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Topos Uranos
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导数的应用：总结与挑战

摘要

本课结束关于导数的应用的单元，也随之结束本课程。它把本单元九节课所证明的内容汇成一条演绎链：魏尔斯特拉斯定理与波尔查诺定理一样由完备性公理得到，费马引理由一点处导数的符号得到，二者给出罗尔定理；由罗尔定理得到拉格朗日中值定理与柯西中值定理，再由它们得到洛必达法则、由导数符号判定单调性、极值与最值的判别法、下凸性、最优化以及牛顿-拉弗森方法的误差界。本课说明本单元如何依托前两个单元以及代数与几何，又给下一门课程留下什么：积分、数列与级数，以及泰勒多项式。最后是一份与入门测评平行的结业测评，以及十道挑战题，它们比各课的题目更难，每一道都把本单元好几节课以及前面各单元的结果结合起来。

学习目标

  1. 按逻辑顺序陈述本单元的主要定理，指出每个定理依赖于哪些先前的结果，以及魏尔斯特拉斯定理、中值定理和由导数符号判定单调性在哪些证明中被重复使用。
  2. 区分本单元承认的内容与证明的内容，辨认每个结果的条件，并指出完备性公理在何处起作用。
  3. 把本单元的结果与关于极限和关于导数的两个单元、与代数与几何以及与微积分 II 所研究的内容联系起来。
  4. 解决非常规的问题，这些问题结合了最值的存在性、中值定理、洛必达法则、单调性、下凸性、曲率、最优化与牛顿-拉弗森方法。

本单元的收获

前两个单元都在一点处工作：一点处的极限、一点处的连续性、一点处的导数。本单元从逐点过渡到整体，而桥梁是完备性公理。魏尔斯特拉斯定理与波尔查诺定理一样用上确界证明，它保证有界闭区间上的连续函数取得最大值和最小值；费马引理由一点处导数的符号得出，它指出内点处的极值可能位于何处；两者合起来给出罗尔定理，由它推出两个中值定理。拉格朗日中值定理写成：

f(b)−f(a)=f′(c)(b−a),c∈(a,b)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

这个等式把关于区间内所有点处导数的信息转化为关于函数值的信息，本单元其余的内容几乎都是对它的解读：单调性、极值与最值的判别法、下凸性、通过柯西的形式得到的洛必达法则，以及牛顿-拉弗森方法的误差界。证明中引用这些定理，而不重做论证。

存在性与中值定理

关于魏尔斯特拉斯定理的一课首先证明了有界性定理：取函数直到该处都保持有界的那些点的上确界，再借助连续性给出的局部有界性越过它；然后证明函数值的上确界能被取到，因为如果取不到，函数值到它的距离的倒数将是连续而无界的。它用反例说明没有一个条件是多余的（开区间、无界区间、不连续的函数，以及缺少完备性的有理数），用介值定理推出有界闭区间的像是另一个同类型的区间，并推出在区间两端取值相等的函数在区间内部取得最值。关于费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理的一课把极值定义为带量词的命题，用一点处导数的符号证明了导数在内点处的极值点为零，并依次推出罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，说明了它们的条件不可或缺。它的推论是最初的整体性结论：区间上导数为零的函数是常数，导数相同的两个函数相差一个常数，导数的界限制了增量，函数的两个零点之间有其导数的零点，导数的极限若存在，就等于导数。关于洛必达法则的一课用柯西中值定理证明了这一法则，先对 00\frac{0}{0} 型，再更仔细地对 ∞∞\frac{\infty}{\infty} 型，分别在一点的一侧、在该点处以及在无穷远处；把 0⋅∞0 \cdot \infty、∞−∞\infty - \infty、1∞1^\infty、000^0 与 ∞0\infty^0 型化为这两种，说明当导数之比没有极限时法则不能判定，提醒它不能用于求导数时所用的那些极限，并由它得到一点处各阶导数为零的推论，该推论把函数的增量与 x−ax - a 的幂相比较。

