الدوال المتكافئة اللامتناهية في الصغر وفي الكبر

ملخص

يختم هذا الدرس وحدة النهايات بتقنية حساب تجمع كل ما سبق تقريبًا: مقارنة الدوال التي تؤول إلى الصفر أو إلى اللانهاية. تُعرَّف $o$ الصغيرة و $O$ الكبيرة والرتبة نفسها والتكافؤ، ويُبرهن أنه، في جداء أو خارج قسمة، يمكن أن يوضع مكان كل عامل عاملٌ آخر مكافئ له دون أن تتغير النهاية. وتُجمع النهايات المثلثية، ونهايات الدالة الأسية واللوغاريتم والقوى، ونهايات كثيرات الحدود، التي بُرهنت في الدروس التي سبقت، في جدول للمتكافئات يتيح أن تُحسب بنظرة واحدة نهاياتٌ كانت تتطلب من قبل عدة تحويلات. ويبين الدرس أيضًا الخطأ الأكثر شيوعًا في هذه التقنية، وهو التعويض داخل مجموع، ومتى يمكن فعلًا تعويض مجموع، وكيف تُقارن القوى قرب الصفر وبعيدًا عن المبدأ.

أهداف التعلم

أن يعرّف $o$ الصغيرة و $O$ الكبيرة والرتبة نفسها وتكافؤ الدوال عند نقطة أو من جهة واحدة أو عند اللانهاية، وأن يبرهن خواصها.
أن يبرهن مبرهنة استبدال المتكافئات في الجداءات وخوارج القسمة، وأن يدرك لماذا لا تصح في المجاميع.
أن يبرهن جدول المتكافئات عند الصفر وأن يستعمله، مع التركيب، لحساب النهايات وتعيين رتبة دالة لامتناهية في الصغر وجزئها الرئيسي.
أن يقارن الدوال اللامتناهية في الكبر واللامتناهية في الصغر التي هي قوى، وأن يميز التكافؤ من وجود مقارب.

كيف نقارن الدوال

بيّن الدرسان عن مبرهنة الحصر وعن النهايات اللانهائية أن حالتي عدم التعيين $\frac{0}{0}$ و $\frac{\infty}{\infty}$ ليس لهما نتيجة ثابتة: فنهاية خارج قسمة دالتين تؤولان إلى الصفر تتوقف على سرعة أيلولتهما إليه. وفكرة هذا الدرس هي قياس هذه السرعة بمقارنة كل دالة بدالة أخرى أبسط منها. وكما في الدرس عن النهايات اللانهائية، يدل $P$ على مآل المتغير ( $a$ أو $a^+$ أو $a^-$ أو $\infty$ أو $-\infty$ )، ويعني «قرب $P$ » في جوار مثقوب، أو من جهة واحدة، أو على نصف مستقيم. وإذا كانت الدالة معرّفة على مجموعة $A$ فقط، تكون $a$ نقطة تراكم لها، فإن «قرب $a$ » يعني في نقاط $A$ الواقعة في جوار مثقوب مركزه $a$ ، والنهايات هي نهايات الدرس عن نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد، مأخوذةً على $A$ ؛ والتعريفات الآتية تنطبق بالطريقة نفسها في هذه الحالة.

تعريفمقارنة الدوال

لتكن $f$ و $g$ دالتين معرّفتين قرب $P$ ، مع $g(x) \neq 0$ قرب $P$ .

نقول إن $f$ مهملة بالنسبة إلى $g$ عند $P$ ، ونكتب $f = \operatorname{o}(g)$ ، وتُقرأ « $f$ هي o الصغيرة لـ $g$ »، إذا كان $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
نقول إن $f$ محدودة بـ $g$ عند $P$ ، ونكتب $f = \operatorname{O}(g)$ ، وتُقرأ « $f$ هي O الكبيرة لـ $g$ »، إذا وُجد $C > 0$ بحيث $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ قرب $P$ ؛ أي إذا كان خارج القسمة $\frac{f(x)}{g(x)}$ محدودًا قرب $P$ .
نقول إن $f$ و $g$ من الرتبة نفسها عند $P$ إذا آل $\frac{f(x)}{g(x)}$ إلى عدد مختلف عن الصفر.
نقول إن $f$ و $g$ متكافئتان عند $P$ ، ونكتب $f \sim g$ ، إذا كان $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

الدالة التي تؤول إلى $0$ عند $P$ تسمى لامتناهية في الصغر عند $P$ ، والتي تؤول إلى $\infty$ أو إلى $-\infty$ تسمى لامتناهية في الكبر. وللدالة اللامتناهية في الصغر عند $0$ رتبة $k > 0$ إذا كانت من الرتبة نفسها التي لـ $x^k$ (عند $0^+$ ، إذا كانت $x^k$ معرّفة فقط من أجل $x > 0$ )، وعندئذ، إذا آل $\frac{f(x)}{x^k}$ إلى $c$ ، فإن الدالة $c\,x^k$ هي جزؤها الرئيسي: $f \sim c\,x^k$ .

