微积分 I：最终回顾

课程的宗旨

三个古老的问题引出了微积分：运动物体在某一瞬间的速度、曲线的切线的斜率和曲边图形的面积。本课程选取了前两个问题，它们引出导数；课程诞生时怀着一个总的宗旨：把一元实函数的微分学建立在极限的定义和完备性公理之上，并以完整的证明从中推出导数能让我们知道的关于函数的变化、形态、极值与最值的一切。关于课程计划的那一课把这一宗旨展开为七项总体学习目标，值得按照图中引用它们时的编号把它们列在眼前：

1. 以明确的演绎推理进行证明：把定义写成带量词的陈述并对其加以否定，用 ε-δ 语言进行论证，从完备性公理推出存在性定理，用反例说明某个条件并非多余，并区分推出的内容和承认的内容。
2. 定义并计算有限极限、单侧极限、无穷远处的极限和无穷极限，处理不定式（包括用洛必达法则），并借此求出函数的渐近线和图像。
3. 判定函数的连续性，对其间断点分类，并运用以完备性公理为基础的波尔查诺定理、介值定理和魏尔斯特拉斯定理。
4. 定义导数，用线性近似和卡拉泰奥多里分解刻画导数，证明求导法则并借此对各种函数求导，同时明确每个导数的定义域。
5. 证明并应用费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，并用它们研究函数图像的单调性、极值、凹凸性、拐点和曲率。
6. 用微分、二分法和牛顿-拉弗森方法求函数值和根的近似值，估计每次近似的误差，并识别一种方法何时失效。
7. 用导数为变化率、相关变化率和最优化问题建立模型，并以书面形式表达问题的建立、计算和证明。

此外，课程的每节课都声明了自己的具体目标。各课并没有说明每一项具体目标服务于哪一项总体目标；这种对应是从外部所作的解读，采用与本网站其他课程相同的方法。每一项具体目标被归入一项主要的总体目标，如果还涉及其他总体目标，则也归入这些次要目标；每一项具体目标在其主要目标中计为一整份，在每个次要目标中计为半份，而一节课以获得权重最大的那项总体目标为主要目标，并以其余获得一定权重的目标为次要目标。如果两项目标权重相同，则取编号较小的那一项。导言中只描述本单元历程的目标不归入任何一项。总结课遵循本网站所有数学课程共同的标准：它们的主要目标是目标 1，因为它们的核心部分重建了本单元的演绎链。最后，关于最优化问题的那一课以目标 7 为主要目标，尽管按规则会以微弱优势得出目标 5，因为它所声明的内容是问题的建立：翻译问题、确定定义域，并论证所求得的值是最值。若是如此，整门课程便可呈现为一条脊柱的形态：头部是总目标；中轴是各单元的顺序，每个单元有自己的一截；每节课是这一截上的一个节点，与它的主要目标相连；七项目标围绕中轴浮动，由滋养它们的各课支撑。