有理数指数幂与根式

摘要

本课借助算术根把幂推广到有理数指数，证明这一定义与表示指数所用的分数无关，并证明整数指数幂的运算法则仍然成立。随后建立根式运算法则及其符号假设，刻画把根号分配到和上的错误，并讲授根式的计算技巧：把因式移到根号外，用共轭根式和立方差进行分母有理化，不用计算器比较数的大小，以及化简复合根式。

学习目标

对正的底数定义有理数指数幂，说明它与所选分数无关，并运用其运算法则。
叙述根式运算法则及其符号假设，特别是根指数为偶数时的 $\sqrt[n]{a^n} = \abs{a}$ ，并识别典型错误。
化简根式，并对单项式、二项式以及含立方根的分母进行有理化。
通过乘方到适当的次数来比较含根式的数，并在可能时化简复合根式。

有理数指数幂

在关于数集的课中，定义了整数指数幂和算术根：对自然数 $n \geq 2$ 和实数 $b \geq 0$ ，数 $\sqrt[n]{b}$ 是唯一一个满足下述条件的非负实数：它的 $n$ 次幂等于 $b$ 。在那里，对有理数底数证明了整数指数幂的运算法则；这些证明只用到加法和乘法的性质，因此对实数底数同样成立。在那里还证明了算术根的唯一性，后面的一切都依赖于它；同时承认了它的存在性，这是实数完备性的推论，并已在关于实数轴的课中得到证明。

乘方与开方是互逆运算，宜于用同一种记号把它们统一起来。如果幂的乘方法则对分数指数也应当成立，那么数 $a^{\frac{1}{q}}$ 必须满足 $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$ ；也就是说，它必须是根指数为 $q$ 的 $a$ 的一个方根，而自然的选择就是算术根。同样， $a^{\frac{p}{q}}$ 应当是 $p$ 次幂（底数为 $a^{\frac{1}{q}}$ ），或者是根指数为 $q$ 的 $a^p$ 的方根。这一观察并没有证明任何东西，因为它预设了想要得到的法则；它只是提示了定义。

定义（有理数指数幂）。设 $a > 0$ 为实数， $p$ 为整数， $q$ 为自然数。有理数指数幂 $a^{\frac{p}{q}}$ 是根指数为 $q$ 的 $a^p$ 的算术根。当 $q = 1$ 时，约定一个数的根指数为 $1$ 的方根就是这个数本身，于是这一定义与整数指数幂的定义一致。

a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p}

这个方根存在，因为 $a^p$ 是正数；由于同样的理由，它也是正数：如果它为零，那么它的 $q$ 次幂也为零。例如， $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ ， $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$ 。在第一个例子中，先开方再乘方得到同样的结果，因为 $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$ ；两种运算的先后顺序无关紧要。

引理幂的方根

对任意实数 $a > 0$ 、任意整数 $p$ 和任意自然数 $q$ ，根指数为 $q$ 的 $a^p$ 的方根等于 $p$ 次幂（底数为根指数为 $q$ 的 $a$ 的方根）。

\sqrt[q]{a^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p

验证右边具有刻画左边的那种符号和那种幂，再应用算术根的唯一性。图示以 $a = 2$ 、 $q = 2$ 和 $p = 3$ 配合这一推理：曲线 $y = t^q$ 在正数上递增，并且与每一条高度为正的水平直线恰好相交一次。

证明

$r = \sqrt[q]{a}, \quad r > 0, \quad \dato{rq}{r^q = a}$
若 $q = 1$ ，则两边都等于 $a^p$ 。若 $q \geq 2$ ，设 $r$ 是根指数为 $q$ 的 $a$ 的算术根：它是正数，因为如果它为零，那么 $a$ 也为零；并且它的 $q$ 次幂等于 $a$ 。
$\dato{pos}{r^p > 0}$
数 $r^p$ 是正数，因为正数的任何整数指数幂都是正数：若 $p$ 是自然数，由乘法公理；若 $p = 0$ ，它等于 $1$ ；若 $p$ 是负数，它是一个正数的倒数。
$\left(r^p\right)^q = r^{pq} = \left(\resaltar{r^q}\right)^p = \dato{ap}{\resaltar{a^p}}$
由整数指数的幂的乘方法则，按两种顺序应用， $q$ 次幂（底数为 $r^p$ ）等于 $a^p$ 。
$\sqrt[q]{a^p} = \resaltar{r^p} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p$
这样， $r^p$ 是一个正数，它的 $q$ 次幂等于 $a^p$ 。由算术根的唯一性，它就是根指数为 $q$ 的 $a^p$ 的方根。

