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Topos Uranos
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介值定理

摘要

本课证明关于区间上连续函数的第一个重要定理：连续函数从一个值变到另一个值时，不可能不取遍介于其间的所有值。首先用完备性公理证明波尔查诺定理，它保证函数变号时存在零点；由它推出介值定理、区间的像是区间，以及连续且严格单调的函数的反函数连续，而反函数的导数正需要这一结果。定理没有指出零点在哪里，但二分法能以任意所需的精度确定它的位置。本课把定理应用于方程根的存在性、奇次多项式和不动点。

学习目标

  1. 用完备性公理证明波尔查诺定理，并由它推出介值定理。
  2. 证明区间在连续函数下的像是区间，并推出连续且严格单调的函数的反函数的连续性。
  3. 用该定理证明方程解的存在性，并用二分法确定解的位置。

波尔查诺定理

在直观的图景中，区间上的连续函数的图像可以不抬起铅笔一笔画出；如果它从轴的下方开始、在轴的上方结束，就必须穿过轴。这种直觉需要证明，因为它依赖于实数：函数 x2−2x^2 - 2 在 00 处为负，在 22 处为正，但如果只考虑有理数，它就永远不会等于零，因为 2\sqrt{2} 不是有理数。因此，证明要通过上确界来使用完备性公理。

定理波尔查诺定理

设 ff 在 [a,b]\icc{a}{b} 上连续，且 f(a)<0<f(b)f(a) < 0 < f(b)。那么存在 cc（属于 (a,b)\ioo{a}{b}），使得 f(c)=0f(c) = 0。若 f(a)>0>f(b)f(a) > 0 > f(b)，结论同样成立。 取函数为负的那些点的上确界；关于极限与连续性的那一课中的保号性，排除了函数在该点为负或为正的可能。图中先画出这些点的集合及其上确界，再画出两种不可能的情形。

证明

  1. S={x∈[a,b]:f(x)<0},c=sup⁡SS = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}

    设 SS 为全体 xx（取自 [a,b]\icc{a}{b}，且使 f(x)<0f(x) < 0）组成的集合。它不是空集，因为它包含 aa，而且 bb 是一个上界；由完备性公理，它有上确界 cc，且 a≤c≤ba \leq c \leq b。

  2. f(c)<0→c+δ2∈S,c+δ2>cf(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c

    若 f(c)<0f(c) < 0，则 c≠bc \neq b，因为 f(b)>0f(b) > 0。由保号性，ff 在 [c,c+δ)\ico{c}{c + \delta} 上为负，其中 δ>0\delta > 0 为某个适当的数，并且可以取得使 c+δ≤bc + \delta \leq b；于是 SS 含有大于 cc 的点，cc 就不会是上界。

  3. f(c)>0→sup⁡S≤c−δ<c,f(c)=0f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}

    若 f(c)>0f(c) > 0，则 c≠ac \neq a。由保号性，ff 在 (c−δ,c]\ioc{c - \delta}{c} 上为正，其中 δ>0\delta > 0 为某个适当的数，并且可以取得使 c−δ≥ac - \delta \geq a，因而该区间中没有点属于 SS；由于大于 cc 的点也不属于它，数 c−δc - \delta 就会是一个小于上确界的上界。因此，f(c)=0f(c) = 0，并且 cc 既不是 aa 也不是 bb。第二种情形考虑 −f-f 即可化为第一种情形。