摘要 本课开启关于导数的单元。它介绍本单元的进程：把导数定义为差商的极限，把它写成带有一个连续因子的分解，即卡拉泰奥多里分解，并由此在从不除以可能为零的量的情况下得出求导法则、链式法则和反函数的导数，直到高阶导数、微分和变化率。它重建导数的历史，从费马求切线的方法到柯西的定义，其间经过牛顿的流数、莱布尼茨的记号、贝克莱的批评和拉格朗日的方案，后者给了导数名称和记号；它提出催生导数的问题，即任意曲线的切线和某一时刻的速度，并用一个例子说明分解如何取代除以零增量的做法。最后，它指出导数在下一单元、本站其他课程以及科学与技术中的用途。
学习目标 描述本单元的进程，说明每一课证明了什么、利用了前面哪些结果。 解释为什么任意曲线的切线和瞬时速度要求把导数定义为极限，以及为什么卡拉泰奥多里分解使得证明各法则时不必除以可能为零的量。 把导数概念的各个阶段置于其历史背景中，从费马的方法到柯西的定义，并指出推动每个阶段的问题或批评。 指出导数在下一单元、其他课程以及科学和技术应用中的作用。 入门测评 在学习本单元之前，先测一测自己的起点是有益的。这份自我测评不计分：它的作用是让人知道该在哪里停留。前九道题按顺序对应本单元的九节内容课，每课一道，考查的是计算或推理的技能，而不是需要记住的陈述；同样的技能会在最后的总结课中用其他数据再次测量。最后五道题检查本单元默认已从上一单元以及代数与几何 I 和 II 中掌握的内容：一个三角函数极限、指数函数的一个重要极限、小 o \operatorname{o} o
开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。
第 1 题 函数 f ( x ) = 1 2 x + 1 f(x) = \frac{1}{2x + 1} f ( x ) = 2 x + 1 1 0 0 0 ( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 )
y = − 2 x y = -2x y = − 2 x 斜率是对的，但这条直线不经过该点：切线是
y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) y = f(0) + f'(0)(x - 0) y = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x − 0 ) ，这里漏掉了
f ( 0 ) = 1 f(0) = 1 f ( 0 ) = 1 。
y = 1 + 2 x y = 1 + 2x y = 1 + 2 x 相减时丢失了符号：
1 2 h + 1 − 1 = − 2 h 2 h + 1 \frac{1}{2h + 1} - 1 = \frac{-2h}{2h + 1} 2 h + 1 1 − 1 = 2 h + 1 − 2 h ，对于较小的
h > 0 h > 0 h > 0 它是负的。函数在
0 0 0 附近递减，斜率为负。
对于
h ≠ 0 h \neq 0 h = 0 （接近
0 0 0 ），差商为
1 h ( 1 2 h + 1 − 1 ) = − 2 2 h + 1 \frac{1}{h}\left(\frac{1}{2h + 1} - 1\right) = \frac{-2}{2h + 1} h 1 ( 2 h + 1 1 − 1 ) = 2 h + 1 − 2 ，它趋于
− 2 -2 − 2 ；因此
f ′ ( 0 ) = − 2 f'(0) = -2 f ′ ( 0 ) = − 2 ，而切线是过
( 0 , 1 ) (0, 1) ( 0 , 1 ) 、以该值为斜率的直线。
复习： 作为函数极限的导数
第 2 题 求 f ( x ) = x 2 + 5 x − 1 f(x) = \frac{x^2 + 5}{x - 1} f ( x ) = x − 1 x 2 + 5 3 3 3
− 1 -1 − 1 没有把分母平方：它在
3 3 3 处的值为
2 2 2 ，其平方为
4 4 4 。
由商法则，