定义与分数无关

同一个有理数可以写成许多分数： $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$ 。上面的定义是用一个具体的分数表述的，事先没有任何东西保证同一指数的两种写法给出同一个数；例如， $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ ，而 $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$ 。如果它们给出不同的数，那么符号 $a^x$ 对有理数 $x$ 就没有意义，而只对它的每一个分数才有意义。

定理与分数无关

设 $a > 0$ 。若 $p$ 和 $r$ 是整数， $q$ 和 $s$ 是自然数，且 $\frac{p}{q} = \frac{r}{s}$ ，则 $\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$ 。思路是把两个数都乘方到 $qs$ 次，这同时消去两个根号，再应用算术根的唯一性。图示以 $a = 2$ 、 $\frac{p}{q} = \frac{1}{2}$ 和 $\frac{r}{s} = \frac{2}{4}$ 配合这一推理：每个幂都是一条递增曲线，与每一条水平直线恰好相交一次。

证明

$u = \sqrt[q]{a^p}, \quad v = \sqrt[s]{a^r}, \quad \dato{du}{u^q = a^p}, \quad \dato{dv}{v^s = a^r}$
把两种写法给出的数分别记为 $u$ 和 $v$ 。它们都是正数，并且由方根的定义满足下面的等式。
$u^{qs} = \left(\resaltar{u^q}\right)^s = \left(a^p\right)^s = \dato{pu}{\resaltar{a^{ps}}}$
用幂的乘方法则求 $u$ 的 $qs$ 次幂，并把 $u^q$ 换成它的值。
$v^{qs} = \left(\resaltar{v^s}\right)^q = \left(a^r\right)^q = \dato{pv}{\resaltar{a^{rq}}}$
对 $v$ 同样处理，先合并指数 $s$ 。
$\frac{p}{q} = \frac{r}{s} \leftrightarrow \dato{cr}{\resaltar{ps = qr}}$
两个分数相等，这意味着它们的交叉积相等。
$u^{qs} = a^{\resaltar{ps}} = a^{\resaltar{qr}} = v^{qs}$
由此， $u$ 与 $v$ 的指数为 $qs$ 的幂相等。
$\sqrt[q]{a^p} = \sqrt[s]{a^r}$
若 $qs = 1$ ，这就说明 $u = v$ 。若 $qs \geq 2$ ，则 $u$ 与 $v$ 是两个正数，它们的指数为 $qs$ 的幂相等，由算术根的唯一性，它们相等。

因此，对任意有理数 $x$ ，数 $a^x$ 是良定义的：把 $x$ 以任何方式写成分数，结果总是相同。特别地，任何有理数指数都可以写成分母为自然数的形式，两个指数也可以写成公分母的形式，后面的证明会用到这一点。

假设 $a > 0$ 并非随意。底数为负时，奇数次方根存在，但结果会依赖于分数： $\sqrt[3]{-8} = -2$ ，而 $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$ ，尽管 $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ 。因此不对负底数定义有理数指数幂，对负数则写成根式，例如 $\sqrt[3]{-8}$ 。底数为零时，定义 $0^x = 0$ ，这里 $x > 0$ 是任意有理数；负指数和零指数都不定义。

有理数指数的运算法则

定义有了保证之后，来验证整数指数幂的运算法则仍然成立。

定理有理数指数的运算法则

对任意实数 $a > 0$ 和 $b > 0$ 以及任意有理数 $x$ 和 $y$ ，有 $a^x \cdot a^y = a^{x + y}$ 、 $\left(a^x\right)^y = a^{xy}$ 和 $(ab)^x = a^x \cdot b^x$ 。由此也有 $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$ 和 $\frac{a^x}{a^y} = a^{x - y}$ 。这里证明前两条法则；第三条由根式的乘法法则推出，见下一节。图中给出 $2^{\frac{k}{6}}$ 的值：每一个都是前一个乘以 $\sqrt[6]{2}$ ，指数就像台阶一级一级地相加。