单调性、极值与最值、图像的形状

关于单调性的一课用中值定理证明了：区间上非负的导数给出递增函数，正的导数给出严格递增函数；并刻画了导数非负时的严格单调性：导数不能在整个区间上为零。这样，关于导数的单元所作的承诺得以兑现，例如区间上导数为正就足以保证反函数存在且可导。它定义了临界点，证明了一阶导数判别法和达布定理（按照达布定理，导数即使不连续也取遍所有中间值，因此没有跳跃间断点），并推出区间上没有零点的导数不变号。关于极值与最值的一课定义了最值以及严格的极值与最值；证明了二阶导数判别法，并借助洛必达法则、不用泰勒多项式证明了高阶导数判别法，它根据第一个不为零的导数的阶数的奇偶性作出判定；在有界闭区间上，它在区间端点和临界点之中寻找最值，在开区间或无界区间上，则借助端点处的极限和单调性来寻找，单调性还给出：在唯一临界点处取得的极值是最值。关于凹凸性的一课按图像相对于其弦的位置定义了下凸性，采用本单元的约定（下凸函数的图像位于其弦的下方），并证明对可导函数而言，下凸等价于导数递增，也等价于图像位于其切线上方，对二阶可导函数而言，等价于二阶导数非负；它定义了拐点，用二阶导数的变号或用三阶导数来判定拐点，用 x4x^4 说明二阶导数为零是不够的，并得到琴生不等式以及几何平均数与算术平均数之间的不等式。关于曲率的一课把密切圆定义为在该点与函数具有相同的值、相同的导数和相同的二阶导数的圆；用隐函数求导证明了当二阶导数不为零时它存在且唯一，半径为 ρ=(1+f′(a)2)32∣f′′(a)∣\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}，圆心在法线上、位于图像弯曲的那一侧，并说明这个圆心是邻近法线交点的极限。

最优化与近似

关于最优化问题的一课确定了一个分五个阶段的方法（变量、函数、定义域、最值及其论证、结论），其关键在于论证所求得的极值就是最值：定义域为有界闭区间时用魏尔斯特拉斯定理，否则用导数的符号、下凸性或端点处的极限。它证明了一个函数与它和一个严格递增函数的复合在相同的点取得最值，图像上离给定点最近的点存在并位于一条法线上，并由最短时间原理推出折射定律与反射定律。关于牛顿-拉弗森方法的一课用切线代替图像来逼近一个根；把迭代值当作定义在自然数上的函数来处理，使用无穷远处极限的定义，而不用数列理论；借助下凸性和迭代值的下确界证明了：从适当的一侧出发，迭代值逼近根而不越过它，并收敛于它，而从错误的一侧出发，第一次迭代就跳到适当的一侧；用中值定理估计了误差，展示了方法的失效（导数为零、循环、迭代值逃逸），并与二分法作了比较：二分法每二分一次得到一个二进制位，而牛顿-拉弗森方法在单根附近，在例子中使正确的位数加倍。

承认什么、证明什么、留下什么

本单元的总结可以概括如下：

  • 承认的有：完备性公理，本单元在有界性定理、魏尔斯特拉斯定理以及牛顿-拉弗森迭代值的收敛中直接使用它；关于极限和关于导数的两个单元的定理，特别是波尔查诺定理、保号性、导数的局部性以及一点处导数的符号；还有代数与几何中的结果，例如三角公式、不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x 以及指数与对数的运算法则。
  • 证明的有：关于导数的单元曾宣布却无法证明的事实，即区间上导数为正给出递增函数，区间上导数为零的函数是常数，以及微分近似的误差可以估计；切线也成为逼近根、把图像与自身比较以及度量其弯曲程度的工具。
  • 重复使用三件工具，而不重复论证：给出最值的魏尔斯特拉斯定理；把导数的符号转化为关于函数值的信息的中值定理；以及支撑极值与最值的判别法和下凸性的由导数符号判定单调性。
  • 留给微积分 II 的是需要比导数更多的东西：积分、弧长（借助弧长，曲率可理解为切线转动的快慢）、一致连续性、数列与级数，以及泰勒多项式；留给微积分 III 的是多元函数的极值以及参数曲线的曲率。