f ′ ( 3 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ ( 3 − 1 ) − ( 3 2 + 5 ) ⋅ 1 ( 3 − 1 ) 2 = 12 − 14 4 f'(3) = \frac{2 \cdot 3 \cdot (3 - 1) - \left(3^2 + 5\right) \cdot 1}{(3 - 1)^2} = \frac{12 - 14}{4} f ′ ( 3 ) = ( 3 − 1 ) 2 2 ⋅ 3 ⋅ ( 3 − 1 ) − ( 3 2 + 5 ) ⋅ 1 = 4 12 − 14 。
复习： 求导法则
第 3 题 求 f ( x ) = e x cos x f(x) = e^x \cos x f ( x ) = e x cos x π 4 \frac{\pi}{4} 4 π
2 e π 4 \sqrt{2} \, e^{\frac{\pi}{4}} 2 e 4 π 把
sin x \sin x sin x 当成了余弦的导数。余弦的导数是
− sin x -\sin x − sin x ，两项在
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π 处相互抵消。
− 2 2 e π 4 -\frac{\sqrt{2}}{2} e^{\frac{\pi}{4}} − 2 2 e 4 π 把两个因子的导数相乘了，
e x ⋅ ( − sin x ) e^x \cdot \left(-\sin x\right) e x ⋅ ( − sin x ) 。乘积的导数不是导数的乘积：缺少项
e x cos x e^x \cos x e x cos x 。
由乘积法则以及指数函数和余弦的导数，
f ′ ( x ) = e x cos x − e x sin x = e x ( cos x − sin x ) f'(x) = e^x \cos x - e^x \sin x = e^x\left(\cos x - \sin x\right) f ′ ( x ) = e x cos x − e x sin x = e x ( cos x − sin x ) ，而在
π 4 \frac{\pi}{4} 4 π 处正弦与余弦相等。图像在该点处的切线是水平的。
复习： 初等函数的导数
第 4 题 求 f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) f(x) = \cos^2(2x) f ( x ) = cos 2 ( 2 x ) π 8 \frac{\pi}{8} 8 π
− 1 -1 − 1 缺少最内层函数
2 x 2x 2 x 的导数，它贡献因子
2 2 2 ：复合中的每个函数都贡献自己的导数，并在与之相应的点处取值。
2 2 2 把
sin \sin sin 当成了余弦的导数：
− sin ( 2 x ) -\sin(2x) − sin ( 2 x ) 中的负号丢失了。
2 \sqrt{2} 2 只对平方求了导，
2 cos ( 2 x ) 2\cos(2x) 2 cos ( 2 x ) ，仿佛余弦是变量。缺少余弦和
2 x 2x 2 x 的导数。
两次应用链式法则，
f ′ ( x ) = 2 cos ( 2 x ) ⋅ ( − sin ( 2 x ) ) ⋅ 2 = − 2 sin ( 4 x ) f'(x) = 2\cos(2x) \cdot \left(-\sin(2x)\right) \cdot 2 = -2\sin(4x) f ′ ( x ) = 2 cos ( 2 x ) ⋅ ( − sin ( 2 x ) ) ⋅ 2 = − 2 sin ( 4 x ) ，而在
π 8 \frac{\pi}{8} 8 π 处正弦的自变量为
π 2 \frac{\pi}{2} 2 π 。
复习： 复合函数求导的链式法则
第 5 题 在下列哪个区间上，波尔查诺定理保证方程 x 3 + 2 x = 5 x^3 + 2x = 5 x 3 + 2 x = 5
[ 0 , 1 ] \icc{0}{1} [ 0 , 1 ] 在这个区间上
F F F 不变号：
F ( 0 ) = − 5 F(0) = -5 F ( 0 ) = − 5 且
F ( 1 ) = − 2 F(1) = -2 F ( 1 ) = − 2 。定理什么也不能保证，事实上那里也没有解，因为
x 3 + 2 x x^3 + 2x x 3 + 2 x 是递增的，其值为
3 3 3 （在
1 1 1 处）。
[ 2 , 3 ] \icc{2}{3} [ 2 , 3 ] F ( 2 ) = 7 F(2) = 7 F ( 2 ) = 7 与
