Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Поворот осей и общее уравнение второй степени

Краткое содержание

Этот урок завершает изучение конических сечений случаем, который оставался нерассмотренным: уравнением второй степени, содержащим член с xyxy. Он выводит с помощью полярных координат и формул сложения, как меняются координаты точки, когда оси поворачиваются на угол θ\theta, и доказывает, что поворот сохраняет расстояния, так что не искажает форму никакой фигуры. Он вычисляет коэффициенты общего уравнения после поворота, доказывает, что угол, удовлетворяющий условию cot⁡2θ=A−CB\cot 2\theta = \frac{A - C}{B}, исключает член с xyxy и что сумма A+CA + C и дискриминант B2−4ACB^2 - 4AC не меняются при повороте. Отсюда вытекает классификация всех уравнений второй степени по знаку дискриминанта: эллипсы, параболы и гиперболы вместе с их вырожденными случаями. В конце урока гипербола xy=1xy = 1, эллипс и парабола с наклонными осями распознаются как повёрнутые конические сечения.

Цели обучения

  1. Выводить формулы, связывающие координаты точки в двух декартовых системах, которые отличаются поворотом, и доказывать, что поворот сохраняет расстояния.
  2. Вычислять коэффициенты уравнения второй степени после поворота и выбирать угол, исключающий член с xyxy.
  3. Доказывать, что A+CA + C и B2−4ACB^2 - 4AC являются инвариантами поворота, и использовать их, чтобы получать приведённый вид без подстановки.
  4. Классифицировать общее уравнение второй степени по знаку его дискриминанта, находить его элементы в повёрнутых координатах и выражать их в исходных координатах.

Поворот осей

В уроке курса I о конических сечениях было доказано, что всякое уравнение второй степени без члена с xyxy задаёт параболу, эллипс, гиперболу или один из их вырожденных случаев, причём оси симметрии кривой параллельны осям координат. Однако эллипс, большая ось которого лежит на прямой y=xy = x, тоже имеет уравнение второй степени, и в нём появляется член с xyxy. Чтобы распознать такой эллипс, удобно выбрать другую систему осей, повёрнутую относительно первой, в которой кривая обретает свой канонический вид. В этом пункте изучается, как меняются координаты точки при повороте осей.

Пусть дана декартова система с осями xx и yy, как в уроке курса I об уравнении прямой и декартовых системах координат, и пусть θ\theta есть действительное число. Система, повёрнутая на угол θ\theta, есть декартова система с тем же началом и той же единицей длины, у которой положительная полуось абсцисс есть луч, выходящий из начала под углом θ\theta в стандартном положении, а положительная полуось ординат есть луч с углом θ+π2\theta + \frac{\pi}{2}. Новые координаты обозначаются заглавными буквами: одна и та же точка PP имеет координаты (x,y)(x, y) в исходной системе и (X,Y)(X, Y) в повёрнутой. Поскольку обе системы одинаково ориентированы, в повёрнутой системе тоже определяются полярные координаты, с тем же полюсом и с положительной полуосью XX в качестве полярной оси.

ТеоремаФормулы поворота

Если точка имеет координаты (x,y)(x, y) в декартовой системе и координаты (X,Y)(X, Y) в системе, повёрнутой на угол θ\theta, то её новые координаты получаются из исходных, а исходные из новых, по формулам, приведённым ниже.

X=xcos⁡θ+ysin⁡θ,Y=−xsin⁡θ+ycos⁡θX = x \cos \theta + y \sin \theta, \qquad Y = -x \sin \theta + y \cos \theta
x=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = X \cos \theta - Y \sin \theta, \qquad y = X \sin \theta + Y \cos \theta

Идея в том, что в полярных координатах поворот осей не меняет расстояния до полюса и лишь вычитает θ\theta из полярного угла; остальное делают формулы сложения, которые доказываются в уроке о формулах сложения.

Доказательство

  1. x=rcos⁡φ,y=rsin⁡φ\dato{xy}{x = r \cos \varphi, \quad y = r \sin \varphi}

    Если PP есть начало координат, то его координаты в обеих системах нулевые и формулы выполняются. В противном случае возьмём полярное представление (r,φ)(r, \varphi) с r>0r > 0 относительно исходной полярной оси, как в уроке о полярных координатах.

  2. X=rcos⁡(φ−θ),Y=rsin⁡(φ−θ)\dato{XY}{X = r \cos(\varphi - \theta), \quad Y = r \sin(\varphi - \theta)}

    В повёрнутой системе полюс тот же, поэтому расстояние от PP до полюса по-прежнему равно rr. Пусть ψ\psi есть полярный угол точки PP в повёрнутой системе. На единичной окружности новая полярная ось проходит через P(θ)P(\theta); обход оттуда по дуге ψ\psi приводит, по свойству сцепления обходов из аксиомы обхода урока об углах и их измерении, в точку P(θ+ψ)P(\theta + \psi), которая должна совпадать с точкой P(φ)P(\varphi) луча, идущего от полюса к PP. По лемме об углах с общей конечной стороной, θ+ψ\theta + \psi и φ\varphi отличаются на кратное 2π2\pi, так что можно взять ψ=φ−θ\psi = \varphi - \theta.