下图把三段汇成一条链。中间一列的每个节点是一个定义或一个定理，按逻辑顺序编号，并用弧线连到其证明所用到的前面的环节；四周浮动的是支柱，即这条链一再求助的原理和工具，每个支柱用实线连到依靠它的环节，并用虚线连到确立它的那个环节，只有来自前面各单元或代数与几何的支柱例外，它们画成圆环。点击一个支柱，会突出显示所有用到它的环节；每个环节都链接到证明它的那一课。

链的支柱

  • A完备性公理. 从代数与几何 I 起承认：实数构成一个完备有序域，即每个非空且有上界的实数集都有上确界，每个非空且有下界的实数集都有下确界。 本单元中不加证明而采用。
  • B第 1 单元的遗产. 在关于极限与连续性的单元中证明的结果：极限的运算法则；单侧极限、无穷远处的极限与无穷极限；不等式的保序性；运算的连续性与复合的连续性；对极限和对连续函数的局部有界性与保号性；以及重要极限。 本单元中不加证明而采用。
  • C第 2 单元的遗产. 在关于导数的单元中证明的结果：导数的定义与单侧导数，可导蕴含连续，导数的局部性，求导法则与链式法则，初等函数的导数，反函数的导数与隐函数求导，以及高阶导数。 本单元中不加证明而采用。
  • D介值定理. 在关于导数的单元中用上确界证明：若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，且 f(a)f(a) 与 f(b)f(b) 异号，则 ff 在 (a,b)\ioo{a}{b} 的某一点处为零，这就是波尔查诺定理；而且区间在连续函数下的像是区间。 本单元中不加证明而采用。
  • E一点处导数的符号. 在关于导数的单元中证明：若 ff 在一个开区间上有定义，且 f′(a)>0f'(a) > 0，则存在 δ>0\delta > 0，使得 f(x)<f(a)f(x) < f(a)，只要 a−δ<x<aa - \delta < x < a；f(x)>f(a)f(x) > f(a)，只要 a<x<a+δa < x < a + \delta；但不能由此推出 ff 在 aa 附近递增。 本单元中不加证明而采用。
  • F最值的取得. 有界闭区间上的连续函数在该区间上取得最大值和最小值：这一工具为后面各定理中的最值和中间点提供存在性。 确立于: 2. 魏尔斯特拉斯定理.
  • G中值定理. 若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，并在 (a,b)\ioo{a}{b} 的每一点处可导，则存在 cc（在 (a,b)\ioo{a}{b} 中），使 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)：关于所有点处导数的信息转化为关于函数值的信息。 确立于: 7. 拉格朗日中值定理.
  • H由导数判定单调性. 在一个区间上，非负的导数给出递增函数，正的导数给出严格递增函数：这是判定极值、最值与下凸性的工具。 确立于: 12. 由导数符号判定单调性.

  1. 第 1 段 存在性与中值定理

    • 用上确界证明有界闭区间上的连续函数有界并取得最大值和最小值，并说明没有一个条件是多余的。
    • 用费马引理确定内点处极值的位置，并由它和魏尔斯特拉斯定理推出罗尔定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理。
    • 由中值定理得出导数为零的函数是常数，估计增量，并计数零点。
    • 用柯西中值定理证明洛必达法则，把其他不定式化为它，并且不把它用于求导数时所用的极限。

    1. 有界性定理. 若 ff 在有界闭区间 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，则存在数 KK，使得 ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K，这里 xx 是 [a,b]\icc{a}{b} 中的任意一点。

      依据: A (完备性公理), B (第 1 单元的遗产). 证明于: 魏尔斯特拉斯最值定理.

    2. 魏尔斯特拉斯定理. 若 ff 在有界闭区间 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，则存在 x1x_1 与 x2x_2（在 [a,b]\icc{a}{b} 中），使得 f(x1)≤f(x)≤f(x2)f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)，这里 xx 是 [a,b]\icc{a}{b} 中的任意一点；其中任何一个条件都不能省略。

      使用: 1. 有界性定理. 依据: A (完备性公理), B (第 1 单元的遗产). 证明于: 魏尔斯特拉斯最值定理.

    3. 有界闭区间的像. 若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，且 mm 与 MM 分别是它在该区间上的最小值与最大值，则 [a,b]\icc{a}{b} 的像是区间 [m,M]\icc{m}{M}。

      使用: 2. 魏尔斯特拉斯定理. 依据: F (最值的取得), D (介值定理). 证明于: 魏尔斯特拉斯最值定理.

