Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Показательная функция и степень с действительным показателем

Краткое содержание

Этот урок распространяет степени с положительным основанием на любые действительные показатели, определяя их как точную верхнюю грань степеней с рациональным показателем, и доказывает, что новое определение продолжает прежнее, что степень строго монотонна по показателю и что свойства степеней остаются в силе. Затем изучается показательная функция: её область определения, её множество значений, которое находится с помощью полноты и неравенства Бернулли, её монотонность, её горизонтальная асимптота, сравнение различных оснований, симметрия между основаниями aa и 1a\frac{1}{a} и преобразования её графика. С помощью неравенства Бернулли показано, что показательная функция растёт неограниченно и в конце концов обгоняет степени, а задачи сравнивают иррациональные степени без калькулятора, характеризуют показательную функцию её функциональным уравнением и подсчитывают точки пересечения графика y=2xy = 2^x с параболой y=x2y = x^2.

Цели обучения

  1. Определять степень положительного основания с действительным показателем с помощью полноты действительных чисел и обосновывать, что она продолжает степень с рациональным показателем.
  2. Доказывать монотонность степени по показателю и свойства ax+y=axaya^{x + y} = a^x a^y и (ax)y=axy\left(a^x\right)^y = a^{xy} с помощью рассуждений с двусторонними оценками рациональными степенями.
  3. Описывать показательную функцию (область определения, множество значений, монотонность, асимптота, сравнение оснований), доказывать, что она принимает все положительные значения, и строить графики её преобразований.
  4. Сравнивать степени с иррациональным показателем, решать простые показательные неравенства и рассуждать о росте показательной функции в сравнении со степенями.

Степень с действительным показателем

В уроке о степенях с рациональным показателем была определена степень axa^x при a>0a > 0 и рациональном xx, было доказано, что определение не зависит от дроби, которой записан показатель, что выполняются свойства степеней и что при a>1a > 1 степень возрастает вместе с показателем: если r<sr < s рациональны, то ar<asa^r < a^s. Зато выражение вроде 222^{\sqrt{2}} остаётся без смысла, поскольку 2\sqrt{2} не является дробью и нет ни корня, ни целой степени, которые бы его определяли.

Однако число 2\sqrt{2} больше рациональных чисел 11, 75\frac{7}{5}, 141100\frac{141}{100}, 14141000\frac{1414}{1000}, которые приближаются к нему снизу, а степени 212^1, 2752^{\frac{7}{5}}, 21411002^{\frac{141}{100}}, 2141410002^{\frac{1414}{1000}} образуют возрастающую последовательность, значения которой приблизительно равны 2; 2,639; 2,657 и 2,665. Ни одна из них не превосходит 232=82^{\frac{3}{2}} = \sqrt{8}, поскольку все эти показатели меньше 32\frac{3}{2}. Если это так, то естественно определить 222^{\sqrt{2}} как наименьшее число, которое не превосходит ни одна степень 2r2^r с рациональным rr и r≤2r \leq \sqrt{2}, то есть как точную верхнюю грань; её существование гарантирует полнота действительных чисел, представленная в уроке о числовых множествах.

Определение через точные верхние грани

Пусть a>1a > 1 и пусть xx есть действительное число. Обозначим через AxA_x множество степеней ara^r с рациональным rr и r≤xr \leq x. Степень с действительным показателем axa^x есть точная верхняя грань множества AxA_x. Если 0<a<10 < a < 1, полагаем ax=(1a)−xa^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}, где основание 1a\frac{1}{a} больше 11; и полагаем 1x=11^x = 1 для всякого действительного xx.
Ax={ar:r∈Q,r≤x}A_x = \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r \leq x\}

Определение содержит два утверждения, которые нужно доказать: что точная верхняя грань существует и что при рациональном xx новое число axa^x совпадает с уже известным. Без второго символ axa^x имел бы два значения для рациональных показателей.

ЛеммаСтепень с действительным показателем определена корректно

Пусть a>1a > 1. Для всякого действительного xx множество AxA_x непусто и ограничено сверху, так что у него есть точная верхняя грань. Если xx рационально, эта точная верхняя грань есть степень с рациональным показателем axa^x.

Используются свойство Архимеда, доказанное в уроке о десятичной записи рациональных чисел, и монотонность рациональных степеней. Рисунок следует случаю a=2a = 2 и x=2x = \sqrt{2}: лестница рациональных степеней поднимается к 222^{\sqrt{2}}, не достигая его.

Доказательство

  1. −k<x→a−k∈Ax-k < x \rightarrow \dato{nv}{a^{-k} \in A_x}

    По свойству Архимеда существует натуральное kk, большее −x-x. Целое число −k-k есть рациональное число, меньшее xx, так что его степень принадлежит множеству AxA_x, которое, следовательно, непусто.

  2. r≤x<m→ar<amr \leq x < m \rightarrow \dato{cs}{\resaltar{a^r < a^m}}

    Точно так же существует натуральное mm, большее xx. Если rr рационально и r≤xr \leq x, то r<mr < m, и по монотонности рациональных степеней ar<ama^r < a^m: число ama^m есть верхняя граница множества AxA_x.

  3. (∀r∈Q)(r≤x→ar≤ax)(\forall r \in \mathbb{Q})(r \leq x \rightarrow a^r \leq a^x)

    По полноте непустое ограниченное множество AxA_x имеет точную верхнюю грань, которая и есть число axa^x из определения. Быть верхней границей означает, что ни одна рациональная степень с показателем, меньшим или равным xx, его не превосходит.

