المسافات والزوايا والحجوم في الفضاء

البرهان

1. 1
   $$\vec{p} = \dato{p}{\frac{\vec{QP} \cdot \vec{n}}{{\norma{\vec{n}}}^2} \vec{n}}$$

   نختار نقطة $Q = (q_1, q_2, q_3)$ من $\pi$ ونُسقط $\vec{QP}$ على $\vec{n}$ بمبرهنة الإسقاط العمودي من الدرس الخاص بالمتجهات في الفضاء. في الشكل، $Q = (2, 0, 0)$.

2. 2
   $$\vec{QP} \cdot \vec{n} = a x_0 + b y_0 + c z_0 \resaltar{- \left( a q_1 + b q_2 + c q_3 \right)} = \dato{e}{a x_0 + b y_0 + c z_0 - \resaltar{d}}$$

   بما أن $Q$ تقع في $\pi$، فإن $a q_1 + b q_2 + c q_3 = d$، والجداء السلمي في البسط هو الطرف الأول من المعادلة محسوبًا عند $P$، مطروحًا منه $d$.

3. 3
   $$\vec{QH} = \vec{QP} - \resaltar{\lambda \vec{n}}, \qquad \vec{n} \cdot \vec{QH} = 0 \rightarrow \dato{h}{H \in \pi}$$

   لذلك $\vec{p} = \lambda \vec{n}$ و$H = P - \vec{p}$. والمتجه $\vec{QH} = \vec{QP} - \vec{p}$ هو المركبة العمودية للإسقاط، وهو عمودي على $\vec{n}$؛ وبالمعادلة الناظمية للمستوى، تقع $H$ في $\pi$.

4. 4
   $${\norma{\vec{PX}}}^2 = {\norma{\vec{PH}}}^2 + \resaltar{{\norma{\vec{HX}}}^2} \ge {\norma{\vec{PH}}}^2$$

   لتكن $X$ أي نقطة من $\pi$. بعلاقة شال، $\vec{PX} = \vec{PH} + \vec{HX}$؛ والحد الأول مضاعف لـ$\vec{n}$ والثاني يصل بين نقطتين من $\pi$، فهما متعامدان، وتتحقق مساواة فيثاغورس.

5. 5
   $$\operatorname{d}(P, \pi) = \norma{\vec{p}} = \frac{\resaltar{\abs{\vec{QP} \cdot \vec{n}}}}{\norma{\vec{n}}} = \frac{\abs{a x_0 + b y_0 + c z_0 - d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$

   لا تتحقق المساواة إلا إذا $\vec{HX} = \vec{0}$، أي إذا $X = H$: فموقع العمود هو النقطة الوحيدة الأقرب، والبعد هو نظيم الإسقاط.

6. 6
   $$\operatorname{d}(P, \pi) = \frac{\abs{2 \cdot 2 + 3 + 2 \cdot 3 - 4}}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3$$

   في الشكل، $\vec{QP} = \left( 0, 3, 3 \right)$ و$\vec{QP} \cdot \vec{n} = 9$ و$\norma{\vec{n}} = 3$، ومن ثمّ $\lambda = 1$، وموقع العمود هو $H = (0, 2, 1)$ والبعد يساوي $3$.

البرهان

1. 1
   $$\vec{AP} = t_0 \vec{u} + \dato{w}{\vec{w}}, \qquad \vec{w} \cdot \vec{u} = 0$$

   بمبرهنة الإسقاط العمودي، $\vec{AP}$ هو مجموع مسقطه $t_0 \vec{u}$ على $\vec{u}$ ومتجهٍ $\vec{w}$ عمودي على $\vec{u}$. والنقطة $H = A + t_0 \vec{u}$ تقع على $r$ و$\vec{HP} = \vec{w}$.

2. 2
   $$\vec{XP} = \vec{w} + \resaltar{\left( t_0 - t \right) \vec{u}}, \qquad {\norma{\vec{XP}}}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 + \resaltar{\left( t_0 - t \right)^2 {\norma{\vec{u}}}^2} \ge {\norma{\vec{w}}}^2$$

   لكل نقطة $X = A + t \vec{u}$ من $r$، المتجه $\vec{XP}$ هو $\vec{w}$ مضافًا إليه مضاعفٌ لـ$\vec{u}$؛ والحدان متعامدان وتتحقق مساواة فيثاغورس.

3. 3
   $${\operatorname{d}(P, r)}^2 = {\norma{\vec{w}}}^2 = {\norma{\vec{AP}}}^2 - \resaltar{\frac{\left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}} = \dato{q}{\frac{{\norma{\vec{AP}}}^2 {\norma{\vec{u}}}^2 - \left( \vec{AP} \cdot \vec{u} \right)^2}{{\norma{\vec{u}}}^2}}$$

   لا تتحقق المساواة إلا إذا $t = t_0$: فـ$H$ هي النقطة الوحيدة الأقرب، والبعد هو نظيم $\vec{w}$، الذي تعطي مربعَه مساواةُ فيثاغورس للإسقاط.

4. 4
   $${\operatorname{d}(P, r)}^2 = \frac{\resaltar{{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}^2}}{{\norma{\vec{u}}}^2} \rightarrow \operatorname{d}(P, r) = \frac{\norma{\vec{AP} \times \vec{u}}}{\norma{\vec{u}}}$$

   بمتطابقة لاغرانج من الدرس الخاص بالجداء المتجهي، البسط هو مربع نظيم $\vec{AP} \times \vec{u}$؛ ثم نأخذ الجذر.

5. 5
   $$\vec{AP} \times \vec{u} = \left( 6, -6, 3 \right), \qquad \operatorname{d}(P, r) = \frac{\resaltar{9}}{\resaltar{3}} = 3$$

   في الشكل، $\vec{AP} = \left( 3, 3, 0 \right)$ و$\vec{AP} \cdot \vec{u} = 9$، ومن ثمّ $t_0 = 1$ و$H = (1, 2, 3)$ و$\vec{w} = \left( 2, 1, -2 \right)$، ونظيمه $3$. ويعطي الجداء المتجهي النتيجة نفسها.