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Topos Uranos
中文 (中国)

三角函数及其图像

摘要

本课把正弦、余弦和正切作为以弧度度量的实变量的函数来研究。它确定这些函数的定义域、值域、零点、最大值与最小值以及奇偶性，并证明 2π2\pi 是正弦和余弦的最小正周期，π\pi 是正切的最小正周期。它通过展开单位圆作出正弦的图像，通过平移得到余弦的图像，并用符号表描述正切的垂直渐近线；由此推出正割、余割和余切的图像。它通过比较面积证明不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x（这里 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}），并研究正弦型曲线 y=asin⁡(b(x−c))+dy = a \sin(b(x - c)) + d，用它们可以为日长、潮汐或摩天轮的运动等周期现象建立模型。

学习目标

  1. 把正弦、余弦和正切定义为实变量的函数，并证明它们的值域、零点、最值、奇偶性和最小正周期。
  2. 从单位圆出发作出六个三角函数的图像，并用符号表描述垂直渐近线。
  3. 证明不等式 sin⁡x<x<tan⁡x\sin x < x < \tan x（这里 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}）以及估计式 ∣sin⁡x∣≤∣x∣\abs{\sin x} \leq \abs{x}，并用它们研究函数和方程。
  4. 把正弦型曲线的振幅、周期、相移和竖直平移解释为正弦图像的变换，并用正弦型曲线拟合周期现象。

作为函数的正弦和余弦

在三角比一课中，任意角的正弦和余弦被定义为点 P(θ)P(\theta) 的坐标，这个点是处于标准位置的角的终边与单位圆的交点。然而，根据角及其度量一课，每个实数都是某个有向角的弧度数，并且两个角的终边相同当且仅当它们的度量相差 2π2\pi 的整数倍。若是如此，正弦和余弦就可以看作定义在整个 R\mathbb{R} 上的函数：对每个实数 xx，对应点 P(x)P(x) 的一个坐标。

对每个实数 xx，设 P(x)P(x) 是单位圆上与处于标准位置、大小为 xx 弧度的角对应的点。正弦函数把 xx 对应到 P(x)P(x) 的纵坐标，余弦函数则对应到它的横坐标。两者的定义域都是全体实数的集合。
P(x)=(cos⁡x,sin⁡x),x∈RP(x) = (\cos x, \sin x), \quad x \in \mathbb{R}

变量总是用弧度而不用角度来度量。这一选择并不是无关紧要的约定：第二节的结果，例如 sin⁡x<x\sin x < x（对正的 xx），把正弦与变量本身相比较，而这种比较只有当 xx 是在单位圆上走过的弧长时才有意义，而这正是一弧度所度量的。

定理正弦和余弦的性质

正弦的值域和余弦的值域都是区间 [−1,1]\icc{-1}{1}。对每个实数 xx，有 sin⁡(x+2π)=sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x 和 cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x；正弦是奇函数，余弦是偶函数。正弦恰在 π\pi 的整数倍处为零，取值 11 的点恰为数 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi，取值 −1-1 的点恰为数 −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi，其中 kk 为整数。余弦恰在数 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi 处为零，取值 11 的点恰为数 2kπ2k\pi，取值 −1-1 的点恰为数 π+2kπ\pi + 2k\pi。

一切都可以在单位圆上读出，所用的是平方关系和在三角比一课中证明的对称性。

证明

  1. sin⁡2x=1−cos⁡2x≤1→−1≤sin⁡x≤1\sin^2 x = \resaltar{1 - \cos^2 x} \leq 1 \rightarrow \dato{c}{\resaltar{-1 \leq \sin x \leq 1}}

    由平方关系，正弦的平方至多为 11，于是正弦介于 −1-1 和 11 之间；余弦也是如此。

  2. Q=(1−c2,c),(1−c2)2+c2=1→ran⁡(sin⁡)=ran⁡(cos⁡)=[−1,1]Q = \left( \sqrt{1 - c^2}, c \right), \quad \resaltar{\left( \sqrt{1 - c^2} \right)^2 + c^2} = \resaltar{1} \rightarrow \operatorname{ran}(\sin) = \operatorname{ran}(\cos) = \icc{-1}{1}