  4. x∈Q→ax∈Ax∧(∀r∈Q)(r≤x→ar≤ax)x \in \mathbb{Q} \rightarrow \resaltar{a^x \in A_x} \wedge (\forall r \in \mathbb{Q})(r \leq x \rightarrow a^r \leq a^x)

    Если xx рационально, рациональная степень axa^x принадлежит множеству AxA_x, при r=xr = x, и по монотонности является верхней границей множества AxA_x. Элемент множества, являющийся его верхней границей, есть его точная верхняя грань, поскольку всякое меньшее число уже не является верхней границей. Оба определения совпадают.

Определение для оснований, меньших 11, тоже продолжает прежнее: если 0<a<10 < a < 1 и rr рационально, то по свойствам рациональных степеней (1a)−r=1(1a)r=ar\left(\frac{1}{a}\right)^{-r} = \frac{1}{\left(\frac{1}{a}\right)^r} = a^r. Кроме того, из определения сразу следует правило, которое будет часто использоваться: для всякого основания a>0a > 0 и всякого действительного xx степень обратного основания есть степень с противоположным показателем. В самом деле, если a>1a > 1, основание 1a\frac{1}{a} меньше 11 и по определению (1a)x=a−x\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}; если 0<a<10 < a < 1, основание 1a\frac{1}{a} больше 11, и определение степени a−xa^{-x} есть в точности (1a)x\left(\frac{1}{a}\right)^{x}.

(1a)x=a−x\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}

Монотонность

Первое применение определения состоит в том, чтобы поместить axa^x между рациональными степенями: при основании, большем 11, всякий рациональный показатель, меньший xx, даёт степень, меньшую axa^x, а всякий больший рациональный показатель даёт большую степень. Отсюда следует монотонность для любых действительных показателей.

ТеоремаДвусторонняя оценка рациональными степенями и монотонность степени с действительным показателем

Пусть a>1a > 1 и пусть xx действительно. Если rr и ss рациональны и r<x<sr < x < s, то ar<ax<asa^r < a^x < a^s (двусторонняя оценка). Следовательно, если x<yx < y действительны, то ax<aya^x < a^y при a>1a > 1 и ax>aya^x > a^y при 0<a<10 < a < 1 (монотонность). Кроме того, ax>0a^x > 0 для всякого основания a>0a > 0 и всякого действительного xx.

Используется плотность рациональных чисел, доказанная в уроке о числовой прямой: между двумя различными действительными числами всегда есть рациональное. Рисунок показывает на графике y=2xy = 2^x, как рациональные числа, соседние с xx, зажимают значение 2x2^x.

Доказательство

  1. ar<au≤axa^r < \resaltar{a^u} \leq a^x

    По плотности существует рациональное uu с r<u<xr < u < x. Его степень принадлежит множеству AxA_x, так что не превосходит точной верхней грани; а по монотонности рациональных степеней она больше ara^r.

  2. ax≤aw<as,ar<ax<asa^x \leq \resaltar{a^w} < a^s, \quad \dato{enc}{a^r < a^x < a^s}

    Существует также рациональное ww с x<w<sx < w < s. Всякая степень из AxA_x имеет показатель, меньший ww, и потому меньше awa^w: это число есть верхняя граница множества AxA_x и не меньше точной верхней грани, которая есть наименьшая из верхних границ.

  3. x<q<y→ax<aq<ayx < q < y \rightarrow a^x < \resaltar{a^q} < a^y

    Монотонность при a>1a > 1. Если x<yx < y, по плотности между ними есть рациональное qq, и двусторонняя оценка, применённая один раз к xx и другой раз к yy, даёт неравенство.

  4. ax=(1a)−x>(1a)−y=aya^x = \left(\frac{1}{a}\right)^{\resaltar{-x}} > \left(\frac{1}{a}\right)^{\resaltar{-y}} = a^y

    Если 0<a<10 < a < 1, основание 1a\frac{1}{a} больше 11, а противоположные показатели удовлетворяют неравенству −y<−x-y < -x. По доказанному выше и по определению неравенство меняет знак.

  5. r∈Q,r≤x→ax≥ar>0r \in \mathbb{Q}, \quad r \leq x \rightarrow a^x \geq \resaltar{a^r} > 0

    Положительность. Если a>1a > 1, точная верхняя грань не меньше ни одного элемента множества AxA_x, а это рациональные степени, положительные по уроку о рациональных степенях. Если 0<a<10 < a < 1, число axa^x есть степень с основанием 1a>1\frac{1}{a} > 1, и 1x=11^x = 1.

При a>1a > 1 монотонность читается в обе стороны: для любых действительных uu и vv неравенство u<vu < v выполняется тогда и только тогда, когда au<ava^u < a^v, и u=vu = v тогда и только тогда, когда au=ava^u = a^v. В самом деле, если бы было u≥vu \geq v, то было бы au≥ava^u \geq a^v. При основании между 00 и 11 равносильность выполняется с противоположным неравенством. Так степени с одним и тем же основанием сравнивают, сравнивая их показатели.

a>1→(u<v↔au<av),0<a<1→(u<v↔au>av)a > 1 \rightarrow (u < v \leftrightarrow a^u < a^v), \qquad 0 < a < 1 \rightarrow (u < v \leftrightarrow a^u > a^v)