    4. 在内点取得的最值. 若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，且 a<ba < b、f(a)=f(b)f(a) = f(b)，则它在 (a,b)\ioo{a}{b} 的某一点处取得最大值或最小值。

      使用: 2. 魏尔斯特拉斯定理. 依据: F (最值的取得). 证明于: 魏尔斯特拉斯最值定理.

    5. 费马引理. 若 ff（定义在 AA 上）在内点 aa（属于 AA）处取得极值，即若存在 δ>0\delta > 0，使得 f(x)≤f(a)f(x) \leq f(a)，这里 xx 是 AA 中满足 ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta 的任意一点，或者对所有这些点都有 f(a)≤f(x)f(a) \leq f(x)，并且 ff 在 aa 处可导，那么 f′(a)=0f'(a) = 0。

      依据: E (一点处导数的符号), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理.

    6. 罗尔定理. 若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，其中 a<ba < b，在 (a,b)\ioo{a}{b} 的每一点处可导，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，则存在 cc（在 (a,b)\ioo{a}{b} 中），使 f′(c)=0f'(c) = 0。

      使用: 4. 在内点取得的最值, 5. 费马引理. 依据: F (最值的取得), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理.

    7. 拉格朗日中值定理. 若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，其中 a<ba < b，并在 (a,b)\ioo{a}{b} 的每一点处可导，则存在 cc（在 (a,b)\ioo{a}{b} 中），使 f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)：某条切线平行于弦。

      使用: 6. 罗尔定理. 依据: B (第 1 单元的遗产), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理.

    8. 柯西中值定理. 若 ff 与 gg 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，其中 a<ba < b，并在 (a,b)\ioo{a}{b} 的每一点处可导，则存在 cc（在 (a,b)\ioo{a}{b} 中），使 (f(b)−f(a))g′(c)=(g(b)−g(a))f′(c)\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)；若此外 g′g' 在 (a,b)\ioo{a}{b} 上不为零，则 g(b)≠g(a)g(b) \neq g(a) 且 f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(c)g′(c)\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}。

      使用: 6. 罗尔定理. 依据: B (第 1 单元的遗产), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理.

    9. 中值定理的推论. 设 ff 在区间 II 上连续，并在每个内点处可导。若 f′f' 在这些点处为零，则 ff 为常数；导数相同的两个函数相差一个常数；若在这些点处 ∣f′(x)∣≤K\abs{f'(x)} \leq K，则 ∣f(x)−f(y)∣≤K∣x−y∣\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}，这里 xx、yy 是 II 中的任意两点；若 ff 在 II 上可导，且在其上有 n≥2n \geq 2 个不同的零点，则 f′f' 至少有 n−1n - 1 个零点。

      使用: 6. 罗尔定理, 7. 拉格朗日中值定理. 依据: G (中值定理), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 费马、罗尔、拉格朗日与柯西定理.

    10. 洛必达法则. 若 ff 与 gg 在 (a,b)\ioo{a}{b} 上可导，且在其上 g′(x)≠0g'(x) \neq 0，若 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 趋于 00，或 g(x)g(x) 趋于 ∞\infty 或 −∞-\infty（当 x→a+x \to a^+ 时），并且若 f′(x)g′(x)\frac{f'(x)}{g'(x)} 趋于 LL（实数）、∞\infty 或 −∞-\infty，则 f(x)g(x)\frac{f(x)}{g(x)} 趋于 LL；对左侧、对一点的两侧以及在无穷远处同样成立。

      使用: 8. 柯西中值定理. 依据: B (第 1 单元的遗产), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 洛必达法则.

    11. 一点处各阶导数为零. 设 n≥2n \geq 2 是自然数，II 是开区间，aa 是 II 中的一点，ff 是 n−1n - 1 阶可导于 II、nn 阶可导于 aa 的函数，其中 f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0。那么 f(x)−f(a)(x−a)n\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n} 趋于 f(n)(a)n!\frac{f^{(n)}(a)}{n!}（当 x→ax \to a 时）。

      使用: 10. 洛必达法则. 依据: C (第 2 单元的遗产). 证明于: 洛必达法则.

