Правила дифференцирования

Производная зависит только от того, что происходит вблизи точки

Занятие о производной как пределе вычисляло каждую производную через её разностное отношение. Для такой функции, как $\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}$, это вычисление длинно; полезнее знать, как производная ведёт себя при операциях. Все правила этого занятия опираются на критерий Каратеодори из того же занятия: $f$ дифференцируема в точке $a$, причём $f'(a) = L$, тогда и только тогда, когда существует функция $\varphi$, непрерывная в $a$, с $\varphi(a) = L$, такая что $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ для всякого $x$ из области определения. Поэтому, чтобы доказать дифференцируемость функции в точке $a$, достаточно записать её приращение в виде произведения на $x - a$ с множителем, непрерывным в $a$; значение этого множителя в $a$ есть производная. Теорема об операциях над непрерывными функциями из занятия о пределе и непрерывности обеспечивает непрерывность множителя.

Сначала полезно решить вопрос об областях определения. Две функции могут иметь разные области определения, а частное $\frac{f}{g}$ определено лишь там, где $g$ не обращается в нуль. Следующая лемма утверждает, что производная не меняется при сужении области определения, если точка остаётся предельной точкой множества, и что она зависит только от значений вблизи точки.

Из второго утверждения следует, что две функции, определённые на $A$ и совпадающие в точках множества $A$, близких к $a$, либо обе дифференцируемы в $a$, с одной и той же производной, либо обе не дифференцируемы: у них одно и то же сужение на эти точки. А из первого следует, что если $f$ и $g$ имеют разные области определения, обе содержащие точку $a$, то можно работать на пересечении областей определения, если только $a$ есть его предельная точка. Поэтому в дальнейшем $f$ и $g$ предполагаются определёнными на одном и том же множестве $A$.