    反过来，给定 cc（满足 −1≤c≤1-1 \leq c \leq 1），下面的点 QQ 在单位圆上；由按弧长行进公理的覆盖性质（这条公理已在角及其度量一课中承认），它是点 P(x)P(x)，这里 xx 是某个角，于是 sin⁡x=c\sin x = c。同样，点 (c,1−c2)\left( c, \sqrt{1 - c^2} \right) 说明余弦取值 cc。

  3. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,cos⁡(x+2π)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,cos⁡(−x)=cos⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \cos(-x) = \cos x

    xx 弧度的角和 x+2πx + 2\pi 弧度的角终边相同，所以 P(x+2π)=P(x)P(x + 2\pi) = P(x)。此外，P(−x)P(-x) 是 P(x)P(x) 关于水平轴的反射，这在三角比一课中已经证明：正弦是奇函数，余弦是偶函数。

  4. sin⁡x=0↔x=kπ,cos⁡x=0↔x=π2+kπ,k∈Z\sin x = 0 \leftrightarrow x = k\pi, \quad \cos x = 0 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

    当 P(x)P(x) 在水平轴上，即为 (1,0)(1, 0) 或 (−1,0)(-1, 0) 时，正弦为零；这两点是角 00 和 π\pi 以及与它们终边相同的角的点。当 P(x)P(x) 为 (0,1)(0, 1) 或 (0,−1)(0, -1) 时，余弦为零。

  5. sin⁡x=1→cos⁡2x=1−1=0→P(x)=(0,1)\sin x = 1 \rightarrow \cos^2 x = \resaltar{1 - 1} = \resaltar{0} \rightarrow P(x) = (0, 1)

    若 sin⁡x=1\sin x = 1，则平方关系迫使余弦为零，点 P(x)P(x) 是 (0,1)(0, 1)，它对应于角 π2\frac{\pi}{2}；若 sin⁡x=−1\sin x = -1，则该点是 (0,−1)(0, -1)，它对应于 −π2-\frac{\pi}{2}。

  6. sin⁡x=1↔x=π2+2kπ,sin⁡x=−1↔x=−π2+2kπ,cos⁡x=1↔x=2kπ,cos⁡x=−1↔x=π+2kπ\sin x = 1 \leftrightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \sin x = -1 \leftrightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad \cos x = 1 \leftrightarrow x = 2k\pi, \quad \cos x = -1 \leftrightarrow x = \pi + 2k\pi

    同样地推理，余弦取值 11 的情形是 P(x)=(1,0)P(x) = (1, 0)，取值 −1-1 的情形是 P(x)=(−1,0)P(x) = (-1, 0)。总之，正弦和余弦的最值在下列各数处取得，其中 kk 为整数。

正弦的图像

函数 y=sin⁡xy = \sin x 的图像是把单位圆展开到水平轴上得到的：当点 P(x)P(x) 沿圆周运动时，走过的弧（长为 xx）被移到横轴上，并在每个横坐标上方竖起该点的高度。利用三角比一课中的对称性，可以由图像的前四分之一作出整个图像。

例题作为展开的圆的正弦图像

图中把单位圆展开到水平轴上，两者用同一长度单位：点 P(x)P(x) 的高度被移到横坐标 xx 处，整个图像由第一个四分之一的重复和反射得到。

证明

  1. sin⁡0=0,sin⁡π2=1\sin 0 = 0, \quad \sin \frac{\pi}{2} = 1

    当 xx 从 00 增加到 π2\frac{\pi}{2} 时，点 P(x)P(x) 从 (1,0)(1, 0) 到 (0,1)(0, 1) 走过第一象限。由按弧长行进公理的半周性质，它的横坐标 cos⁡x\cos x 从 11 严格递减到 00；由于它的高度是非负平方根 1−cos⁡2x\sqrt{1 - \cos^2 x}，高度从 00 严格递增到 11。在反三角函数一课中，同样的论证推广到整个区间 [−π2,π2]\icc{-\frac{\pi}{2}}{\frac{\pi}{2}}。

  2. sin⁡π6=12,sin⁡π4=22,sin⁡π3=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

    三角比一课中算出的特殊角的值给出第一条弧上的三个中间点。

  3. sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

    在 π2\frac{\pi}{2} 与 π\pi 之间，互补角的对称性表明 π−x\pi - x 处的高度与 xx 处的高度相同：第一条弧关于竖直直线 x=π2x = \frac{\pi}{2} 对称，并一直下降到 00（在 π\pi 处）。