  2. 第 2 段 单调性、极值与最值、图像的形状

    • 用导数的符号判定单调性，刻画严格单调性，并证明达布定理。
    • 用一阶导数判别法、二阶导数判别法与高阶导数判别法对临界点分类，并求闭区间、开区间或无界区间上的最值。
    • 用弦、递增的导数、切线与二阶导数刻画下凸性，并辨认拐点。
    • 用密切圆度量图像的曲率。

    1. 由导数符号判定单调性. 设 ff 在区间 II 上连续，并在每个内点处可导。若在这些点处 f′(x)≥0f'(x) \geq 0，则 ff 在 II 上递增；若 f′(x)>0f'(x) > 0，则严格递增；若 f′(x)≤0f'(x) \leq 0 或 f′(x)<0f'(x) < 0，则递减或严格递减。反之，若 ff 在 II 上递增，并在内点 aa 处可导，则 f′(a)≥0f'(a) \geq 0。

      使用: 7. 拉格朗日中值定理. 依据: E (一点处导数的符号), G (中值定理), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 单调性与一阶导数判别法.

    2. 导数非负时的严格单调性. 若 ff 在区间 II 上连续，且在每个内点处 f′(x)≥0f'(x) \geq 0，则 ff 在 II 上严格递增，当且仅当 f′f' 不在任何区间 (p,q)\ioo{p}{q}（含于 II）的所有点处为零；特别地，若它只在有限个点处为零，则严格递增。

      使用: 9. 中值定理的推论, 12. 由导数符号判定单调性. 依据: H (由导数判定单调性), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 单调性与一阶导数判别法.

    3. 一阶导数判别法. 若 ff 在 (a−r,a+r)\ioo{a - r}{a + r} 上连续，并在异于 aa 的每一点处可导，其中 f′(x)≥0f'(x) \geq 0（在 aa 的左侧），f′(x)≤0f'(x) \leq 0（在右侧），则它在 aa 处取得极大值，若不等式都是严格的，则为严格极大值；不等式反向时，取得极小值；若 f′(x)f'(x) 在两侧都为正，或在两侧都为负，则在 aa 处没有极值。

      使用: 12. 由导数符号判定单调性. 依据: H (由导数判定单调性). 证明于: 单调性与一阶导数判别法.

    4. 达布定理. 若 ff 在开区间 II 上可导，且 a<ba < b 是 II 中的点，则 f′f' 在 (a,b)\ioo{a}{b} 上取到严格介于 f′(a)f'(a) 与 f′(b)f'(b) 之间的每一个值；因此，f′f' 在 II 上既没有可去间断点，也没有跳跃间断点。

      使用: 2. 魏尔斯特拉斯定理, 5. 费马引理. 依据: E (一点处导数的符号), F (最值的取得), B (第 1 单元的遗产), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 单调性与一阶导数判别法.

    5. 无零点的导函数. 若 ff 在含有不止一个点的区间 II 上连续，并在每个内点处可导，且在每个内点处 f′(x)≠0f'(x) \neq 0，则 f′f' 在所有这些点处同号，且 ff 在 II 上严格单调。

      使用: 12. 由导数符号判定单调性, 15. 达布定理. 依据: H (由导数判定单调性). 证明于: 单调性与一阶导数判别法.

    6. 二阶导数判别法. 若 ff 在开区间 II 上可导，并在点 aa（属于 II）处二阶可导，且 f′(a)=0f'(a) = 0，则它在 aa 处：若 f′′(a)>0f''(a) > 0，取得严格极小值；若 f′′(a)<0f''(a) < 0，取得严格极大值。

      使用: 14. 一阶导数判别法. 依据: E (一点处导数的符号), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 函数的极值与最值.

    7. 高阶导数判别法. 若 ff 是 n−1n - 1 阶可导于开区间 II、nn 阶可导于点 aa（属于 II）的函数，其中 n≥2n \geq 2、f′(a)=⋯=f(n−1)(a)=0f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0 且 f(n)(a)≠0f^{(n)}(a) \neq 0，那么，若 nn 为偶数，则 ff 在 aa 处：若 f(n)(a)>0f^{(n)}(a) > 0，取得严格极小值；若 f(n)(a)<0f^{(n)}(a) < 0，取得严格极大值；若 nn 为奇数，则在 aa 处不取得任何极值。

      使用: 11. 一点处各阶导数为零. 依据: B (第 1 单元的遗产). 证明于: 函数的极值与最值.