F ( 3 ) = 28 F(3) = 28 F ( 3 ) = 28 同号，所以定理不适用；此外，
x 3 + 2 x x^3 + 2x x 3 + 2 x 在这个区间上的值至少为
12 12 12 。
哪个区间都不行，因为该定理只处理形如 F ( x ) = 0 F(x) = 0 F ( x ) = 0 任何方程都可以把所有项移到一边而写成这种形式：
x 3 + 2 x = 5 x^3 + 2x = 5 x 3 + 2 x = 5 等价于
x 3 + 2 x − 5 = 0 x^3 + 2x - 5 = 0 x 3 + 2 x − 5 = 0 。
函数
F ( x ) = x 3 + 2 x − 5 F(x) = x^3 + 2x - 5 F ( x ) = x 3 + 2 x − 5 是多项式，连续，且
F ( 1 ) = − 2 < 0 F(1) = -2 < 0 F ( 1 ) = − 2 < 0 、
F ( 2 ) = 7 > 0 F(2) = 7 > 0 F ( 2 ) = 7 > 0 ；由波尔查诺定理，它在
( 1 , 2 ) \ioo{1}{2} ( 1 , 2 ) 的某一点处为零，该点就是方程的一个解。
复习： 介值定理
第 6 题 函数 f ( x ) = x 5 + x f(x) = x^5 + x f ( x ) = x 5 + x R \mathbb{R} R ( f − 1 ) ′ ( 2 ) \left(f^{-1}\right)'(2) ( f − 1 ) ′ ( 2 )
1 81 \frac{1}{81} 81 1 这里求的是
f f f 的导数在
2 2 2 处的值，而该数是
f f f 的一个函数值，不是其定义域中与之对应的点。公式是
1 f ′ ( f − 1 ( 2 ) ) \frac{1}{f'\left(f^{-1}(2)\right)} f ′ ( f − 1 ( 2 ) ) 1 ，且
f − 1 ( 2 ) = 1 f^{-1}(2) = 1 f − 1 ( 2 ) = 1 。
6 6 6 这是
f f f 在与
2 2 2 对应的点处的导数；反函数的导数是它的倒数：图像经过反射后，斜率
m m m 变为
1 m \frac{1}{m} m 1 。
由于
f ( 1 ) = 2 f(1) = 2 f ( 1 ) = 2 ，有
f − 1 ( 2 ) = 1 f^{-1}(2) = 1 f − 1 ( 2 ) = 1 ，且
f ′ ( 1 ) = 5 + 1 = 6 f'(1) = 5 + 1 = 6 f ′ ( 1 ) = 5 + 1 = 6 ，不为零。由反函数的导数定理，
( f − 1 ) ′ ( 2 ) = 1 f ′ ( 1 ) \left(f^{-1}\right)'(2) = \frac{1}{f'(1)} ( f − 1 ) ′ ( 2 ) = f ′ ( 1 ) 1 。
复习： 反函数的导数与隐函数求导
第 7 题 求 F ( x ) = ( x 2 + 1 ) x F(x) = \left(x^2 + 1\right)^x F ( x ) = ( x 2 + 1 ) x 1 1 1
1 + ln 2 1 + \ln 2 1 + ln 2 这是
ln ( F ( x ) ) \ln(F(x)) ln ( F ( x )) 的导数，即对数导数
F ′ ( 1 ) F ( 1 ) \frac{F'(1)}{F(1)} F ( 1 ) F ′ ( 1 ) ；还需要乘以
F ( 1 ) = 2 F(1) = 2 F ( 1 ) = 2 。
对任意
x x x ，
F ( x ) = e x ln ( x 2 + 1 ) F(x) = e^{x \ln\left(x^2 + 1\right)} F ( x ) = e x l n ( x 2 + 1 ) ，且
F ′ ( x ) = F ( x ) ( ln ( x 2 + 1 ) + 2 x 2 x 2 + 1 ) F'(x) = F(x)\left(\ln\left(x^2 + 1\right) + \frac{2x^2}{x^2 + 1}\right) F ′ ( x ) = F ( x ) ( ln ( x 2 + 1 ) + x 2 + 1 2 x 2 ) 。在
1 1 1 处，
F ( 1 ) = 2 F(1) = 2 F ( 1 ) = 2 ，括号内的值为
