Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Ευθείες και επίπεδα στον χώρο

Περίληψη

Αυτό το μάθημα μεταφέρει στον χώρο την ευθεία που ορίζεται από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης, και περιγράφει το επίπεδο σε διανυσματική και παραμετρική μορφή, μέσω ενός σημείου και δύο διανυσμάτων κατεύθυνσης, και σε καρτεσιανή μορφή, μέσω μιας εξίσωσης ax+by+cz=dax + by + cz = d της οποίας οι συντελεστές σχηματίζουν ένα κάθετο διάνυσμα. Το εξωτερικό γινόμενο συνδέει τις δύο μορφές, και αποδεικνύεται ότι κάθε επίπεδο έχει καρτεσιανή εξίσωση, μοναδική εκτός από έναν πολλαπλασιαστικό παράγοντα. Οι σχετικές θέσεις επιπέδων και ευθειών μεταφράζονται σε γραμμικά συστήματα και ταξινομούνται με το θεώρημα Ρουσέ-Φρομπένιους· το μικτό γινόμενο κρίνει αν δύο ευθείες τέμνονται ή είναι ασύμβατες. Το μάθημα κλείνει με τη δέσμη επιπέδων και με προβλήματα για διαδρομές αεροπλάνων, την κλίση ενός εδάφους και τετράεδρα.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να γράφεται μια ευθεία του χώρου σε διανυσματική, παραμετρική και συμμετρική μορφή, και όταν κάποια συντεταγμένη του διανύσματος κατεύθυνσης είναι μηδέν, και να αποδεικνύεται ότι από δύο διαφορετικά σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.
  2. Να γράφεται ένα επίπεδο σε διανυσματική, παραμετρική και καρτεσιανή μορφή, να γίνεται η μετάβαση από τη μία μορφή στην άλλη με το εξωτερικό γινόμενο και να κατασκευάζεται το επίπεδο που διέρχεται από τρία μη συνευθειακά σημεία.
  3. Να αποδεικνύεται ότι κάθε επίπεδο έχει καρτεσιανή εξίσωση, μοναδική εκτός από έναν μη μηδενικό παράγοντα, και ότι κάθε γραμμική εξίσωση ως προς xx, yy και zz με κάποιον μη μηδενικό συντελεστή περιγράφει ένα επίπεδο.
  4. Να κρίνεται η σχετική θέση δύο ή τριών επιπέδων, μιας ευθείας και ενός επιπέδου και δύο ευθειών μέσω των βαθμίδων ενός γραμμικού συστήματος και του μικτού γινομένου, και όταν τα δεδομένα εξαρτώνται από μια παράμετρο.
  5. Να κατασκευάζεται με τη δέσμη επιπέδων το επίπεδο που περιέχει μια ευθεία και ικανοποιεί μια ακόμη συνθήκη, και να μοντελοποιούνται με ευθείες και επίπεδα καταστάσεις της αεροναυτιλίας, των κατασκευών και του σχεδιασμού.

Η ευθεία στον χώρο

Στο μάθημα του κύκλου μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I για τα διανύσματα στο επίπεδο, η ευθεία του επιπέδου, γνωστή ως γραφική παράσταση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού από το μάθημα για την εξίσωση της ευθείας, περιγράφηκε ως P0+td⃗P_0 + t \vec{d}. Στον χώρο δεν υπάρχει κλίση, και μια εξίσωση πρώτου βαθμού ως προς xx, yy και zz περιγράφει, όπως θα δούμε, ένα επίπεδο. Αν αυτό ισχύει, συμφέρει να αντιστραφεί η σειρά: η διανυσματική περιγραφή θα είναι ο ορισμός, και από αυτήν θα προκύψουν οι άλλες μορφές.