    8. 区间上的最值. 若 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，则它取得最大值与最小值，且取得它们的每个点都是 aa、bb 或 (a,b)\ioo{a}{b} 中的临界点；若它在一个开区间（有界或无界）上连续，且有某个函数值超过它在两端的极限，则它取得最大值，并且是在临界点处取得。

      使用: 2. 魏尔斯特拉斯定理, 5. 费马引理. 依据: F (最值的取得), B (第 1 单元的遗产). 证明于: 函数的极值与最值.

    9. 由单调性求最值. 若 ff 在区间 II 上连续，cc 是内点，f′(x)≥0f'(x) \geq 0（在小于 cc 的内点处），f′(x)≤0f'(x) \leq 0（在大于它的内点处），则 ff 在 cc 处取得它在 II 上的最大值；若 cc 是 ff 在 II 上唯一的临界点，且 ff 在该点取得极值，则这个极值就是在 II 上的严格最值。

      使用: 12. 由导数符号判定单调性, 16. 无零点的导函数. 依据: H (由导数判定单调性). 证明于: 函数的极值与最值.

    10. 下凸性与导数递增. 称函数 ff 在区间 II 上下凸，如果 f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y)f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)，这里 xx、yy 是 II 中的任意两点，tt 是 [0,1]\icc{0}{1} 中的任意数。若 ff 在 II 上连续，并在每个内点处可导，则它下凸当且仅当 f′f' 在内点上递增，严格下凸当且仅当 f′f' 在这些点上严格递增。

      使用: 7. 拉格朗日中值定理. 依据: G (中值定理), B (第 1 单元的遗产), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 凹凸性与拐点.

    11. 图像位于切线上方. 若 ff 在含有不止一个点的区间 II 上连续，并在每个内点处可导，则它下凸当且仅当 f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)，这里 aa 是任意内点，xx 是 II 中任意一点；特别地，若它下凸且 f′(a)=0f'(a) = 0，则它在 aa 处取得它在 II 上的最小值。

      使用: 21. 下凸性与导数递增. 证明于: 凹凸性与拐点.

    12. 下凸性与二阶导数. 若 ff 在含有不止一个点的区间 II 上连续，并在每个内点处二阶可导，则它下凸当且仅当在这些点处 f′′(x)≥0f''(x) \geq 0；若此外 f′′f'' 不在任何含于 II 的开区间的所有点处为零，则它严格下凸。

      使用: 12. 由导数符号判定单调性, 13. 导数非负时的严格单调性, 21. 下凸性与导数递增. 依据: H (由导数判定单调性), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 凹凸性与拐点.

    13. 拐点. 若 ff 在 aa 附近连续，在 aa 处可导，且 f′′f'' 在 aa 处变号，则点 aa 是拐点；在 ff 二阶可导的拐点处，f′′(a)=0f''(a) = 0，但这并不充分，如 x4x^4 在 00 处所示；若 f′′(a)=0f''(a) = 0 且 f′′′(a)≠0f'''(a) \neq 0，则 aa 是拐点，并且图像穿过其切线。

      使用: 5. 费马引理, 18. 高阶导数判别法, 21. 下凸性与导数递增, 23. 下凸性与二阶导数. 依据: E (一点处导数的符号), B (第 1 单元的遗产). 证明于: 凹凸性与拐点.

    14. 琴生不等式. 若 ff 在区间 II 上连续且下凸，并在每个内点处可导，则 f(t1x1+⋯+tnxn)≤t1f(x1)+⋯+tnf(xn)f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)，这里 xix_i 是 II 中的点，权重 ti≥0t_i \geq 0 之和为 11；对上凸的对数函数应用这一结果，可知正数的几何平均数不超过算术平均数。

      使用: 22. 图像位于切线上方, 23. 下凸性与二阶导数. 依据: C (第 2 单元的遗产). 证明于: 凹凸性与拐点.

