Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Κωνικές τομές: χαρακτηρισμός και γραφικές παραστάσεις

Περίληψη

Το μάθημα αυτό συγκεντρώνει σε μία ενιαία θεωρία τις καμπύλες που μελετήθηκαν στα μαθήματα που προηγήθηκαν. Παρουσιάζει τις κωνικές τομές ως τις καμπύλες που προκύπτουν όταν ένας διπλός κώνος τέμνεται με ένα επίπεδο, υπενθυμίζει τις κανονικές μορφές τους και δείχνει ότι κάθε εξίσωση δευτέρου βαθμού χωρίς όρο με xyxy παριστάνει μια παραβολή, μια έλλειψη, μια υπερβολή ή μία από τις εκφυλισμένες περιπτώσεις τους: ένα σημείο, μία ή δύο ευθείες, ή κανένα σημείο. Η συμπλήρωση των τετραγώνων αρκεί για να αποφασίσουμε για ποια καμπύλη πρόκειται και για να διαβάσουμε το κέντρο ή την κορυφή της, τους ημιάξονές της και τις εστίες της. Κλείνει με την εκκεντρότητα, που ενοποιεί τις τρεις καμπύλες σε έναν μόνο ορισμό μέσω μιας εστίας και μιας διευθετούσας, και με την τομή κωνικών και ευθειών.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αναγνωρίζονται οι κωνικές τομές ως τομές ενός διπλού κώνου με ένα επίπεδο, μαζί με τις εκφυλισμένες περιπτώσεις τους.
  2. Να φέρεται μια εξίσωση δευτέρου βαθμού χωρίς όρο με xyxy στην κανονική της μορφή με συμπλήρωση τετραγώνων, και να αποφασίζεται από τα πρόσημα των συντελεστών της ποια καμπύλη παριστάνει.
  3. Να προσδιορίζονται το κέντρο ή η κορυφή, οι ημιάξονες, οι εστίες, η διευθετούσα και οι ασύμπτωτες μιας κωνικής που δίνεται με τη γενική της εξίσωση, και να σχεδιάζεται η γραφική της παράσταση.
  4. Να χρησιμοποιείται η εκκεντρότητα για την περιγραφή των κωνικών ως γεωμετρικών τόπων, και η διακρίνουσα για τη μελέτη των τομών τους με ευθείες.

Οι κωνικές τομές

Θεωρούμε έναν διπλό κώνο: την επιφάνεια που παράγει μια ευθεία, η γενέτειρα, όταν περιστρέφεται γύρω από μια άλλη ευθεία, τον άξονα, την οποία τέμνει σε ένα σταθερό σημείο, την κορυφή του κώνου. Η επιφάνεια έχει δύο φύλλα, ένα σε κάθε πλευρά της κορυφής. Αν την τέμνουμε με ένα επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή, η καμπύλη που προκύπτει εξαρτάται από τη γωνία που σχηματίζει το επίπεδο με τον άξονα, σε σύγκριση με τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα κάθε γενέτειρα.

  • Αν το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα, η καμπύλη είναι ένας κύκλος.
  • Αν το επίπεδο σχηματίζει με τον άξονα γωνία μεγαλύτερη από εκείνη της γενέτειρας, τέμνει όλες τις γενέτειρες ενός μόνο φύλλου και η καμπύλη είναι μια έλλειψη, κλειστή.
  • Αν το επίπεδο σχηματίζει με τον άξονα την ίδια γωνία με τη γενέτειρα, δηλαδή αν είναι παράλληλο προς μια γενέτειρα, τέμνει ένα μόνο φύλλο και η καμπύλη είναι μια παραβολή, ανοικτή.
  • Αν το επίπεδο σχηματίζει με τον άξονα γωνία μικρότερη από εκείνη της γενέτειρας, τέμνει και τα δύο φύλλα και η καμπύλη είναι μια υπερβολή, με δύο κλάδους.

Αν το επίπεδο διέρχεται από την κορυφή του κώνου, η τομή ανάγεται σε ένα σημείο, σε μία ευθεία (μια γενέτειρα) ή σε δύο ευθείες που τέμνονται στην κορυφή. Αυτές είναι οι εκφυλισμένες περιπτώσεις, και θα εμφανιστούν ξανά παρακάτω ως λύσεις ορισμένων εξισώσεων δευτέρου βαθμού, μαζί με δύο ακόμη που δεν προκύπτουν από τομή κώνου: το ζεύγος παράλληλων ευθειών, που προκύπτει από τομή κυλίνδρου, και το κενό σύνολο. Ωστόσο, ο κύκλος δεν είναι τέταρτη οικογένεια, αλλά η έλλειψη που αντιστοιχεί στην κάθετη θέση του επιπέδου.

Το ότι οι καμπύλες που προκύπτουν από τις τομές του κώνου συμπίπτουν με εκείνες που τα μαθήματα που προηγήθηκαν όρισαν μέσω εστιών είναι το θεώρημα του Ντανντελέν. Η απόδειξή του ξεφεύγει από τα όρια αυτού του κύκλου μαθημάτων, γιατί απαιτεί γεωμετρία του χώρου (τις σφαίρες που είναι εγγεγραμμένες στον κώνο και εφάπτονται στο επίπεδο τομής, των οποίων τα σημεία επαφής με το επίπεδο είναι οι εστίες)· γι' αυτό εδώ οι τομές του κώνου χρησιμεύουν μόνο ως εποπτική αναπαράσταση, και οι ορισμοί που χρησιμοποιούνται είναι εκείνοι μέσω αποστάσεων.