Τα διανύσματα του χώρου και το εσωτερικό τους γινόμενο μελετήθηκαν στο μάθημα για τα διανύσματα στον χώρο και το εσωτερικό γινόμενο· το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο, στο μάθημα για το εξωτερικό γινόμενο και το μικτό γινόμενο. Όπως στο επίπεδο, το Q=P+v⃗Q = P + \vec{v} σημαίνει PQ⃗=v⃗\vec{PQ} = \vec{v}, και δύο μη μηδενικά διανύσματα είναι συγγραμμικά όταν το ένα είναι πολλαπλάσιο του άλλου. Στα σχήματα, ο άξονας yy δείχνει προς τα δεξιά, ο άξονας zz προς τα πάνω και ο άξονας xx προς τον παρατηρητή.

Έστω AA ένα σημείο και v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right) ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Η ευθεία που διέρχεται από το AA με διάνυσμα κατεύθυνσης v⃗\vec{v} είναι το σύνολο των σημείων PP για τα οποία υπάρχει πραγματικός αριθμός tt τέτοιος ώστε P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}· ο αριθμός tt λέγεται παράμετρος του PP.
P=A+tv⃗,t∈RP = A + t \vec{v}, \quad t \in \mathbb{R}

Η παράμετρος κάθε σημείου είναι μοναδική: αν A+tv⃗=A+sv⃗A + t \vec{v} = A + s \vec{v}, τότε (t−s)v⃗=0⃗\left( t - s \right) \vec{v} = \vec{0}, και επειδή το v⃗\vec{v} δεν είναι μηδενικό, t=st = s. Για A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) και P=(x,y,z)P = (x, y, z), η διανυσματική εξίσωση, γραμμένη κατά συντεταγμένες, δίνει τις παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας:

{x=x0+tv1y=y0+tv2z=z0+tv3\begin{cases} x = x_0 + t v_1 \\ y = y_0 + t v_2 \\ z = z_0 + t v_3 \end{cases}

Αν η παράμετρος είναι ο χρόνος, οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν μια ομαλή κίνηση με ταχύτητα v⃗\vec{v}, όπως στο επίπεδο. Μια ευθεία δέχεται πολλά σημεία αφετηρίας και πολλά διανύσματα κατεύθυνσης· το θεώρημα που ακολουθεί δείχνει ότι δύο σημεία της την καθορίζουν.

ΘεώρημαΗ ευθεία που διέρχεται από δύο σημεία

Από δύο διαφορετικά σημεία AA και BB διέρχεται μία μόνο ευθεία, η ευθεία με εξίσωση P=A+tAB⃗P = A + t \vec{AB}. Κατά συνέπεια, οι εξισώσεις P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} και P=C+sw⃗P = C + s \vec{w} περιγράφουν την ίδια ευθεία αν και μόνο αν το CC ανήκει στην πρώτη και το w⃗\vec{w} είναι συγγραμμικό με το v⃗\vec{v}.

Στο σχήμα, A=(2,0,1)A = (2, 0, 1) και B=(1,2,2)B = (1, 2, 2), οπότε AB⃗=(−1,2,1)\vec{AB} = \left( -1, 2, 1 \right), και η άλλη ευθεία διέρχεται από το C=(0,4,3)C = (0, 4, 3) με διάνυσμα κατεύθυνσης v⃗=(1,−2,−1)\vec{v} = \left( 1, -2, -1 \right).

Απόδειξη

  1. A+0⋅AB⃗=A,A+1⋅AB⃗=BA + \resaltar{0} \cdot \vec{AB} = A, \qquad A + \resaltar{1} \cdot \vec{AB} = B

    Ύπαρξη: το διάνυσμα AB⃗\vec{AB} δεν είναι μηδενικό, επειδή A≠BA \neq B, και η ευθεία που διέρχεται από το AA με αυτό το διάνυσμα κατεύθυνσης περιέχει το AA, με παράμετρο 00, και το BB, με παράμετρο 11.

  2. A=C+t1v⃗,B=C+t2v⃗\dato{ab}{A = C + t_1 \vec{v}, \qquad B = C + t_2 \vec{v}}

    Μοναδικότητα: έστω rr μια οποιαδήποτε ευθεία, P=C+tv⃗P = C + t \vec{v}, που περιέχει τα AA και BB, και έστω t1t_1 και t2t_2 οι παράμετροί τους. Στο σχήμα, t1=2t_1 = 2 και t2=1t_2 = 1.