证明

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad u = \sqrt[q]{a}, \quad \dato{lx}{a^x = u^p}, \quad \dato{ly}{a^y = u^r}$
积。把 $x$ 和 $y$ 写成公分母 $q$ 的形式，由前一定理这是允许的；并设 $u$ 为根指数为 $q$ 的 $a$ 的方根。由幂的方根引理，两个幂都是 $u$ 的整数次幂。
$a^x \cdot a^y = \resaltar{u^p \cdot u^r} = u^{p + r} = \resaltar{a^{\frac{p + r}{q}}} = a^{x + y}$
由整数指数的同底数幂的乘法法则，指数相加；再由该引理，结果为 $a^{x + y}$ ，因为 $x + y = \frac{p + r}{q}$ 。
$\left(a^x\right)^y = \sqrt[s]{\left(\resaltar{u^p}\right)^r} = \dato{w}{\resaltar{\sqrt[s]{u^{pr}}}} = w$
幂的乘方。现在 $x = \frac{p}{q}$ ， $y = \frac{r}{s}$ ，并且仍有 $a^x = u^p$ ，其中 $u = \sqrt[q]{a}$ 。由定义， $\left(a^x\right)^y$ 是根指数为 $s$ 的 $\left(u^p\right)^r$ 的方根；把这个正数记作 $w$ 。
$w^{qs} = \left(\resaltar{w^s}\right)^q = \left(u^{pr}\right)^q = \left(\resaltar{u^q}\right)^{pr} = \dato{wp}{a^{pr}}$
求 $w$ 的 $qs$ 次幂，先合并指数 $s$ ，它消去根号，再合并指数 $q$ ，并利用 $u^q = a$ 。
$\left(a^x\right)^y = w = \sqrt[qs]{\resaltar{a^{pr}}} = \resaltar{a^{\frac{pr}{qs}}} = a^{xy}$
由算术根的唯一性， $w$ 是根指数为 $qs$ 的 $a^{pr}$ 的方根，也就是指数为 $\frac{pr}{qs} = xy$ 的幂。

由第一条法则得到上述推论：由于 $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$ ，数 $a^{-x}$ 是 $a^x$ 的倒数，从而 $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$ 。这些法则使得用有理数指数计算就像用整数指数一样。例如：

\sqrt{2} \cdot \sqrt[3]{2} = 2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{32}, \qquad \left(\sqrt{2}\right)^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt[3]{2}

有理数指数幂与顺序

在关于数集的课中证明了、并在关于实数轴的课中应用于不等式的结论是：自然数指数幂保持非负数的顺序：若 $0 \leq u < v$ ，则 $u^n < v^n$ 。有理数指数幂在底数方面继承了这一性质，并在指数方面增添了另一个性质，其方向取决于底数大于还是小于 $1$ 。

引理有理数指数幂的单调性

设 $x < y$ 为有理数。若 $a > 1$ ，则 $a^x < a^y$ ；若 $0 < a < 1$ ，则 $a^x > a^y$ 。此外，若 $x > 0$ 且 $0 < s < t$ ，则 $s^x < t^x$ 。图中给出 $y = t^{\frac{1}{3}}$ 、 $y = t^{\frac{1}{2}}$ 和 $y = t^{\frac{3}{2}}$ 的图像（ $t > 0$ ）：在 $t = 1$ 的右侧，指数较大的函数值较大，在左侧情况相反，而在 $t = 1$ 处三条曲线相交。

证明

$x = \frac{p}{q}, \quad y = \frac{r}{q}, \quad p < r, \quad \dato{u1}{u > 1}$
设 $a > 1$ 。把 $x$ 和 $y$ 写成公分母 $q$ 的形式，并设 $u = \sqrt[q]{a}$ 。于是 $u > 1$ ：如果 $u \leq 1$ ，那么由幂的单调性有 $u^q \leq 1$ ，与 $u^q = a > 1$ 矛盾。
$a^y = u^r = \resaltar{u^p \cdot u^{r - p}} > \resaltar{u^p} = a^x$
由于 $r - p$ 是自然数， $u^{r - p} > 1^{r - p} = 1$ ，而乘以正数 $u^p$ 保持不等式。
$\frac{1}{a^x} < \frac{1}{a^y} \rightarrow \resaltar{a^x > a^y}$
若 $0 < a < 1$ ，它的倒数大于 $1$ ，由前面的结论， $\left(\frac{1}{a}\right)^x < \left(\frac{1}{a}\right)^y$ 。由于根据指数运算法则 $\left(\frac{1}{a}\right)^x = \frac{1}{a^x}$ ，对两个正数取倒数时不等号反向。
$1^x = 1$
若 $a = 1$ ，它的所有幂都等于 $1$ ，因为 $1$ 的方根和幂都是 $1$ 。因此三条图像都经过点 $(1, 1)$ 。
$0 < s < t \rightarrow \resaltar{s^p < t^p} \rightarrow \resaltar{\sqrt[q]{s^p} < \sqrt[q]{t^p}}$
关于底数的单调性，设 $x = \frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 是自然数。由 $s < t$ 得 $s^p < t^p$ ；如果 $\sqrt[q]{s^p} \geq \sqrt[q]{t^p}$ ，那么两边取 $q$ 次幂会得到 $s^p \geq t^p$ ，这是错误的。

幂函数的图像将在关于代数函数的课中详细研究；这里只需要两种单调性，它们将用于比较数的大小。