Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях

Краткое содержание

Этот урок открывает переход от точечного к глобальному. Непрерывность в точке контролирует функцию лишь вблизи этой точки; теорема Вейерштрасса утверждает, что если функция непрерывна во всех точках отрезка, то она ограничена на всём отрезке и достигает на нём наибольшего и наименьшего значений. Оба утверждения доказываются с помощью аксиомы полноты, через точную верхнюю грань, как и теорема Больцано: ограниченность, с помощью точной верхней грани точек, до которых функция ограничена, и локальной ограниченности из урока о пределе и непрерывности; существование наибольшего значения, с помощью точной верхней грани значений и вспомогательной функции, которая была бы непрерывной и неограниченной, если бы эта грань не достигалась. Урок показывает на контрпримерах, что ни одно из условий нельзя отбросить, доказывает, что образ отрезка есть снова отрезок и что если функция принимает на концах одинаковые значения, то одно из её наибольшего и наименьшего значений достигается во внутренней точке, и применяет теорему к положительным, периодическим и определённым на всей прямой функциям.

Цели обучения

  1. Отличать точную верхнюю грань значений функции от её наибольшего значения и записывать с помощью кванторов, что функция достигает наибольшего или наименьшего значения на множестве.
  2. Доказывать с помощью аксиомы полноты, что функция, непрерывная на отрезке, ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений.
  3. Показывать на контрпримерах, что теорема неверна, если промежуток не замкнут, если он не ограничен или если функция не непрерывна, и понимать, что её условия достаточны, но не необходимы.
  4. Применять теорему вместе с теоремой о промежуточном значении и пределами на бесконечности, чтобы находить образ отрезка и доказывать, что функция достигает наибольшего и наименьшего значений на множествах, не являющихся отрезками.

Наибольшее и наименьшее значения и точная верхняя грань функции

Два предыдущих раздела изучали функции в точке: предел, непрерывность и производная описывают то, что происходит вблизи aa. Многие вопросы, напротив, относятся ко всему множеству: каково наибольшее значение, которое функция принимает на промежутке, если такое вообще есть, или в какой точке оно достигается. Функция xx на (0,1)\ioo{0}{1} не имеет значения, большего всех остальных: для каждого xx из этого промежутка число x+12\frac{x + 1}{2} тоже лежит в нём и больше. Её значения приближаются к 11, не достигая его. Поэтому следует разделить два понятия: наименьшую из верхних границ значений, которая существует, как только значения ограничены, и наибольшее значение, которое является значением функции.

ОпределениеОграниченная функция; наибольшее и наименьшее значения функции на множестве

Пусть ff есть функция, определённая на множестве AA, и SS есть непустое подмножество AA. Говорят, что ff ограничена сверху на SS, если существует число KK, такое что f(x)≤Kf(x) \leq K для всякого xx из SS; ограничена снизу, если существует KK, такое что f(x)≥Kf(x) \geq K для всякого xx из SS; и ограничена, если она ограничена с обеих сторон, то есть если существует KK, такое что ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K для всякого xx из SS. Говорят, что ff достигает наибольшего значения на SS в точке x0x_0 из SS, если значение f(x0)f(x_0) не превосходится никаким другим значением ff на SS, и что она достигает наименьшего значения в x0x_0, если на SS нет меньшего значения:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

Число f(x0)f(x_0) называется наибольшим значением (или наименьшим значением) функции ff на SS и обозначается max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (или min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)); точка x0x_0 называется точкой наибольшего значения (или наименьшего).

Наибольшее значение, если оно существует, единственно, так как каждое из двух наибольших значений было бы больше другого или равно ему; точка наибольшего значения может не быть единственной: косинус достигает наибольшего значения 11 на [0,4π]\icc{0}{4\pi} в трёх точках: 00, 2π2\pi и 4π4\pi. В уроке о максимумах и минимумах эти значения будут названы абсолютными максимумом и минимумом, чтобы отличать их от локальных, которые сравнивают f(x0)f(x_0) лишь с близкими значениями.

Если ff ограничена сверху на SS, то множество её значений, f(S)f(S), непусто и ограничено сверху; по аксиоме полноты, напомненной в уроке о числовой прямой, оно имеет точную верхнюю грань, которая обозначается sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x). Связь между двумя понятиями проста: ff достигает наибольшего значения на SS тогда и только тогда, когда точная верхняя грань её значений является одним из них, и тогда они совпадают. Действительно, если f(x0)f(x_0) есть наибольшее значение, то оно является верхней границей f(S)f(S) и принадлежит f(S)f(S), а никакое меньшее число верхней границей быть не может; обратно, если точная верхняя грань есть значение f(x0)f(x_0), то никакое значение её не превосходит. Функция xx на (0,1)\ioo{0}{1} ограничена, её точная верхняя грань равна 11 и не достигается; её точная нижняя грань равна 00 и тоже не достигается. Теорема Вейерштрасса даёт условия, при которых этого не происходит.