  3. AB⃗=t2v⃗−t1v⃗=(t2−t1)v⃗\vec{AB} = t_2 \vec{v} - t_1 \vec{v} = \dato{d}{\resaltar{\left( t_2 - t_1 \right)} \vec{v}}

    Από τη σχέση του Σαλ, AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Οι παράμετροι είναι διαφορετικές, επειδή A≠BA \neq B· άρα το AB⃗\vec{AB} είναι συγγραμμικό με το v⃗\vec{v}. Στο σχήμα, AB⃗=−v⃗\vec{AB} = -\vec{v}.

  4. C+tv⃗=A+(t−t1)v⃗=A+t−t1t2−t1AB⃗C + t \vec{v} = A + \left( t - t_1 \right) \vec{v} = A + \resaltar{\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}} \vec{AB}

    Κάθε σημείο της rr ανήκει στην ευθεία ABAB: ξεκινάμε από το AA αντί για το CC και αντικαθιστούμε το v⃗\vec{v} με την έκφρασή του συναρτήσει του AB⃗\vec{AB}. Στο σχήμα, το σημείο της rr με παράμετρο 12\frac{1}{2} είναι το σημείο της ευθείας ABAB με παράμετρο 32\frac{3}{2}.

  5. A+sAB⃗=A+s(t2−t1)v⃗=C+(t1+s(t2−t1))v⃗A + s \vec{AB} = A + s \left( t_2 - t_1 \right) \vec{v} = C + \resaltar{\left( t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) \right)} \vec{v}

    Αντίστροφα, το σημείο με παράμετρο ss της ευθείας ABAB είναι εκείνο με παράμετρο t1+s(t2−t1)t_1 + s \left( t_2 - t_1 \right) στην rr: οι δύο ευθείες έχουν τα ίδια σημεία. Για τον δεύτερο ισχυρισμό: αν οι εξισώσεις περιγράφουν την ίδια ευθεία, τα CC και C+w⃗C + \vec{w} ανήκουν σε αυτήν, και από το τρίτο βήμα το w⃗\vec{w} είναι πολλαπλάσιο του v⃗\vec{v}· αν το CC ανήκει στην πρώτη και w⃗=kv⃗\vec{w} = k \vec{v}, η πρώτη περιέχει τα CC και C+w⃗C + \vec{w}, και είναι η ευθεία που διέρχεται από αυτά.

Από αυτό έπεται ότι δύο διαφορετικές ευθείες έχουν το πολύ ένα κοινό σημείο: αν είχαν δύο, θα ήταν η μοναδική ευθεία που διέρχεται από αυτά. Τρία σημεία είναι συνευθειακά όταν υπάρχει ευθεία που τα περιέχει. Αν A≠BA \neq B, το σημείο CC είναι συνευθειακό με αυτά αν και μόνο αν C=A+tAB⃗C = A + t \vec{AB} για κάποιο tt, δηλαδή αν και μόνο αν το AC⃗\vec{AC} είναι πολλαπλάσιο του AB⃗\vec{AB}.

Η συμμετρική μορφή

Αν λυθεί κάθε εξίσωση ως προς την παράμετρο και εξισωθούν τα αποτελέσματα, προκύπτουν εξισώσεις χωρίς παράμετρο, με προσοχή στις μηδενικές συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης.