    15. 密切圆. 若 ff 在一个开区间上可导，并在点 aa 处二阶可导，其中 m=f′(a)m = f'(a)、q=f′′(a)≠0q = f''(a) \neq 0，则恰有一个圆在 aa 处与 ff 具有相同的值、相同的导数和相同的二阶导数；它的半径是 ρ=(1+m2)32∣q∣\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}，即曲率 κ\kappa 的倒数，圆心在法线上：若 q>0q > 0，位于该点上方，若 q<0q < 0，位于其下方。

      依据: C (第 2 单元的遗产). 证明于: 曲率与曲率半径.

  3. 第 3 段 最优化与近似

    • 把一个几何问题或物理问题转化为在精确确定的定义域上求函数的最值，并论证所求得的极值就是最值。
    • 求图像上离给定点最近的点，并由最短时间原理推出反射定律与折射定律。
    • 用牛顿-拉弗森方法逼近根，用下凸性保证其收敛，并用中值定理估计误差。

    1. 点到函数图像的距离. 若 ff 在一个含有不止一个点、且包含其端点（若有端点）的区间上连续，则其图像上有某个点到点 P=(x1,y1)P = (x_1, y_1) 的距离最小；若该点的横坐标 cc 是内点，且 ff 在该处可导，则 PP 在法线上：(x1−c)+f′(c)(y1−f(c))=0(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0。

      使用: 2. 魏尔斯特拉斯定理, 5. 费马引理. 依据: F (最值的取得), B (第 1 单元的遗产), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 最优化问题.

    2. 斯涅尔定律. 路程的时长 T(x)=a2+x2v1+b2+(d−x)2v2T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}，这条路程从 (0,a)(0, a) 到 (x,0)(x, 0) 的速率为 v1v_1，从那里到 (d,−b)(d, -b) 的速率为 v2v_2，在唯一一点处取得严格的最小值，在该点 sin⁡θ1v1=sin⁡θ2v2\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}；由此，两点之间触及一条直线的最短路程与该直线的垂线成相等的角，这就是反射定律。

      使用: 22. 图像位于切线上方, 23. 下凸性与二阶导数. 依据: D (介值定理), C (第 2 单元的遗产). 证明于: 最优化问题.

    3. 牛顿-拉弗森方法的收敛性. 若 ff 在开区间 II 上可导且下凸，其中 f′(x)≠0f'(x) \neq 0（对 II 中的一切点），且 f(r)=0f(r) = 0，则由迭代 xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} 得到的迭代值，从 x0x_0（属于 II，且 f(x0)≥0f(x_0) \geq 0）出发，单调地逼近 rr 而不越过它，并收敛于 rr；从 x0x_0（其中 f(x0)<0f(x_0) < 0）出发，若 x1x_1 在 II 中，则第一次迭代就到达适当的一侧。

      使用: 16. 无零点的导函数, 21. 下凸性与导数递增, 22. 图像位于切线上方. 依据: A (完备性公理), B (第 1 单元的遗产). 证明于: 牛顿-拉弗森方法.

    4. 误差界. 若 ff 在区间 JJ 上连续，并在每个内点处可导，其中在这些点处 ∣f′(x)∣≥m>0\abs{f'(x)} \geq m > 0，且 f(r)=0f(r) = 0，这里 rr 是 JJ 中的某一点，则 ∣x−r∣≤∣f(x)∣m\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}，这里 xx 是 JJ 中任意一点。

      使用: 7. 拉格朗日中值定理. 依据: G (中值定理). 证明于: 牛顿-拉弗森方法.

走向微积分 II. 链在课程结束的地方停止。在微积分 II中，导数相同的两个函数相差一个常数这一推论为原函数奠定基础，积分则在微积分基本定理中与导数结合；借助弧长（它是一个积分），曲率可理解为切线转动的快慢。数列（牛顿-拉弗森迭代值是它的第一个例子）与级数为定义在自然数上的函数提供专门的理论。而泰勒多项式（其余项用罗尔定理和柯西中值定理估计）用高阶导数延续切线，推广高阶导数判别法，并在关于二阶导数的条件下证明牛顿-拉弗森方法的二次收敛，而本单元只在例子中观察到这一点。