二次多项式与 2n 次三项式的因式分解

摘要

本课用配方推导二次多项式的求根公式，研究判别式与韦达定理所述的根与系数的关系，并得到因式分解 $a(x - x_1)(x - x_2)$ 。随后把这一方法推广到次数为 $2n$ 的三项式，即形如 $a x^{2n} + b x^n + c$ 的三项式，方法是作换元 $u = x^n$ ；并说明一个次数为 $4$ 的三项式即使判别式为负也可以分解。

学习目标

用配方推导求根公式，并用它进行因式分解。
解释判别式的意义，并运用韦达定理所述的根与系数的关系。
分解次数为 $2n$ 的三项式，方法是作换元 $u = x^n$ 并利用乘法公式。
判断二次多项式何时在实数范围内不可约，并分解一个判别式为负的 $4$ 次三项式。
列出归结为二次方程的应用题，例如球的飞行或菜园的设计，并结合实际情境解释其根与判别式。

二次多项式

二次多项式是次数为 $2$ 的多项式；系数为实数 $a$ 、 $b$ 和 $c$ ，且 $a \neq 0$ 时，它写成：

P(x) = ax^2 + bx + c

对它进行因式分解，就是把它写成两个 $1$ 次多项式的积。由在关于多项式的代数的课中学过的因式定理，每个实根 $r$ 给出一个因式 $x - r$ ；因此，分解二次多项式等价于求出它的根。求根的方法是配方。

定理求根公式

设 $ax^2 + bx + c$ 是二次多项式， $a \neq 0$ 。对任意实数 $x$ ，下面的等式成立，它称为配方形式；若 $b^2 - 4ac \geq 0$ ，则多项式的根恰为数 $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 。

ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\right]

其想法来自几何： $x^2 + \frac{b}{a}x$ 是边长为 $x$ 的正方形的面积加上边长为 $x$ 和 $\frac{b}{a}$ 的矩形的面积。如果把矩形分成两半，分别放在正方形的两条边上，那么只缺一个角就能补成一个更大的正方形，其边长为 $x + \frac{b}{2a}$ 。

证明

$ax^2 + bx + c = a\left(x^2 + \dato{s}{\frac{b}{a}x} + \frac{c}{a}\right)$
因为 $a \neq 0$ ，提出公因式 $a$ 。
$x^2 + \resaltar{\frac{b}{a}x} = \dato{c}{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2} - \resaltar{\frac{b^2}{4a^2}}$
$x + \frac{b}{2a}$ 的平方包含 $x^2$ 、项 $\frac{b}{a}x$ 和角 $\frac{b^2}{4a^2}$ ；减去这个角，就得到所求的和。
$ax^2 + bx + c = a\left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \dato{d}{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}\right]$
代入括号内，并把常数项合并为一个分数，因为 $\frac{c}{a} = \frac{4ac}{4a^2}$ 。
$ax^2 + bx + c = 0 \leftrightarrow \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
因为 $a \neq 0$ ，多项式为零当且仅当方括号为零。
$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \resaltar{\left(\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\right)^2} = 0 \leftrightarrow x + \frac{b}{2a} = \resaltar{\pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}}$
若 $b^2 - 4ac \geq 0$ ，则数 $w = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 满足 $w^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ ，无论 $a$ 的符号如何。令 $u$ 表示 $x + \frac{b}{2a}$ ，由平方差公式，方程化为 $(u - w)(u + w) = 0$ ；而由关于代数函数的课中的积的符号引理，实数之积为零仅当某个因数为零。由此，方程恰好等价于 $u = w$ 或 $u = -w$ ：既不丢失也不增加任何根。
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
解出 $x$ ：这就是求根公式。