لا تدل عبارة «لامتناهية في الصغر» على عدد صغير جدًّا، بل على دالة تؤول إلى الصفر؛ ولا تدل الكتابة $\operatorname{o}(g)$ على دالة بعينها، بل على أي دالة من الدوال المهملة بالنسبة إلى $g$ . فمثلًا، $x^2 = \operatorname{o}(x)$ عند $0$ ، لأن $\frac{x^2}{x} = x$ يؤول إلى $0$ ؛ وبالمقابل، $x = \operatorname{o}(x^2)$ عند $\infty$ ، لأن $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ يؤول إلى $0$ . فالزوج نفسه من الدوال يُقارن على نحو متعاكس بحسب المآل. والرتبة نفسها والتكافؤ هما، في العمق، مقارنة واحدة: إذا كانت $f$ و $g$ من الرتبة نفسها وخارج قسمتهما يؤول إلى $c$ ، فإن $f \sim c\,g$ .

قضيةخواص المقارنة

في المآل نفسه $P$ :

التكافؤ انعكاسي وتناظري ومتعدٍّ: $f \sim f$ ؛ وإذا كان $f \sim g$ ، فإن $g \sim f$ ؛ وإذا كان $f \sim g$ و $g \sim h$ ، فإن $f \sim h$ ؛
$f \sim g$ إذا وفقط إذا كان $f - g = \operatorname{o}(g)$ ؛ وبخاصة، إذا كان $h = \operatorname{o}(g)$ ، فإن $g + h \sim g$ ؛
إذا كان $f = \operatorname{o}(h)$ و $g = \operatorname{o}(h)$ ، فإن $f + g = \operatorname{o}(h)$ و $c\,f = \operatorname{o}(h)$ من أجل كل عدد حقيقي $c$ .

كل عبارة هي قاعدة من جبر النهايات مطبقة على خارج قسمة.

البرهان

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
خارج قسمة $f$ على نفسها يساوي $1$ . وإذا آل $\frac{f}{g}$ إلى $1$ ، آل مقلوبه إلى $\frac{1}{1} = 1$ ، بحسب قاعدة المقلوب. وإذا آل $\frac{f}{g}$ و $\frac{g}{h}$ إلى $1$ ، آل إليه جداؤهما أيضًا، بحسب قاعدة الجداء.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
خارج قسمة $f - g$ على $g$ هو $\frac{f}{g} - 1$ ، الذي يؤول إلى $0$ إذا وفقط إذا آل $\frac{f}{g}$ إلى $1$ . ومع $f = g + h$ ، يكون الفرق $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
إذا آل $\frac{f}{h}$ و $\frac{g}{h}$ إلى $0$ ، آل إليه كذلك مجموعهما وجداء كل منهما في ثابت، بحسب قاعدة التركيب الخطي.

لا تشترط $O$ الكبيرة أن يكون لخارج القسمة نهاية، بل فقط ألا يكبر دون ضابط. فمثلًا، $\sin x = \operatorname{O}(1)$ عند $\infty$ ، مع أنه لا نهاية لـ $\sin x$ هناك، و $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ عند $0$ ، لأن $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . ولحساب النهايات تكفي $o$ الصغيرة؛ وستفيد $O$ الكبيرة في قياس أخطاء التقريب، كخطأ كثيرة حدود تايلور، الذي سيُدرس في التفاضل والتكامل 2. وقواعدها هي الآتية.

قضيةقواعد O الكبيرة

في المآل نفسه $P$ :

إذا كان لـ $\frac{f}{g}$ نهاية منتهية عند $P$ ، فإن $f = \operatorname{O}(g)$ ؛ وبخاصة، إذا كان $f = \operatorname{o}(g)$ أو إذا كان $f \sim g$ ؛
إذا كان $f = \operatorname{O}(h)$ و $g = \operatorname{O}(h)$ ، فإن $f + g = \operatorname{O}(h)$ و $c\,f = \operatorname{O}(h)$ من أجل كل عدد حقيقي $c$ ؛
إذا كان $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ و $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ ، فإن $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ؛
إذا كان $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ و $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ ، فإن $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

كل قاعدة متباينة بين قيم مطلقة؛ والأخيرة تجمع بين حدّ وخارج قسمة يؤول إلى الصفر.

البرهان

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
إذا آل $\frac{f}{g}$ إلى $L$ ، فإن للتحدي $\varepsilon = 1$ ردًّا: قرب $P$ ، يبعد خارج القسمة عن $L$ أقل من $1$ ، وبحسب متباينة المثلث لا تتجاوز قيمته المطلقة $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
الحدان $C_1$ لـ $f$ و $C_2$ لـ $g$ يتحققان معًا قرب $P$ ، في تقاطع الجوارين. ومتباينة المثلث تحدّ المجموع؛ وللمضاعف الحد $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
حدّا العاملين يُضرب أحدهما في الآخر.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
خارج قسمة الجداء على $g_1 g_2$ هو جداء خارج قسمة محدود بـ $C_1$ وخارج قسمة آخر يؤول إلى $0$ ؛ وبحسب مبرهنة الحصر، يؤول إلى $0$ .