  4. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x

    在 π\pi 与 2π2\pi 之间，点 P(x+π)P(x + \pi) 是 P(x)P(x) 的对径点：高度改变符号，图像在轴的下方重复前面那条弧，平移 π\pi 并加以反射。

  5. sin⁡(x+2π)=sin⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \sin(-x) = -\sin x

    由周期性，00 与 2π2\pi 之间的部分（称为一个循环）向右和向左重复；又因为正弦是奇函数，图像关于原点对称。

正弦的图像是一条在直线 y=−1y = -1 与 y=1y = 1 之间振荡的波，它在 π\pi 的倍数处与水平轴相交，在数 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi 处取得最大值，在数 −π2+2kπ-\frac{\pi}{2} + 2k\pi 处取得最小值，这与上述定理一致。

此外，这幅图还默认了两条性质，展开的圆暗示了它们，但本单元的工具不足以证明：图像是一条没有间断的曲线，以及位于轴上方的每条弧总是向下弯曲。两者都借助极限来定义，并在微积分 I课程中证明；这里承认它们。本单元没有任何定理依赖于它们：它们只在某些问题中用到，而这些问题会明确指出。

不加证明的事实（三角函数及其反函数的连续性）。正弦和余弦在整个实数轴上连续；正切、正割、余割和余切在其定义域所含的每个区间上连续；反正弦、反余弦和反正切（将在反三角函数一课中定义）在其定义域上连续。连续函数的和、积、分母不为零的商以及复合都是连续的。因此，课程 I 中不加证明承认的关于介值定理的事实（在有理函数一课中陈述）在定义域所含的每个闭区间上适用于像 sin⁡x−x10\sin x - \frac{x}{10}、tan⁡x−x\tan x - x 或 arcsin⁡x+arctan⁡x\arcsin x + \arctan x 这样的函数：如果它们在端点处变号，就在某个内点处为零。
不加证明的事实（正弦的上凸性）。正弦在每个区间 [2kπ,(2k+1)π]\icc{2k\pi}{(2k + 1)\pi}（kk 为整数）上严格上凸：若 u<x<vu < x < v 是该区间中的点，则图像上横坐标为 xx 的点严格位于连接图像上横坐标为 uu 和 vv 的两点的线段上方。
u<x<v→sin⁡x>(v−x)sin⁡u+(x−u)sin⁡vv−uu < x < v \rightarrow \sin x > \frac{(v - x) \sin u + (x - u) \sin v}{v - u}

周期函数

一个函数 ff 称为周期函数，如果存在数 p>0p > 0，使得对定义域中的每个 xx，x+px + p 和 x−px - p 都属于定义域，并且 f(x+p)=f(x)f(x + p) = f(x) 成立；这样的数称为 ff 的一个周期。若 pp 是周期，则 2p2p、3p3p 也是周期，由归纳法，它的所有自然数倍都是周期：f(x+2p)=f((x+p)+p)=f(x+p)=f(x)f(x + 2p) = f((x + p) + p) = f(x + p) = f(x)。因此，周期函数有无穷多个周期，其中最值得关注的是最小的那个（如果存在），称为最小正周期。它的图像由长度等于周期的一个区间所对应的部分一再重复而得到。

引理周期都是最小正周期的倍数

若 qq 是函数 ff 的最小正周期，则 ff 的周期恰好是数 kqkq（kk 为自然数）。

把任一周期除以 qq，像带余除法那样，并证明余数不可能为正。图中用的是一个最小正周期为 qq 的函数。

证明

  1. f(x+kq)=f(x),k∈N\dato{m}{f(x + kq) = f(x)}, \quad k \in \mathbb{N}

    qq 的每个自然数倍都是周期，这刚刚用归纳法看到了。

  2. kq≤p<(k+1)q→0≤r=p−kq<q\resaltar{kq \leq p < (k + 1)q} \rightarrow \dato{r}{\resaltar{0 \leq r = p - kq < q}}

    反过来，设 pp 是一个周期；由 qq 的最小性，有 p≥qp \geq q。由实数的阿基米德性质（已在课程 I 的有理数的小数表示一课中证明）和良序原理，正如角及其度量一课中化到第一周的定理那样，存在自然数 k≥1k \geq 1，使得 kq≤p<(k+1)qkq \leq p < (k + 1)q，而余数 r=p−kqr = p - kq 介于 00 和 qq 之间，后者除外。