ln 2 + 1 \ln 2 + 1 ln 2 + 1 。
复习： 指数中的变量与对数求导法
第 8 题 求 5 5 5 f ( x ) = x e 2 x f(x) = x e^{2x} f ( x ) = x e 2 x 0 0 0
0 0 0 把两个因子的
5 5 5 阶导数相乘了，而
x x x 的五阶导数为零。乘积的
5 5 5 阶导数是一个和，包含把五次求导分配给各因子的所有方式。
160 160 160 在对因子
x x x 求一次导的那一项中，指数函数求四次导，而不是五次：它的
4 4 4 阶导数是
2 4 e 2 x 2^4 e^{2x} 2 4 e 2 x 。
由莱布尼茨公式，由于
x x x 的阶数大于
1 1 1 的导数都为零，只剩两项：
f ( 5 ) ( x ) = x ⋅ 2 5 e 2 x + ( 5 1 ) ⋅ 1 ⋅ 2 4 e 2 x f^{(5)}(x) = x \cdot 2^5 e^{2x} + \binom{5}{1} \cdot 1 \cdot 2^4 e^{2x} f ( 5 ) ( x ) = x ⋅ 2 5 e 2 x + ( 1 5 ) ⋅ 1 ⋅ 2 4 e 2 x 。在
0 0 0 处，第一项为零，第二项等于
5 ⋅ 16 5 \cdot 16 5 ⋅ 16 。
复习： 高阶导数与微分
第 9 题 一个矩形的面积保持为 6 6 6 3 3 3 2 2 2
不变：高为 3 3 3 0 0 0 在求导之前就代入了
y = 3 y = 3 y = 3 。高只在那一时刻等于
3 3 3 ；要求导的关系式是在每一时刻都成立的那一个。
以每秒 3 2 \frac{3}{2} 2 3 这是高对底的导数
d y d x = − y x \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\frac{y}{x} d x d y = − x y 。对时间的变化快慢要把它乘以
d x d t = 3 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 3 d t d x = 3 才能得到。
若
x ( t ) x(t) x ( t ) 为底、
y ( t ) y(t) y ( t ) 为高，则在每一时刻都有
x ( t ) y ( t ) = 6 x(t) \, y(t) = 6 x ( t ) y ( t ) = 6 ；对时间求导，得
x ′ ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ′ ( t ) = 0 x'(t) \, y(t) + x(t) \, y'(t) = 0 x ′ ( t ) y ( t ) + x ( t ) y ′ ( t ) = 0 。当底长为
2 2 2 时，高为
3 3 3 ，由
3 ⋅ 3 + 2 y ′ = 0 3 \cdot 3 + 2 \, y' = 0 3 ⋅ 3 + 2 y ′ = 0 得
y ′ = − 9 2 y' = -\frac{9}{2} y ′ = − 2 9 。
复习： 变化率与相关变化率
第 10 题 来自前面的单元 求 lim h → 0 cos h − 1 h \lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} lim h → 0 h c o s h − 1
1 1 1 这是
sin h h \frac{\sin h}{h} h s i n h 的极限，不是这个商的极限：余弦偏离
1 1 1 的速度远比正弦偏离
0 0 0 的速度慢。
− 1 2 -\frac{1}{2} − 2 1 这是
cos h − 1 h 2 \frac{\cos h - 1}{h^2} h 2 c o s h − 1 的极限，分母中是
h 2 h^2 h 2 。分母为
h h h 时，这个商多出一个因子
h h h ，它趋于
0 0 0 。
对于
h ≠ 0 h \neq 0 h = 0 ，这个商等于
− h ⋅ 1 − cos h h 2 -h \cdot \frac{1 - \cos h}{h^2} − h ⋅ h 2 1 − c o s h ，是一个趋于
0 0 0 的函数与另一个趋于
1 2 \frac{1}{2} 2 1 的函数之积。