ΠρότασηΣυμμετρική μορφή της ευθείας

Έστω rr η ευθεία που διέρχεται από το A=(x0,y0,z0)A = (x_0, y_0, z_0) με διάνυσμα κατεύθυνσης v⃗=(v1,v2,v3)\vec{v} = \left( v_1, v_2, v_3 \right). Αν και οι τρεις συντεταγμένες του v⃗\vec{v} είναι διάφορες του μηδενός, ένα σημείο (x,y,z)(x, y, z) ανήκει στην rr αν και μόνο αν ισχύουν οι ισότητες που ακολουθούν. Αν μόνο η v2v_2 είναι μηδέν, η συνθήκη είναι x−x0v1=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{z - z_0}{v_3} και y=y0y = y_0· αν οι v2v_2 και v3v_3 είναι μηδέν, η συνθήκη είναι y=y0y = y_0 και z=z0z = z_0. Οι περιπτώσεις όπου μηδενίζονται άλλες συντεταγμένες προκύπτουν με εναλλαγή των ρόλων των συντεταγμένων.

x−x0v1=y−y0v2=z−z0v3\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}

Στο σχήμα, A=(1,2,−1)A = (1, 2, -1) και v⃗=(2,0,4)\vec{v} = \left( 2, 0, 4 \right), το διάνυσμα που πηγαίνει από το AA στο B=(3,2,3)B = (3, 2, 3).

Απόδειξη

  1. x−x0v1=t,y−y0v2=t,z−z0v3=t\frac{x - x_0}{v_1} = \resaltar{t}, \quad \frac{y - y_0}{v_2} = \resaltar{t}, \quad \frac{z - z_0}{v_3} = \resaltar{t}

    Αν και οι τρεις συντεταγμένες είναι διάφορες του μηδενός και P=A+tv⃗P = A + t \vec{v}, λύνουμε κάθε παραμετρική εξίσωση ως προς tt: τα τρία πηλίκα ισούνται με tt.

  2. x=x0+tv1,y=y0+tv2,z=z0+tv3x = x_0 + \resaltar{t} v_1, \quad y = y_0 + \resaltar{t} v_2, \quad z = z_0 + \resaltar{t} v_3

    Αντίστροφα, αν τα τρία πηλίκα είναι ίσα, ονομάζουμε tt την κοινή τους τιμή· πολλαπλασιάζοντας κάθε ισότητα με τον παρονομαστή της ανακτούμε τις παραμετρικές εξισώσεις, και το P=A+tv⃗P = A + t \vec{v} ανήκει στην rr.

  3. x−12=z+14,y=2\frac{x - 1}{2} = \frac{z + 1}{4}, \quad \resaltar{y = 2}

    Αν μόνο η v2v_2 είναι μηδέν, η δεύτερη εξίσωση είναι y=y0y = y_0 για κάθε tt, και γράφεται χωριστά, επειδή η διαίρεση με 00 δεν έχει νόημα. Στο σχήμα, η ευθεία βρίσκεται στο επίπεδο y=2y = 2.

  4. y=2,z=−1\resaltar{y = 2}, \quad \resaltar{z = -1}

    Αν οι v2v_2 και v3v_3 είναι μηδέν, οι δύο τελευταίες εξισώσεις καθορίζουν τα yy και zz, και για κάθε xx η παράμετρος t=x−x0v1t = \frac{x - x_0}{v_1} δίνει το σημείο: η ευθεία είναι η παράλληλη προς τον άξονα xx που άγεται από το AA, η οποία στο σχήμα φαίνεται στο βάθος.

  5. 4−12=5+14=32,2−12≠2+14\frac{4 - 1}{2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}, \qquad \frac{2 - 1}{2} \neq \frac{2 + 1}{4}

    Επαλήθευση στο σχήμα: το C=(4,2,5)C = (4, 2, 5) ανήκει στην ευθεία, με παράμετρο 32\frac{3}{2}, και το D=(2,2,2)D = (2, 2, 2) δεν ανήκει, αν και ικανοποιεί την y=2y = 2.

Κάθε ισότητα της συμμετρικής μορφής είναι εξίσωση πρώτου βαθμού: η ευθεία του σχήματος είναι το σύνολο λύσεων των 2x−z=32x - z = 3 και y=2y = 2. Όταν φανεί ότι κάθε τέτοια εξίσωση περιγράφει ένα επίπεδο, αυτό θα σημαίνει ότι η ευθεία είναι η τομή δύο επιπέδων, η πεπλεγμένη μορφή της.