  3. f(x+r)=f(x+r+kq)=f(x+p)=f(x)f(x + r) = f(x + \resaltar{r + kq}) = f(x + \resaltar{p}) = f(x)

    如果 rr 是正的，它就是一个周期：先前进 rr，再前进 kqkq，就前进了 pp，而 kqkq 和 pp 都是周期。

  4. r=0→p=kqr = 0 \rightarrow p = kq

    但是一个小于 qq 的正周期与 qq 的最小性矛盾。因此余数为零，pp 是 qq 的自然数倍。

定理正弦和余弦的最小正周期

数 2π2\pi 是正弦和余弦的最小正周期。

由性质定理，2π2\pi 是这两个函数的周期。剩下要证明 00 与 2π2\pi 之间没有任何数是周期，为此只需看最大值在哪里取得。

证明

  1. sin⁡(π2+p)=sin⁡π2=1\dato{m}{\sin \left( \frac{\pi}{2} + p \right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1}

    假设 pp（这里 0<p<2π0 < p < 2\pi）是正弦的周期。在等式 sin⁡(x+p)=sin⁡x\sin(x + p) = \sin x 中取 x=π2x = \frac{\pi}{2}，则数 π2+p\frac{\pi}{2} + p 也是最大值点。

  2. π2+p=π2+2kπ→p=2kπ\frac{\pi}{2} + p = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \rightarrow p = 2k\pi

    由性质定理，正弦取值 11 的点只有数 π2+2kπ\frac{\pi}{2} + 2k\pi：于是 pp 是 2π2\pi 的整数倍，而这在 00 与 2π2\pi 之间是不可能的。换句话说，正弦的两个相邻最大值点恰好相距 2π2\pi。

  3. cos⁡p=cos⁡0=1→p=2kπ\cos p = \cos 0 = 1 \rightarrow p = 2k\pi

    对余弦，在 x=0x = 0 处同样推理：周期 pp 会给出 cos⁡p=cos⁡0=1\cos p = \cos 0 = 1，而余弦取值 11 的点只有 2π2\pi 的整数倍。

由前面的引理，正弦和余弦的周期恰好是数 2kπ2k\pi（kk 为自然数）。

作为平移后的正弦的余弦

余弦的图像不需要新的作图，因为它就是平移后的正弦图像。

定理余弦是平移后的正弦

对每个实数 xx，有 cos⁡x=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right)。因此，y=cos⁡xy = \cos x 的图像是正弦图像向左平移 π2\frac{\pi}{2} 个单位。

先结合互余角和互补角的对称性，再用课程 I 的函数的运算一课中的变换定理。

证明

  1. cos⁡x=sin⁡(π2−x)\cos x = \dato{c}{\sin \left( \frac{\pi}{2} - x \right)}

    由互余角的对称性，xx 的余弦是 π2−x\frac{\pi}{2} - x 的正弦。

  2. cos⁡x=sin⁡(π−(π2−x))=sin⁡(x+π2)\cos x = \sin \left( \resaltar{\pi - \left( \frac{\pi}{2} - x \right)} \right) = \dato{t}{\sin \left( \resaltar{x + \frac{\pi}{2}} \right)}

    由互补角的对称性，sin⁡(π−u)=sin⁡u\sin(\pi - u) = \sin u；取 u=π2−xu = \frac{\pi}{2} - x，角 π−u\pi - u 就是 π2+x\frac{\pi}{2} + x。

  3. y=sin⁡(x−(−π2))y = \sin \left( x - \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right)

    由变换定理，y=f(x−h)y = f(x - h) 的图像是 ff 的图像沿水平方向平移 hh 个单位。这里 ff 是正弦，且 h=−π2h = -\frac{\pi}{2}：正弦图像的每个点向左平移 π2\frac{\pi}{2}。最大值点由 (π2,1)\left( \frac{\pi}{2}, 1 \right) 移到 (0,1)(0, 1)。

  4. cos⁡(−x)=cos⁡x,cos⁡0=1,cos⁡π=−1\cos(-x) = \cos x, \quad \cos 0 = 1, \quad \cos \pi = -1

    在平移后的图像上可以读出余弦的性质：它关于竖直轴对称，因为余弦是偶函数；它在数 π2+kπ\frac{\pi}{2} + k\pi 处与水平轴相交；它取最大值 11 的点是 π\pi 的偶数倍，取最小值 −1-1 的点是奇数倍。