Степени с рациональным показателем и радикалы

Степени с рациональным показателем

В уроке о числовых множествах были определены степени с целым показателем и арифметический корень: для натурального $n \geq 2$ и действительного $b \geq 0$ число $\sqrt[n]{b}$ есть единственное неотрицательное действительное число, $n$-я степень которого равна $b$. Там же для рациональных оснований были доказаны свойства степеней с целым показателем; их доказательства используют только свойства сложения и умножения, так что они так же верны и для действительных оснований. Там же была доказана единственность арифметического корня, от которой зависит всё последующее, и было принято его существование, которое следует из полноты действительных чисел и доказано в уроке о числовой прямой.

Возведение в степень и извлечение корня суть взаимно обратные операции, и их удобно объединить в одной записи. Если свойство степени степени должно выполняться и для дробных показателей, то число $a^{\frac{1}{q}}$ должно удовлетворять равенству $\left(a^{\frac{1}{q}}\right)^q = a^1 = a$; иначе говоря, оно должно быть корнем $q$-й степени из $a$, и естественный выбор есть арифметический корень. Точно так же $a^{\frac{p}{q}}$ должно быть $p$-й степенью числа $a^{\frac{1}{q}}$, или, что то же, корнем $q$-й степени из $a^p$. Это наблюдение ничего не доказывает, поскольку предполагает те свойства, которые требуется получить; оно лишь подсказывает определение.

Определение (степень с рациональным показателем). Пусть $a > 0$ есть действительное число, $p$ есть целое число и $q$ есть натуральное число. Степенью с рациональным показателем $a^{\frac{p}{q}}$ называется арифметический корень $q$-й степени из $a^p$. При $q = 1$ считается, что корень степени $1$ из числа есть само это число, так что определение совпадает с определением степени с целым показателем.

Корень существует, поскольку $a^p$ положительно, и по той же причине он положителен: если бы он был равен нулю, то нулю равнялась бы и его $q$-я степень. Например, $8^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{64} = 4$ и $27^{-\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$. В первом примере тот же результат получается, если сначала извлечь корень, а затем возвести в степень, поскольку $\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4$; порядок этих двух операций безразличен.

Определение не зависит от дроби

Одно и то же рациональное число записывается многими дробями: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6}$. Предыдущее определение сформулировано для конкретной дроби, и ничто заранее не гарантирует, что две записи одного и того же показателя дают одно и то же число; например, $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$, тогда как $2^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{4}$. Если бы они давали разные числа, символ $a^x$ не имел бы смысла для рационального $x$, а только для каждой из его дробей.

Итак, для всякого рационального $x$ число $a^x$ корректно определено: $x$ записывается в виде дроби любым способом, и результат всегда один и тот же. В частности, всякий рациональный показатель можно записать с натуральным знаменателем, а два показателя можно привести к общему знаменателю, что используется в последующих доказательствах.

Условие $a > 0$ не прихоть. При отрицательном основании корень нечётной степени существует, но результат зависел бы от дроби: $\sqrt[3]{-8} = -2$, тогда как $\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2$, хотя $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$. Поэтому степени с рациональным показателем для отрицательного основания не определяются, а для отрицательных чисел пишут корень, например $\sqrt[3]{-8}$. Для нулевого основания полагают $0^x = 0$ для всякого рационального $x > 0$, а отрицательные и нулевой показатели не определяются.

Свойства рациональных показателей

Обеспечив корректность определения, проверим, что свойства степеней с целым показателем остаются в силе.

Из первого свойства вытекают следствия: так как $a^x \cdot a^{-x} = a^0 = 1$, число $a^{-x}$ обратно к $a^x$, а потому $\frac{a^x}{a^y} = a^x \cdot a^{-y} = a^{x - y}$. Эти свойства позволяют вычислять с рациональными показателями так же, как с целыми. Например:

Степени с рациональным показателем и порядок

В уроке о числовых множествах было доказано, а в уроке о числовой прямой применено к неравенствам, что степени с натуральным показателем сохраняют порядок неотрицательных чисел: если $0 \leq u < v$, то $u^n < v^n$. Степени с рациональным показателем наследуют это свойство по отношению к основанию и добавляют ещё одно по отношению к показателю, направление которого зависит от того, больше основание или меньше $1$.

Графики степенных функций будут подробно изучены в уроке об алгебраических функциях; здесь достаточно двух монотонностей, которые будут использоваться для сравнения чисел.