούς ακεραίους.

      Χρησιμοποιεί: 7. Ανάγωγο κλάσμα, 14. Τιμή μιας δεκαδικής παράστασης. Στηρίζεται σε: D (Μπεζού και Ευκλείδης). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών.

    7. Παραστάσεις των ρητών. Η δεκαδική παράσταση κάθε θετικού ρητού pq\frac{p}{q} είναι πεπερασμένη ή περιοδική, και το μήκος της περιόδου της είναι το πολύ q−1q - 1.

      Χρησιμοποιεί: 14. Τιμή μιας δεκαδικής παράστασης. Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών), C (Διαίρεση με υπόλοιπο). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών.

    8. Παράγον κλάσμα. Κάθε περιοδική δεκαδική παράσταση παριστάνει έναν ρητό, και η αμιγώς περιοδική με περίοδο AA, από kk ψηφία, παριστάνει το A10k−1\frac{A}{10^k - 1}· άρα ένας πραγματικός είναι ρητός αν και μόνο αν η παράστασή του είναι πεπερασμένη ή περιοδική.

      Χρησιμοποιεί: 14. Τιμή μιας δεκαδικής παράστασης, 16. Παραστάσεις των ρητών. Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών), H (Αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η δεκαδική παράσταση των ρητών αριθμών.

    9. Πυκνότητα των ρητών. Ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς πραγματικούς υπάρχει πάντα ένας ρητός αριθμός, και επομένως άπειροι.

      Χρησιμοποιεί: 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: B (Αριθμητική των φυσικών), H (Αρχιμήδεια ιδιότητα). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πραγματική ευθεία: διάταξη, διαστήματα και απόλυτη τιμή.

    10. Ύπαρξη της ρίζας. Για κάθε φυσικό n≥2n \geq 2 και κάθε πραγματικό a≥0a \geq 0 υπάρχει πραγματικός s≥0s \geq 0 τέτοιος ώστε sn=as^n = a, ο οποίος είναι η κύρια ρίζα τάξης nn του aa.

      Χρησιμοποιεί: 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: F (Αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος), G (Μοναδικότητα της ρίζας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πραγματική ευθεία: διάταξη, διαστήματα και απόλυτη τιμή.

    11. Χαρακτηρισμός των διαστημάτων. Ένα σύνολο πραγματικών με τουλάχιστον δύο στοιχεία είναι διάστημα αν και μόνο αν περιέχει όλους τους αριθμούς που βρίσκονται ανάμεσα σε δύο οποιαδήποτε στοιχεία του.

      Χρησιμοποιεί: 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: F (Αξιώματα του πλήρους διατεταγμένου σώματος). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πραγματική ευθεία: διάταξη, διαστήματα και απόλυτη τιμή.

    12. Απόλυτη τιμή. Ισχύουν x2=∣x∣\sqrt{x^2} = \abs{x} και ∣xy∣=∣x∣∣y∣\abs{xy} = \abs{x} \abs{y}· η συνθήκη ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r είναι ισοδύναμη με a−r<x<a+ra - r < x < a + r, και ισχύει η τριγωνική ανισότητα ∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣\abs{x + y} \leq \abs{x} + \abs{y}.

      Χρησιμοποιεί: 4. Κανόνας των προσήμων, 10. Διάταξη των πραγματικών. Στηρίζεται σε: G (Μοναδικότητα της ρίζας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Η πραγματική ευθεία: διάταξη, διαστήματα και απόλυτη τιμή.

  3. Τμήμα 3 Ο λογισμός

    • Να οριστούν οι δυνάμεις με ρητό εκθέτη, να αποδειχθεί ότι δεν εξαρτώνται από το κλάσμα που επιλέγεται και να συναχθούν οι ιδιότητες των δυνάμεων.
    • Να θεμελιωθούν οι ιδιότητες των ριζών με τις παραδοχές τους για το πρόσημο, ανάμεσά τους η a2=∣a∣\sqrt{a^2} = \abs{a}.
    • Να μετασχηματίζονται εξισώσεις και ανισώσεις χωρίς να χάνονται ή να προστίθενται λύσεις, και να ταξινομούνται τα συστήματα δύο εξισώσεων μέσω της ορίζουσάς τους.
    • Να γίνονται πράξεις με τον συζυγή και το μέτρο, να λύνεται στο C\mathbb{C} κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές και να αναγνωρίζεται ότι το C\mathbb{C} δεν δέχεται διάταξη συμβατή με τις πράξεις του.

    1. Ιδιότητες των δυνάμεων. Για a>0a > 0, η δύναμη apqa^{\frac{p}{q}}, κύρια ρίζα τάξης qq του apa^p, δεν εξαρτάται από το κλάσμα που επιλέγεται, και ισχύουν axay=ax+ya^x a^y = a^{x + y}, (ax)y=axy(a^x)^y = a^{xy} και (ab)x=axbx(ab)^x = a^x b^x· αν a>1a > 1, αυξάνει με τον εκθέτη.

      Χρησιμοποιεί: 6. Κατασκευή των ρητών, 19. Ύπαρξη της ρίζας. Στηρίζεται σε: G (Μοναδικότητα της ρίζας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Δυνάμεις με ρητό εκθέτη και ριζικά.

