Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Пределы при стремлении переменной к бесконечности

Краткое содержание

На этом занятии изучается поведение функции, когда переменная неограниченно возрастает, и оно тщательно отличается от другой ситуации, которая записывается тем же символом: ситуации функции, значения которой неограниченно возрастают. С помощью ε и границы MM определяется предел при стремлении переменной к бесконечности, и один раз доказывается, что он равносилен одностороннему пределу в точке 00 посредством замены переменной t=1xt = \frac{1}{x}. Отсюда следует, что все теоремы предыдущих занятий верны и на бесконечности, без нового доказательства. С их помощью вычисляются пределы степеней и рациональных функций, и этим доказывается то, что курс «Алгебра и геометрия» принял о горизонтальных и наклонных асимптотах; применяются теорема о двух милиционерах и теорема о монотонных функциях; и устанавливается, когда предел не существует.

Цели обучения

  1. Отличать предел при стремлении переменной к бесконечности от бесконечного предела и записывать оба по общей схеме вызова и ответного хода.
  2. Определять с помощью ε и границы MM предел при стремлении переменной к бесконечности и доказывать его равносильность одностороннему пределу в точке 00.
  3. Доказывать пределы степеней и рациональных функций при стремлении переменной к бесконечности и выводить из них горизонтальные и наклонные асимптоты.
  4. Вычислять пределы на бесконечности с помощью теоремы о двух милиционерах, монотонных функций и замен переменной и доказывать, когда они не существуют.

Два употребления бесконечности

Слово «бесконечность» появляется при изучении пределов в двух разных смыслах, которые полезно разделить с самого начала. В первом неограниченно возрастает переменная, а значения функции приближаются к числу. Во втором неограниченно возрастает функция, а переменная приближается к числу. Поэтому три утверждения, приведённые ниже, различны.

  • lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L: переменная неограниченно возрастает, и значения ff приближаются к числу LL. Например, 1x\frac{1}{x} приближается к 00, когда xx растёт. Это предмет данного занятия.
  • lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty: переменная приближается к числу aa, и значения ff неограниченно возрастают. Например, 1x2\frac{1}{x^2} неограниченно возрастает, когда xx приближается к 00. Это предмет занятия о бесконечных пределах.
  • lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty: обе неограниченно возрастают, как x2x^2. Это тоже изучается на занятии о бесконечных пределах.

Символ ∞\infty не является действительным числом, и две ситуации не симметричны. В первой предел существует и есть число, LL, к которому применимы единственность, арифметические свойства пределов и все известные теоремы. Во второй функция не имеет предела в смысле занятия о пределе функции одной действительной переменной: запись =∞= \infty обозначает не предел, а точный способ его не иметь. Поэтому арифметические свойства пределов, которые относятся к числам, нельзя применять к ∞\infty так, как если бы он был числом.

Обе ситуации, однако, укладываются в одну и ту же схему. Всякое определение предела говорит: на всякий вызов относительно значений существует ответный ход относительно переменной. Меняется лишь то, что значит быть близко к каждому из объектов:

  • переменная близка к числу aa, если 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta, и близка к ∞\infty, если x>Mx > M;
  • значение близко к числу LL, если ∣f(x)−L∣<ε\abs{f(x) - L} < \varepsilon, и близко к ∞\infty, если f(x)>Nf(x) > N.

Определение занятия о пределе сочетает первую форму каждой строки; это занятие сочетает вторую форму первой строки с первой формой второй; занятие о бесконечных пределах сочетает остальные. Первое утверждение этого занятия показывает оба употребления на одной и той же функции.