المصفوفة العكسية

المصفوفة العكسية

في درس دورة الجبر والهندسة 1 الخاص بـالمجموعات العددية رأينا أن لكل عدد $a$ غير منعدم مقلوبًا $a^{-1}$، يسمح بحل المعادلة $ax = b$ بضرب طرفيها في $a^{-1}$. وفي الدرس الخاص بـالمصفوفات والعمليات على المصفوفات، كُتب نظام المعادلات الخطية معادلةً واحدة $AX = B$، وتبيّن أن المصفوفة المحايدة $I$ هي العنصر المحايد للضرب. وإذا كان الأمر كذلك، فالسؤال الطبيعي هو هل توجد مصفوفة تؤدي، بالنسبة إلى $A$، دور المقلوب، بحيث يُحل النظام بعملية ضرب واحدة. غير أن ضرب المصفوفات ليس تبديليًا، فلا بد أن يشترط التعريف المساواتين كلتيهما؛ ولكي يكون لـ$AB$ و$BA$ الحجم نفسه الذي لـ$I$، يجب أن تكون المصفوفة $A$ مربعة.

تكون مصفوفة مربعة $A$ من الدرجة $n$ قابلة للقلب إذا وُجدت مصفوفة $B$ من الدرجة $n$ بحيث $AB = BA = I$، حيث $I$ هي المصفوفة المحايدة من الدرجة $n$. وتُسمّى مصفوفة $B$ لها هذه الخاصية المصفوفة العكسية لـ$A$.

على سبيل المثال، كل من المصفوفتين الآتيتين عكسية للأخرى، كما يُتحقق من ذلك بضربهما بالترتيبين كليهما:

ليست كل مصفوفة غير منعدمة قابلة للقلب، وفي هذا تفترق المصفوفات عن الأعداد. فالمصفوفة التي فيها صف صفري ليست كذلك، لأن جداء ذلك الصف في أي عمود هو $0$، فيكون لـ$AB$ صف صفري أيًّا كانت $B$ ولا يمكن أن تكون المصفوفة المحايدة. ولا تكون قابلة للقلب أيضًا مصفوفة $A$ توجد لها $C$ غير منعدمة مع $AC = 0$، وهي من قواسم الصفر في الدرس الخاص بالمصفوفات: فلو كانت لـ$A$ مصفوفة عكسية $B$، لكان $C = (BA)C = B \cdot (AC) = 0$؛ ولا تكون كذلك $C$، لأنها لو كانت لها مصفوفة عكسية $B$ لكان $A = A \cdot (CB) = (AC)B = 0$. على سبيل المثال، المصفوفة ذات الصفين $1, 1$ و$1, 1$ مضروبةً في المصفوفة ذات الصفين $1, -1$ و$-1, 1$ تعطي المصفوفة الصفرية، ولا واحدة منهما قابلة للقلب.

يُرمز إلى المصفوفة العكسية الوحيدة لـ$A$، حين توجد، بالرمز $A^{-1}$. ولا ينبغي أن تُكتب كسرًا $\frac{1}{A}$، ولا أن يُكتب الجداء $BA^{-1}$ خارجَ قسمة $\frac{B}{A}$: فبما أن $BA^{-1}$ و$A^{-1}B$ مختلفتان عمومًا، فإن هذه الكتابة لا تبيّن من أي جهة يُجرى الضرب. وقد عرّف آرثر كايلي، الذي أسس سنة 1858 الحساب بالمصفوفات، المصفوفةَ العكسية بواسطة المصفوفة المصاحبة التي في الفقرة «المحدد وقابلية القلب».