    2. Ιδιότητες των ριζών. Για μη αρνητικές υπόρριζες ποσότητες, η ρίζα ενός γινομένου είναι το γινόμενο των ριζών και η ρίζα μιας ρίζας είναι η ρίζα με τάξη το γινόμενο των τάξεων· η ann\sqrt[n]{a^n} είναι ίση με ∣a∣\abs{a} αν ο nn είναι άρτιος, και a+b≤a+b\sqrt{a + b} \leq \sqrt{a} + \sqrt{b}, με ισότητα μόνο αν ab=0ab = 0.

      Χρησιμοποιεί: 19. Ύπαρξη της ρίζας, 21. Απόλυτη τιμή. Στηρίζεται σε: G (Μοναδικότητα της ρίζας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Δυνάμεις με ρητό εκθέτη και ριζικά.

    3. Ισοδύναμες εξισώσεις. Η πρόσθεση της ίδιας παράστασης και στα δύο μέλη ή ο πολλαπλασιασμός τους με έναν μη μηδενικό αριθμό διατηρεί τις λύσεις μιας εξίσωσης· σε μια ανίσωση, ο πολλαπλασιασμός με θετικό διατηρεί τη φορά και με αρνητικό την αντιστρέφει· και ο τετραγωνισμός μπορεί να προσθέσει τις λύσεις της A=−BA = -B.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου και του αντιθέτου, 10. Διάταξη των πραγματικών. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξισώσεις και ανισώσεις πρώτου βαθμού και γραμμικά συστήματα.

    4. Συστήματα δύο εξισώσεων. Αν η ορίζουσα DD του συστήματος δεν είναι μηδέν, η μοναδική λύση είναι x=DxDx = \frac{D_x}{D}, y=DyDy = \frac{D_y}{D}· αν D=0D = 0 και κάθε εξίσωση έχει κάποιον μη μηδενικό συντελεστή, το σύστημα έχει άπειρες λύσεις όταν Dx=Dy=0D_x = D_y = 0, και καμία σε κάθε άλλη περίπτωση.

      Χρησιμοποιεί: 24. Ισοδύναμες εξισώσεις. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Εξισώσεις και ανισώσεις πρώτου βαθμού και γραμμικά συστήματα.

    5. Συζυγής και μέτρο. Ο συζυγής ενός αθροίσματος ή ενός γινομένου είναι το άθροισμα ή το γινόμενο των συζυγών, zz‾=∣z∣2z \conj{z} = \abs{z}^2, ∣zw∣=∣z∣∣w∣\abs{zw} = \abs{z} \abs{w} και ∣z+w∣≤∣z∣+∣w∣\abs{z + w} \leq \abs{z} + \abs{w}.

      Χρησιμοποιεί: 9. Κατασκευή των μιγαδικών, 21. Απόλυτη τιμή. Στηρίζεται σε: G (Μοναδικότητα της ρίζας). Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις.

    6. Αντίστροφος ενός μιγαδικού. Κάθε μη μηδενικός μιγαδικός zz έχει έναν μοναδικό αντίστροφο, τον z‾∣z∣2\frac{\conj{z}}{\abs{z}^2}· επομένως μπορούμε να διαιρούμε με κάθε μη μηδενικό μιγαδικό, και ένα γινόμενο μιγαδικών μηδενίζεται μόνο αν μηδενίζεται κάποιος από τους παράγοντές του.

      Χρησιμοποιεί: 1. Μοναδικότητα του ουδέτερου στοιχείου και του αντιθέτου, 26. Συζυγής και μέτρο. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις.

    7. Εξίσωση δευτέρου βαθμού. Αν οι aa, bb και cc είναι πραγματικοί, a≠0a \neq 0 και Δ=b2−4ac<0\Delta = b^2 - 4ac < 0, η εξίσωση az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0 έχει στο C\mathbb{C} ακριβώς δύο λύσεις, τις −b±i−Δ2a\frac{-b \pm i \sqrt{-\Delta}}{2a}, που είναι συζυγείς και μη πραγματικές.

      Χρησιμοποιεί: 19. Ύπαρξη της ρίζας, 27. Αντίστροφος ενός μιγαδικού. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις.

    8. Συζυγείς ρίζες. Αν ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές μηδενίζεται στο z0z_0, μηδενίζεται και στο z0‾\conj{z_0}· έτσι οι μη πραγματικές ρίζες του εμφανίζονται σε ζεύγη συζυγών.

      Χρησιμοποιεί: 26. Συζυγής και μέτρο. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Οι μιγαδικοί αριθμοί: πράξεις και εξισώσεις.

    9. Οι μιγαδικοί δεν διατάσσονται. Στο C\mathbb{C} δεν υπάρχει διάταξη συμβατή με τις πράξεις: το τετράγωνο κάθε μη μηδενικού αριθμού θα ήταν θετικό, και τότε το 11 και το i2=−1i^2 = -1 θα ήταν θετικά, όπως και το άθροισμά τους, που είναι 00.

      Χρησιμοποιεί: 4. Κανόνας των προσήμων, 9. Κατασκευή των μιγαδικών. Αποδεικνύεται στη διάλεξη: Σύνολα αριθμών: από τους φυσικούς στους μιγαδικούς.

Προς τις αλγεβρικές συναρτήσεις. Η αλυσίδα σταματά εκεί όπου οι αριθμοί παύουν να μελετώνται μεμονωμένα: η επόμενη ενότητα μελετά κανόνες που αντιστοιχίζουν αριθμούς σε αριθμούς, με πεδία ορισμού που είναι διαστήματα, μη αρνητικές υπόρριζες ποσότητες, πίνακες προσήμων και το θεώρημα των συζυγών ριζών για την παραγοντοποίηση των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές.