一次方程、一次不等式与线性方程组

摘要

本课研究一次方程、一次不等式和线性方程组。课中证明哪些运算把一个方程变为另一个解相同的方程，并说明为什么乘以一个可能为零的式子，或者两边平方，可能增添或丢失解。课中完整地讨论方程 $ax + b = 0$ ，包括其系数依赖于参数的情形，求解含分式的方程和线性不等式（单个的和联立的），并把它们的解集写成区间。最后，用代入消元法、加减消元法和比较法求解由两个方程组成的二元方程组，证明克拉默法则，按行列式对方程组分类，用加减消元法求解一个三元方程组，并把混合、年龄和速度问题转化为方程组。

学习目标

论证哪些运算保持方程或不等式的解集，并识别可能增添或丢失解的运算。
讨论并求解一次方程（含参数的或含分式的）以及线性不等式（单个的和联立的），把它们的解写成区间。
用代入消元法、加减消元法和比较法求解二元线性方程组，并借助克拉默法则按行列式对其分类。
列出并求解为问题建模的线性方程组，解释有无穷多解或无解的情形。

方程与同解方程

方程（未知数为 $x$ ）是一个等式 $A = B$ ，其两边是依赖于 $x$ 的两个式子。它的解是这样的实数 $x_0$ ：两个式子在该处都有定义并取相同的值；这些数构成的集合称为方程的解集。解方程就是描述这个集合，它可能有一个元素、若干个、无穷多个，或者一个也没有。例如， $2x - 6 = 0$ 的解集是 $\{3\}$ ， $x + 1 = 1 + x$ 的解集是整个实数轴，而 $x + 1 = x$ 的解集是空集。

两个方程若有相同的解集，就称为同解方程。解方程的一般方法是把它换成一串同解方程，每一个都比前一个简单，直到得到一个能直接读出解集的方程，例如 $x = 3$ 。然而，这串方程的每一环都必须保持解，既不增添也不丢失任何解；由此可知，首先要弄清哪些运算能保证这一点。

保持解的运算

两个基本运算是：两边加上同一个式子，以及两边乘以同一个非零数。减法和除法是它们的特例，因为减去 $C$ 就是加上 $-C$ ，除以 $k$ 就是乘以 $k^{-1}$ ，这在关于数集的课中已经见过。

定理保持解的运算

设 $A$ 、 $B$ 和 $C$ 是未知数 $x$ 的式子，定义在同一个实数集上，并设 $k$ 是非零实数。那么方程 $A = B$ 、 $A + C = B + C$ 和 $kA = kB$ 有相同的解集。更一般地，若式子 $C$ 在该集合的任何点都不为零，则 $A = B$ 与 $CA = CB$ 有相同的解集。对每个运算都要证明两个包含关系：原方程的每个解都是变形后方程的解，反之亦然。图把方程画成一架平衡的天平，如果在两个秤盘上做同样的事，平衡就得以保持。

证明

$\dato{s}{A(x_0) = B(x_0)} \rightarrow A(x_0) + \resaltar{C(x_0)} = B(x_0) + \resaltar{C(x_0)}$
设 $x_0$ 是 $A = B$ 的解：数 $A(x_0)$ 与 $B(x_0)$ 是同一个数，给它们加上同一个数，得到同一个结果。所以 $A = B$ 的每个解都是 $A + C = B + C$ 的解。
$\left( A(x_0) + C(x_0) \right) + \resaltar{(-C(x_0))} = A(x_0) + 0 = \resaltar{A(x_0)}$
反之，若 $x_0$ 满足 $A + C = B + C$ ，我们在两边加上 $C(x_0)$ 的相反数。由结合律和相反数的定义，每一边只剩下第一个加数，从而 $A(x_0) = B(x_0)$ ：两个解集相同。
$A(x_0) = B(x_0) \rightarrow \resaltar{k} A(x_0) = \resaltar{k} B(x_0)$
同样，若 $x_0$ 是 $A = B$ 的解，把同一个数乘以 $k$ ，得到同一个结果。
$\resaltar{k^{-1}} \left( k A(x_0) \right) = \left( k^{-1} k \right) A(x_0) = \resaltar{A(x_0)}$
反之，因为 $k \neq 0$ ，所以它的倒数 $k^{-1}$ 存在；用它乘 $kA(x_0) = kB(x_0)$ 的两边，就恢复原来的等式。若 $C$ 在任何点都不为零，同样的论证在每个 $x_0$ 处都成立，只需取数 $k = C(x_0)$ 。
$\resaltar{0} \cdot A(x_0) = 0 = \resaltar{0} \cdot B(x_0)$
条件 $k \neq 0$ 是必不可少的：乘以 $0$ 后，两边都等于 $0$ （对每个 $x$ 都是如此），于是任何数都满足变形后的方程，不论它是不是原方程的解。

可能增添或丢失解的运算

若 $C$ 在某一点为零，同解性可能不再成立。两边乘以一个在 $x_1$ 处为零的式子时，数 $x_1$ 会成为解，即使它原来不是；而除以这个式子时，使它为零的那些解就会丢失。例如， $x = 2$ 只有一个解，但乘以 $x - 3$ 后又出现了 $3$ ；方程 $x^2 = 3x$ 有解 $0$ 和 $3$ ，因为 $x^2 - 3x = x(x - 3)$ ，但除以 $x$ 后剩下 $x = 3$ ，丢失了 $0$ ：

x(x - 3) = 2(x - 3) \leftrightarrow x = 2 \vee x = 3, \qquad x^2 = 3x \leftrightarrow x = 0 \vee x = 3

两边平方也不是可逆的运算，因为两个相反数的平方相同。下面的引理精确地说明可能出现哪些解。

引理平方

对实数 $A$ 和 $B$ ， $A^2 = B^2$ 当且仅当 $A = B$ 或 $A = -B$ 。因此，把方程 $A = B$ 的两边平方，它的所有解都得以保持，但可能增添方程 $A = -B$ 的解；若 $A$ 与 $B$ 不取负值，则不增添任何解。证明把平方差分解因式。图中画出抛物线 $y = t^2$ 和高度为 $B^2$ 的水平直线，其中 $B = 2$ ：平方等于 $B^2$ 的数就是两个交点的横坐标 $B$ 和 $-B$ 。

证明

$A^2 - B^2 = \resaltar{(A - B)(A + B)}$
由分配律，平方差可以分解因式；项 $AB$ 与 $-AB$ 相互抵消。
$\dato{eq}{A^2 = B^2 \leftrightarrow (A - B)(A + B) = 0 \leftrightarrow A = B \vee \resaltar{A = -B}}$
一个乘积为零当且仅当它的某个因式为零，这在关于数集的课中已经证明。因此，平方相等的数或者相等，或者互为相反数。
$A^2 = B^2 \leftrightarrow \left( A = B \right) \vee \resaltar{\left( A = -B \right)}$
把这一结论用于 $x$ 的每个值，就得到：平方后方程的解是 $A = B$ 的解连同 $A = -B$ 的解；没有解会丢失，但可能增添后者的解。
$A \geq 0 \geq -B = A \rightarrow \resaltar{A = 0 = B}$
若 $A$ 与 $B$ 非负且 $A = -B$ ，则数 $A$ 夹在两个相等的量之间；因此 $A = 0 = B$ ，增添的解本来就是 $A = B$ 的解。

含根式的方程（根式的运算法则已在关于有理数指数幂与根式的课中研究过）通过平方求解；由引理，所得方程的每个解都必须代回原方程检验。

例题平方时出现的解

解方程 $\sqrt{x + 2} = x$ 。图中画出根式、它的相反函数和直线 $y = x$ ：平方后的方程把直线与这两条曲线的交点都收集在内。

证明

$\resaltar{\left( \sqrt{x + 2} \right)^2} = x^2 \rightarrow \resaltar{x + 2} = x^2$
根式在 $x \geq -2$ 时有定义。我们把两边平方；右边可能是负的，所以所得方程可能比原方程有更多的解。
$\resaltar{x^2 - x - 2} = \resaltar{(x - 2)(x + 1)} = 0$
把所有项移到右边并分解因式；乘积 $(x - 2)(x + 1)$ 展开后得到 $x^2 - x - 2$ 。
$\dato{c}{x = 2 \vee x = -1}$
一个乘积为零当且仅当它的某个因式为零：有两个候选值。
$\sqrt{\resaltar{2} + 2} = \sqrt{4} = \resaltar{2}$
把第一个代回原方程检验：它是解。
$\sqrt{\resaltar{-1} + 2} = 1 \neq \resaltar{-1}$
第二个不是：左边等于 $1$ ，右边等于 $-1$ 。它是 $-\sqrt{x + 2} = x$ 的解，也就是平方所增添的方程 $A = -B$ 的解。因此，解集是 $\{2\}$ 。