  3. X=rcos⁡(φ−θ)=rcos⁡φcos⁡θ+rsin⁡φsin⁡θ=xcos⁡θ+ysin⁡θX = \resaltar{r \cos(\varphi - \theta)} = r \cos \varphi \cos \theta + r \sin \varphi \sin \theta = \resaltar{x \cos \theta + y \sin \theta}

    Раскрываем косинус разности и узнаём в каждом слагаемом исходные координаты.

  4. Y=rsin⁡(φ−θ)=rsin⁡φcos⁡θ−rcos⁡φsin⁡θ=−xsin⁡θ+ycos⁡θY = \resaltar{r \sin(\varphi - \theta)} = r \sin \varphi \cos \theta - r \cos \varphi \sin \theta = \resaltar{-x \sin \theta + y \cos \theta}

    Точно так же с синусом разности.

  5. x=rcos⁡((φ−θ)+θ)=Xcos⁡θ−Ysin⁡θ,y=rsin⁡((φ−θ)+θ)=Xsin⁡θ+Ycos⁡θx = \resaltar{r \cos((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \cos \theta - Y \sin \theta}, \qquad y = \resaltar{r \sin((\varphi - \theta) + \theta)} = \resaltar{X \sin \theta + Y \cos \theta}

    Обратно, исходный угол есть сумма φ=(φ−θ)+θ\varphi = (\varphi - \theta) + \theta; формулы сложения дают исходные координаты через новые.

Обе пары формул устроены одинаково: вторая получается из первой заменой θ\theta на −θ-\theta, потому что исходная система получается из новой поворотом на угол −θ-\theta. Например, при θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} точка (1,1)(1, 1) имеет новые координаты X=2X = \sqrt{2} и Y=0Y = 0: она лежит на новой оси абсцисс на расстоянии 2\sqrt{2} от начала координат. Не следует путать поворот осей с поворотом точек: поворот осей на угол θ\theta оставляет точки на месте и меняет их имена, и результат тот же, что если оставить оси на месте и повернуть всю плоскость на угол −θ-\theta.

ЛеммаПоворот сохраняет расстояния

Расстояние между двумя точками, вычисленное по их координатам в повёрнутой системе, совпадает с расстоянием, вычисленным по их исходным координатам.

Этот факт уже отмечался в уроке о полярных координатах: расстояние между двумя точками зависит от их полярных углов лишь через их разность, а поворот плоскости состоит в прибавлении постоянной к этим углам. Здесь это устанавливается непосредственно в декартовых координатах, с помощью формул поворота и основного тригонометрического тождества из урока о тригонометрических отношениях.

Доказательство

  1. X1−X2=ucos⁡θ+vsin⁡θ,Y1−Y2=−usin⁡θ+vcos⁡θ\dato{dif}{X_1 - X_2 = u \cos \theta + v \sin \theta, \quad Y_1 - Y_2 = -u \sin \theta + v \cos \theta}

    Пусть P1P_1 и P2P_2 есть две точки с координатами (x1,y1)(x_1, y_1) и (x2,y2)(x_2, y_2) в исходной системе и (X1,Y1)(X_1, Y_1) и (X2,Y2)(X_2, Y_2) в повёрнутой. Вычитаем формулы поворота, записанные для каждой точки, полагая u=x1−x2u = x_1 - x_2 и v=y1−y2v = y_1 - y_2.

  2. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=(ucos⁡θ+vsin⁡θ)2+(−usin⁡θ+vcos⁡θ)2=u2(cos⁡2θ+sin⁡2θ)+v2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{(u \cos \theta + v \sin \theta)^2 + (-u \sin \theta + v \cos \theta)^2} = \resaltar{u^2\left(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta\right) + v^2\left(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\right)}

    Возводим в квадрат и складываем. Удвоенные произведения, 2uvsin⁡θcos⁡θ2uv \sin \theta \cos \theta и −2uvsin⁡θcos⁡θ-2uv \sin \theta \cos \theta, взаимно уничтожаются.

  3. (X1−X2)2+(Y1−Y2)2=u2+v2=(x1−x2)2+(y1−y2)2(X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2 = \resaltar{u^2 + v^2} = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2

    По основному тригонометрическому тождеству каждая скобка равна 11, и остаётся квадрат исходного расстояния.

У леммы есть следствие, на котором держится всё дальнейшее изложение. Парабола, эллипс и гипербола были определены в прежних уроках через свойства расстояний до фокусов и директрис; так как поворот сохраняет расстояния, кривая, которая в повёрнутой системе является эллипсом с полуосями aa и bb, в исходной системе тоже является эллипсом с теми же полуосями, хотя его оси симметрии наклонны. То же верно для других конических сечений, для их фокусов, вершин и асимптот, которые переносятся из одной системы в другую по формулам поворота.