复习： 夹逼定理与三角函数的极限
第 11 题 来自前面的单元 求 lim h → 0 e − 2 h − 1 h \lim_{h \to 0} \frac{e^{-2h} - 1}{h} lim h → 0 h e − 2 h − 1
1 1 1 没有作变量代换就套用了重要极限：指数是
− 2 h -2h − 2 h ，不是
h h h 。
2 2 2 丢失了指数的符号：
e − 2 h e^{-2h} e − 2 h 小于
1 1 1 （当
h > 0 h > 0 h > 0 时），所以这个商为负。
0 0 0 仅仅分子趋于
0 0 0 是不够的：分母也趋于
0 0 0 。
作变量代换
u = − 2 h u = -2h u = − 2 h ，当
h ≠ 0 h \neq 0 h = 0 时它不为零，这个商就是
− 2 ⋅ e u − 1 u -2 \cdot \frac{e^u - 1}{u} − 2 ⋅ u e u − 1 ，而重要极限
lim u → 0 e u − 1 u = 1 \lim_{u \to 0} \frac{e^u - 1}{u} = 1 lim u → 0 u e u − 1 = 1 给出
− 2 -2 − 2 。
复习： 初等函数的连续性与重要极限
第 12 题 来自前面的单元 下列哪个函数是 o ( h ) \operatorname{o}(h) o ( h ) h → 0 h \to 0 h → 0
sin h \sin h sin h 它与
h h h 等价，并非可忽略：它与
h h h 之商趋于
1 1 1 。
∣ h ∣ \sqrt{\abs{h}} ∣ h ∣ 它趋于
0 0 0 ，但比
h h h 慢：它与
h h h 之商无界。
2 h + h 2 2h + h^2 2 h + h 2 加项
h 2 h^2 h 2 相对于
h h h 可忽略，但
2 h 2h 2 h 不是：与
h h h 之商趋于
2 2 2 ，该函数与
h h h 同阶。
它与
h h h 之商为
sin h \sin h sin h ，趋于
0 0 0 ：它相对于
h h h 可忽略。
复习： 等价无穷小与等价无穷大
第 13 题 来自前面的单元 若 f ( x ) = 2 x 3 + 3 f(x) = 2x^3 + 3 f ( x ) = 2 x 3 + 3 f − 1 ( 19 ) f^{-1}(19) f − 1 ( 19 )
1 13721 \frac{1}{13721} 13721 1 把
f − 1 f^{-1} f − 1 读成了倒数
1 f \frac{1}{f} f 1 ：这里的指数
− 1 -1 − 1 表示反函数，而不是乘法逆元。
13721 13721 13721 这是
f ( 19 ) f(19) f ( 19 ) ，即
19 19 19 的像；反函数走的是相反的路，寻找的是原像。
f − 1 ( 19 ) f^{-1}(19) f − 1 ( 19 ) 是像为
19 19 19 的那个数：由
2 x 3 + 3 = 19 2x^3 + 3 = 19 2 x 3 + 3 = 19 得
x 3 = 8 x^3 = 8 x 3 = 8 ，从而
x = 2 x = 2 x = 2 。
复习： 函数的运算、反函数与图像变换
第 14 题 来自前面的单元 cos ( arcsin ( − 3 5 ) ) \cos\left(\arcsin\left(-\frac{3}{5}\right)\right) cos ( arcsin ( − 5 3 ) )
反正弦的取值在
[ − π 2 , π 2 ] \icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}} [ − 2 π , 2 π ] 中，在这里余弦非负；由勾股恒等式，余弦为
1 − 9 25 \sqrt{1 - \frac{9}{25}} 1 − 25 9 。
复习： 反三角函数
检查答案 重新作答
本课节其余部分
本单元的内容 历史背景 微积分出现之前的切线 流数与微分 从批评到定义 没有导数的函数与一种分解 催生这一概念的问题 导数的意义 在本课程的其余部分 在其他课程中 在科学与技术中 使用免费账户继续阅读
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